2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷及参考答案

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷及参考答案，共24页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在实数，，中，有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000017米，将0.000017用科学记数法表示是（ ）
A．1.7×10﹣4B．1.7×10﹣5C．1.7×10﹣6D．17×10﹣4
3．（3分）一元二次方程x2+mx＝2的一个根为2，则m的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
4．（3分）一次函数y＝3x﹣5的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
5．（3分）已知样本数据：3，2，1，7，2，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数是3B．中位数是1C．众数是2D．方差是4.4
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．菱形的邻边相等
C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等
7．（3分）将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+6B．y＝3（x﹣2）2﹣6
C．y＝3（x+2）2+6D．y＝3（x+2）2﹣6
8．（3分）某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．80（1﹣x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80
C．100（1﹣2x）2＝80D．80（1﹣2x）2＝100
9．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
10．（3分）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（ ）
A．B．5mC．D．6m
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：2x2﹣8x+8＝ ．
12．（3分）甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”．两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是S甲2＝2.5，S乙2＝3，则两人成绩比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
13．（3分）如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60°，AB＝3，则BD的长是 ．
14．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣5，其与x轴有 个交点．
15．（3分）如图，y＝k1x+b1与y＝k2x+b2交于点A，则方程组的解为 ．
16．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，点F在DE上，连接BF，且BF平分∠ABC，若AB＝5，EF＝1，则BC的长为 ．
三、解答题（共9小题，总计72分）
17．（6分）计算：（）﹣1+|2﹣|﹣（﹣1）2023．
18．（6分）已知：x2+3x＝0，求代数式的值．
19．（6分）解方程：
（1）（x+1）（x﹣1）＝1； （2）2x2﹣4x+3＝0．
20．（8分）某校为了解本校学生参与家务劳动时间的情况，在校内随机调查了100名学生的“上周内劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
根据上述信息，解答下列问题：
（1）填表：x＝ ；
（2）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在 组；
（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
21．（8分）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若++3x1x2+10＝0，求m的值．
22．（9分）为促进销售，某地水果种植户借助网络平台，在线下批发的基础上同步网络零售水果．已知销售相同数量的水果，网络零售的销售额为450元，线下批发销售额为300元，且网络零售的单价比线下批发的单价贵15元．
（1）求网络零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？
（2）该种植户某天网络零售和线下批发共销售水果100千克，且网络销售的数量低于线下批发数量的2倍，设网络零售a（a为正整数）千克，获得的总销售额为W元．请写出W与a之间的函数关系式，并求出当网络销售水果的数量为多少时，当天所获得的总销售额最大？最大销售额是多少？
23．（9分）如图，在▱ABCD中，BE∥DF且分别交对角线AC于点E、F，连接ED、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DF⊥AC，DF＝12，DC＝BF＝13，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．
24．（10分）若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax﹣ymin＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”．
（1）函数①y＝x+1；②y＝|2x|；③y＝x2，其中函数 是在1≤x≤2上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值；
②当a＝1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”，请直接写出t的值；
（3）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），若函数G是在m+2≤x≤2m+1（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得k＝，求a的值．
25．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D是直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，AD和BD，BD交AC于点M，设△ADM的面积为S1，△BCM的面积为S2，当S1﹣S2＝1时，求点D的坐标；
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴交直线AC于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在实数，，中，有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据有理数和无理数的概念进行确定即可．
【解答】解：＝2是有理数；
是无理数；
是循环小数，是有理数．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数和无理数的概念，无限不循环小数是无理数．
2．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000017米，将0.000017用科学记数法表示是（ ）
A．1.7×10﹣4B．1.7×10﹣5C．1.7×10﹣6D．17×10﹣4
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000017＝1.7×10﹣5，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3．（3分）一元二次方程x2+mx＝2的一个根为2，则m的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】把x＝2代入方程x2+mx＝2得22+2m＝2，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2+mx＝2得22+2m＝2，
解得m＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（3分）一次函数y＝3x﹣5的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
【分析】一次项系数k＝3＞0，b＝﹣5＜0，则图象经过一、三、四象限．
【解答】解：∵k＝3＞0，b＝﹣5＜0，
∴图象经过一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，属于基础题，一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数及常数是大于0或是小于0．
5．（3分）已知样本数据：3，2，1，7，2，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数是3B．中位数是1C．众数是2D．方差是4.4
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A．平均数为：，正确，故此选项不符合题意；
B．把数据按从小到大排列为：1，2，2，3，7，中间的数是2，所以中位数为2，故中位数是1错误，故此选项符合题意；
C．2出现次数最多，故众数为2，正确，故此选项不符合题意；
D．方差为：，正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平均数、中位数和众数、方差，掌握平均数、中位数和众数、方差的定义是关键．
6．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．菱形的邻边相等
C．矩形的对角线互相垂直
D．正方形的四条边均相等
【分析】分别按照平行四边形的性质、菱形的定义、矩形的性质及正方形的性质进行分析判断即可．
【解答】解：A、由平行四边形的性质可得平行四边形的对边相等，故A正确；
B、由菱形的定义可知菱形的邻边相等，故B正确；
C、由矩形的性质可知，矩形的对角线相等，但未必垂直，当对角线互相垂直时矩形就变为正方形，故C不正确；
D、由正方形的性质可知，正方形的四条边均相等，故D正确．
综上，只有C不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的定义、矩形的性质及正方形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
7．（3分）将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+6B．y＝3（x﹣2）2﹣6
C．y＝3（x+2）2+6D．y＝3（x+2）2﹣6
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为：y＝3（x﹣2）2+6．
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
8．（3分）某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．80（1﹣x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80
C．100（1﹣2x）2＝80D．80（1﹣2x）2＝100
【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是100（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为80元，”可得方程100（1﹣x）2＝80．
【解答】解：由题意得：100（1﹣x）2＝80，
故选：B．
【点评】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
9．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【分析】过点A作AE⊥CB于E，AF⊥DC于F，证出AE＝AF，四边形ABCD是平行四边形，可证明BC＝CD，则可得出结论．
【解答】证明：过点A作AE⊥CB于E，AF⊥DC于F，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键．
10．（3分）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（ ）
A．B．5mC．D．6m
【分析】根据点A到点O的距离为4，得到A（4，0），把A（4，0）代入求得根据二次函数的解析式是解题的关键．
【解答】解：点A到点O的距离为4，
∴A（4，0），
把A（4，0）代入得16a+＝0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x，
∵y＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+，
∴水流喷出的最大高度为，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：2x2﹣8x+8＝ 2（x﹣2）2 ．
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：2x2﹣8x+8
＝2（x2﹣4x+4）
＝2（x﹣2）2，
故答案为：2（x﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．（3分）甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”．两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是S甲2＝2.5，S乙2＝3，则两人成绩比较稳定的是 甲 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是S甲2＝2.5，S乙2＝3，
∴，
∴成绩比较稳定的是甲；
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．（3分）如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60°，AB＝3，则BD的长是 6 ．
【分析】根据等边三角形的性质首先证明△AOB是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB＝AB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质、等边三角形的判定等知识是矩形是解题的关键．
14．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣5，其与x轴有 两 个交点．
【分析】先令y＝0，然后计算Δ的值，即可判断该函数与x轴的交点个数．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣5，
∴当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣5，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，
∴该函数与x轴有两个交点，
故答案为：两．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与方程的关系解答．
15．（3分）如图，y＝k1x+b1与y＝k2x+b2交于点A，则方程组的解为 ．
【分析】根据两个一次函数的交点坐标是由两个函数解析式所组成的方程组的解进行解答．
【解答】解：方程组的解为，
故答案为：，
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组：两个一次函数的交点坐标是由两个函数解析式所组成的方程组的解．
16．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，点F在DE上，连接BF，且BF平分∠ABC，若AB＝5，EF＝1，则BC的长为 7 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝2DE，DE∥BC，根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定得到DF＝DB＝3，进而求出DE，得到答案．
【解答】解：∵点D是的边AB的中点，AB＝5，
∴BD＝2.5，
∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴BC＝2DE，DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝DB＝2.5，
∵EF＝1，
∴DE＝3.5，
∴BC＝2DE＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题（共9小题，总计72分）
17．（6分）计算：（）﹣1+|2﹣|﹣（﹣1）2023．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝3+2﹣2+1
＝2+2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）已知：x2+3x＝0，求代数式的值．
【分析】直接利用分式的混合运算进而化简求出答案．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝
＝
∵x2+3x＝0，
∴原式＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
19．（6分）解方程：
（1）（x+1）（x﹣1）＝1；
（2）2x2﹣4x+3＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（x+1）（x﹣1）＝1，
x2﹣1＝1，
x2＝1+1，
x2＝2，
x1＝，x2＝﹣；
（2）2x2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝16﹣24＝﹣8＜0，
∴原方程没有实数根．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（8分）某校为了解本校学生参与家务劳动时间的情况，在校内随机调查了100名学生的“上周内劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
根据上述信息，解答下列问题：
（1）填表：x＝ 40 ；
（2）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在 C 组；
（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
【分析】（1）用总数减去频数即可；
（2）利用中位数的定义解答即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）x＝100﹣8﹣16﹣36＝40，
故答案为：40；
（2）把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在C组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组，
故答案为：C；
（3）1200×＝912（人），
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为912人．
【点评】本题考查了频数（率）分布表．从频数（率）分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应百分比．
21．（8分）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若++3x1x2+10＝0，求m的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4（m﹣1）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，x1•x2＝m﹣1，整体代入，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝22﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤2；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2，x1•x2＝m﹣1，
∵++3x1•x2+10＝0，
∴（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，
∴（﹣2）2+m﹣1+10＝0，
∴m＝﹣13．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
22．（9分）为促进销售，某地水果种植户借助网络平台，在线下批发的基础上同步网络零售水果．已知销售相同数量的水果，网络零售的销售额为450元，线下批发销售额为300元，且网络零售的单价比线下批发的单价贵15元．
（1）求网络零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？
（2）该种植户某天网络零售和线下批发共销售水果100千克，且网络销售的数量低于线下批发数量的2倍，设网络零售a（a为正整数）千克，获得的总销售额为W元．请写出W与a之间的函数关系式，并求出当网络销售水果的数量为多少时，当天所获得的总销售额最大？最大销售额是多少？
【分析】（1）设线下批发水果的单价为x元，则网络零售水果的单价为（x+15）元，根据销售水果的数量相同（销售水果数量＝销售额÷单价）列出方程，求解即可；
（2）设网络零售a（a为正整数）千克，则线下批发（100﹣a）千克，由网络销售的数量低于线下批发数量的2倍可求得a＜，易得W＝15a+3000，再利用一次函数的性质和a的取值范围即可确定W的最大值及此时a的值．
【解答】解：（1）设线下批发的单价为x元，则网络零售的单价为（x+15）元，
根据题意可得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30为原方程的解，
则x+15＝45，
∴网络零售水果的单价为45元/千克，线下批发水果的单价为30元/千克；
（2）设网络零售a（a为正整数）千克，则线下批发（100﹣a）千克，
∵网络销售的数量低于线下批发数量的2倍，
∴a＜2（100﹣a），
解得：a＜，
设获得的总销售额为W元，
则W＝45a+30（100﹣a）＝15a+3000，
∵15＞0，
∴W随a的增大而增大，
∵a＜且a为正整数，
∴a的最大值为66，
∴当a＝66时，W取得最大值，最大值为15×66+3000＝3990，
∴当网络销售水果的数量为66千克时，当天所获得的总销售额最大，最大销售额是3990元．
【点评】本题主要考查分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，明确题意，根据题中所蕴含的等量关系和不等关系，列出方程、不等式和函数关系式是解题关键．
23．（9分）如图，在▱ABCD中，BE∥DF且分别交对角线AC于点E、F，连接ED、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DF⊥AC，DF＝12，DC＝BF＝13，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）证△ABE≌△CDF（AAS），得BE＝DF，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由勾股定理得CF＝5，EF＝5，则CE＝EF+CF＝10，然后由勾股定理即可得出结论；
（3）由（1）（2）可知，AE＝CF＝EF＝5，BE＝DF＝12，则AC＝3CF＝15，再由平行四边形的性质和三角形面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DF⊥AC，BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE＝90°，
∴∠DFC＝90°，
在Rt△CFD中，由勾股定理得：CF＝＝＝5，
由（1）可知，BE＝DF＝12，
∴EF＝＝＝5，
∴CE＝EF+CF＝10，
∴BC＝＝＝2，
即BC的长为2；
（3）解：由（1）（2）可知，AE＝CF＝EF＝5，BE＝DF＝12，
∴AC＝3CF＝15，
∵DF⊥AC，四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ADC＝2×AC•DF＝15×12＝180．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．（10分）若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax﹣ymin＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”．
（1）函数①y＝x+1；②y＝|2x|；③y＝x2，其中函数 ① 是在1≤x≤2上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值；
②当a＝1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”，请直接写出t的值；
（3）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），若函数G是在m+2≤x≤2m+1（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得k＝，求a的值．
【分析】（1）根据材料提示的“美好函数”的计算方法即可求解；
（2）①根据二次函数的特点，确定自变量取值范围内的最大值，最小值，再根据材料提示“美好函数”的计算方法即可求解；②根据材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解；
（3）根据二次函数图象的性质，结合材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解．
【解答】解：（1）对于①y＝x+1，
当x＝1时，y＝2，
当x＝2时，y＝3，
∴ymax﹣ymin＝1，符合题意；
对于②y＝|2x|，
当x＝1时，y＝2，
当x＝2时，y＝4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
对于③y＝x2，
当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y﹣4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
故答案为：①；
（2）①二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y1＝4a，当x＝2时，y2＝﹣3a，
当a＞0时，则当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴y2﹣y1＝﹣3a﹣（﹣4a）＝1，
∴a＝1，
当a＜0时，则当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴y2﹣y1＝﹣4a﹣（﹣3a）＝1，
∴a＝﹣1，
综上所述，a＝1或a＝﹣1；
②二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）为y＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1，
当x＝t，y1＝t2﹣2t﹣3，
当x＝t+1时，y2＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3＝t2﹣4，
当x＝1时，y3＝﹣4．
若t＞1，则y2﹣y1＝t2﹣4﹣（t2﹣2t﹣3）＝1，解得t＝1（舍去）；
若≤t≤1，则y2﹣y3＝t2﹣4﹣（﹣4）＝1，解得t＝﹣1（舍去），t＝1；
若0≤t＜，则y1﹣y3＝（t2﹣2t﹣3）﹣（﹣4）＝1，解得t＝0，t＝2（舍去）；
若t＜0，则y1﹣y2＝t2﹣2t﹣3﹣（t2﹣4）＝1，解得t＝0（舍去）．
综上所述，t＝0或t＝1；
（3）由上可知，二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）对称轴为直线x＝1，
又∵m+2≤x≤2m+1，
∴m＞1，
∴3＜m+2≤x≤2m+1，
∴当m+2≤x≤2m+1时，y随x的增大而增大，
当x＝2m+1时取得最大值，x＝m+2时取得最小值，
∴k＝＝＝＝4﹣，
∵m，k为整数，且m＞1，
∴m+3＝8，即m的值为5，
又∵ymax﹣ymin＝1，
∴a（10+1）2﹣2a（10+1）﹣3a﹣[a（5+2）2﹣2a（5+2）﹣3a]＝1，
∴a＝．
【点评】本题属于函数与定义新运算的综合，考查了二次函数的性质，新定义问题，解题的关键是分类讨论，分析在一定范围内的最值问题，属于中考压轴题．
25．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D是直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，AD和BD，BD交AC于点M，设△ADM的面积为S1，△BCM的面积为S2，当S1﹣S2＝1时，求点D的坐标；
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴交直线AC于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A（3，0）和点B（﹣1，0），代入解析式求解即可；
（2）由S1﹣S2＝1得S1＝S2+1，从而S1+S△ABM＝S2+S△ABM+1，即S△ABD＝S△ABC+1，据此列方程求解即可；
（3）分类当CQ为对角线和菱形边时，利用直线AC与x轴成45°角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标．
【解答】解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设D（x，y），对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵S1﹣S2＝1，
∴S1＝S2+1，
∴S1+S△ABM＝S2+S△ABM+1，即S△ABD＝S△ABC+1，
∴×4×y＝×4×3+1，
∴y＝，
∴﹣x2+2x+3＝，
解得x＝1+或x＝1﹣；
∴点D的坐标为（1+，）或（1﹣，）；
（3）存在，理由如下：
设直线AC的解析式为：y＝kx+b′，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3；
①当CQ为菱形的对角线时，如图，PE垂直平分CQ，
∵A（3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
此时四边形CEQP是正方形．
∴PQ＝EQ．
设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），
∴PQ＝﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（不合题意舍去）或m＝2，
此时OE＝OC﹣m＝3﹣2＝1，
∴E（0，1）．
②当CQ为菱形的边时，作QH⊥OC于点H，
设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），
∴HQ＝|m|，PQ＝|﹣m2+3m|，
∵∠OCA＝45°，
∴CQ＝HQ＝|m|，
CE＝PQ＝|﹣m2+3m|＝|m|，
解得：m1＝3﹣，m2＝3+或m＝0（舍）．
∴E1（0，1﹣3），E2（0，1+3），
综上所述，符合条件的点E有三个，坐标分别为：（0，1）或（0，1﹣3）或（0，1+3）．
【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．
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“劳动时间”t/分钟
频数
A
t＜60
8
B
60≤t＜90
16
C
90≤t＜120
x
D
t≥120
36
组别
“劳动时间”t/分钟
频数
A
t＜60
8
B
60≤t＜90
16
C
90≤t＜120
x
D
t≥120
36