2022-2023学年湖南省长沙市长郡教育集团八年级（下）期末数学试卷及参考答案

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市长郡教育集团八年级（下）期末数学试卷及参考答案，共30页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝x﹣1B．y＝kx+bC．y＝D．y＝﹣2x2+1
2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，b的值可以是（ ）
A．b＝﹣1B．b＝﹣2C．b＝﹣3D．b＝0
3．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，且AE+EO＝3，则▱ABCD的周长为（ ）
A．20B．16C．12D．8
4．（3分）如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩（环数）的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差S2甲，S2乙之间的大小关系是（ ）
A．S2甲＜S2乙B．S2甲＞S2乙C．S2甲＝S2乙D．不能确定
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6．（3分）一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一根是3，则另外一根是（ ）
A．3B．1C．﹣3D．﹣1
7．（3分）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝mx﹣1（m是常数）的图象向下平移2个单位长度后经过点（﹣2，1），则m的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
8．（3分）已知点（k，b）为第一象限内的点，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A．y＝0.1x，x＞0B．y＝50﹣0.1x，x＞0
C．y＝0.1x，0≤x≤500D．y＝50﹣0.1x，0≤x≤500
10．（3分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（3，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（ ）
A．x＞0B．0＜x＜1C．1＜x＜3D．x＞3
11．（3分）代数式x2﹣4x+5的最小值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
12．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）当m＝ 时，关于x的方程（m+2）xm+3+6x﹣9＝0是一元二次方程．
14．（3分）东方红学校规定：学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%小聪的三项成绩依次是85分，90分，92分，则小聪这学期的体育成绩是 分．
15．（3分）已知方程3x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2＝ ．
16．（3分）上数学课时，老师给出一个函数，让同学们指出它的性质．甲说函数图象不经过第三象限；乙说函数图象经过第一象限；丙说x＜0时，y随x的增大而减少；丁说x＞1时，y＜0．已知这四位同学说的都正确，请你写出符合上述性质的一个函数解析式 ．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．
18．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1）∠FDG＝ ；
（2）若DE＝1，DF＝，则MC＝ ．
三、解答题（第19题8分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，
19．（8分）用合适的方法解下列一元二次方程．
（1）2x2﹣8＝0； （2）x2﹣2（x+4）＝0．
20．（6分）“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神的青年学校行动，我校为了解学生某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取20位同学，并统计学习时间（学习时间用x表示，单位：分钟）收集数据如下：
30，56，80，30，40，110，120，156，90，120，58，80，120，140，70，84，10，20，100，86
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格．
分析数据：补全下列表格中的统计量．
（1）直接写出上述表格中a，b，c，d的值；
（2）我校有1600名同学参加了此次调查活动，请估计学习时间不低于80分钟的人数是多少？
21．（6分）已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），且过点B（2，3）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数上的一点，且点C为该函数图象与x轴的交点，若S△PCO＝10，求点P的坐标．
22．（8分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若AB＝6，AD＝12，求BE的长．
23．（9分）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元.2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
24．（9分）某超市欲购进A，B两种品牌的书包共500个．已知两种书包的进价和售价如下表所示．设购进A种书包x个，且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为w元．
（1）求ω关于x的函数关系式；
（2）如果购进两种书包的总费用不超过28000元，那么商场如何进货才能获利最大？并求出最大利润．
25．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点P（2，1）称为“幸福点”，经过点P（2，1）的函数，称为“幸福函数”．
（1）若点（3r+4s，2r+s）是“幸福点”，关于x的函数y＝x+t是“幸福函数”，则r＝ ，s＝ ，t＝ ．
（2）若关于x的函数y＝kx+b和y＝都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值．
（3）若直线y＝﹣x+4b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C．M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由．
26．（10分）如图，在直角坐标系中，直线y＝交y轴，x轴于点A，B，点D在y轴正半轴上，以AB，AD为边作平行四边形ABCD，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动，记点E运动时间为t秒．
（1）直接写出点A的坐标 ，AB＝ ；
（2）若OD＝2OA，连接BD，F是BD的中点，连接EF并延长交直线BC于点H，
①当四边形ABHE为平行四边形时，请直接写出t的值；
②当△BFH是以BF为腰的等腰三角形时，请直接写出t的值；
（3）若AD＝4，点E在OD上，点M位于点E的正上方，且∠EBC+∠MCB＝90°，当四边形EBCM的面积最大时，求DM的长．
2022-2023学年湖南省长沙市长郡教育集团八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（3分）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝x﹣1B．y＝kx+bC．y＝D．y＝﹣2x2+1
【分析】根据一次函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、是一次函数，故此选项符合题意；
B、当k≠0时，y＝kx+b是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝﹣2x2+1是二次函数，不是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，b的值可以是（ ）
A．b＝﹣1B．b＝﹣2C．b＝﹣3D．b＝0
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝b2﹣4＞0，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4＞0，
则b2＞4，
所以b的值可取﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，且AE+EO＝3，则▱ABCD的周长为（ ）
A．20B．16C．12D．8
【分析】首先证明：OE＝BC，由AE+EO＝4，推出AB+BC＝8即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE＝ED，
∴OE＝CD，
∵AE+EO＝3，
∴2AE+2EO＝6，
∴AD+DC＝6，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×6＝12，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
4．（3分）如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩（环数）的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差S2甲，S2乙之间的大小关系是（ ）
A．S2甲＜S2乙B．S2甲＞S2乙C．S2甲＝S2乙D．不能确定
【分析】根据所给的折线图求出甲、乙的平均成绩，再利用方差的公式进行计算，即可求出答案．
【解答】解：由图可知甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
甲的平均数是：（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10＝8.5，
乙的平均数是：（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10＝8.5，
甲的方差S甲2＝[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+（10﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2]÷10＝0.85，
乙的方差S乙2＝[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]÷10＝1.35
∴S2甲＜S2乙．
故选：A．
【点评】本题考查了方差，掌握方差公式是解题的关键，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据矩形、菱形的判定、平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一根是3，则另外一根是（ ）
A．3B．1C．﹣3D．﹣1
【分析】将x＝3代入方程即可求出a的值．
【解答】解：将x＝3代入方程可得：9﹣6+a＝0，
∴a＝﹣3，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0
x＝3或x＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝mx﹣1（m是常数）的图象向下平移2个单位长度后经过点（﹣2，1），则m的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据一次函数的平移，可知平移后的解析式，再将点（﹣2，1）代入平移后的解析式即可求出m的值．
【解答】解：根据一次函数的平移，
可知平移后的解析式为y＝mx﹣1﹣2，
将点（﹣2，1）代入y＝mx﹣3，
得﹣2m﹣3＝1，
解得m＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．
8．（3分）已知点（k，b）为第一象限内的点，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据已知条件“点（k，b）为第一象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数y＝kx﹣b的图象所经过的象限．
【解答】解：∵点（k，b）为第一象限内的点，
∴k＞0，b＞0，
∴一次函数y＝kx﹣b的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
9．（3分）某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A．y＝0.1x，x＞0B．y＝50﹣0.1x，x＞0
C．y＝0.1x，0≤x≤500D．y＝50﹣0.1x，0≤x≤500
【分析】根据加满汽油后开了100km时，油箱中的汽油大约消耗了五分之一，可以计算出每千米的耗油量，然后即可写出y与x之间的函数解析式，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到x的取值范围．
【解答】解：由题意可得，
y＝50﹣x＝50﹣0.1x，
当y＝0时，0＝50﹣0.1x，解得x＝500，
即y与x之间的函数解析式是y＝50﹣0.1x（0≤x≤500），
故选：D．
【点评】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和自变量的取值范围．
10．（3分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（3，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（ ）
A．x＞0B．0＜x＜1C．1＜x＜3D．x＞3
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞1时，直线y＝2x都在直线y＝kx+b的上方，当x＜3时，直线y＝kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0＜kx+b＜2x的解集．
【解答】解：设A点坐标为（x，2），
把A（x，2）代入y＝2x，
得2x＝2，解得x＝1，
则A点坐标为（1，2），
所以当x＞1时，2x＞kx+b，
∵函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（3，0），
∴x＜3时，kx+b＞0，
∴不等式0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜3．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11．（3分）代数式x2﹣4x+5的最小值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】通过配方法可求解．
【解答】解：∵x2﹣4x+5
＝x2﹣4x+4﹣4+5
＝（x﹣2）2+1
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+1≥1，
∴当x＝2时，代数式x2﹣4x+5的最小值为1．
故选：C．
【点评】此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
12．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A＝120°可知∠B＝60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当P′Q⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC＝AB＝2，∠ABC＝60°，
∴P′Q＝CP′＝BC•sin∠ABC＝2×＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）当m＝ ﹣1 时，关于x的方程（m+2）xm+3+6x﹣9＝0是一元二次方程．
【分析】根据一元二次方程的定义得到：m+3＝2且m+2≠0．由此求得m的值．
【解答】解：∵关于x的方程（m+2）xm+3+6x﹣9＝0是一元二次方程，
∴m+3＝2且m+2≠0．
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
14．（3分）东方红学校规定：学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%小聪的三项成绩依次是85分，90分，92分，则小聪这学期的体育成绩是 90 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
【解答】解：小聪这学期的体育成绩是；85×20%+90×30%+92×50%＝90（分）．
故答案为：90．
【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键．
15．（3分）已知方程3x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2＝ ﹣ ．
【分析】利用根与系数的关系进行求解即可．
【解答】解：∵方程3x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
16．（3分）上数学课时，老师给出一个函数，让同学们指出它的性质．甲说函数图象不经过第三象限；乙说函数图象经过第一象限；丙说x＜0时，y随x的增大而减少；丁说x＞1时，y＜0．已知这四位同学说的都正确，请你写出符合上述性质的一个函数解析式 y＝﹣x+1（答案不唯一） ．
【分析】设该函数的解析式是y＝kx+b，然后根据该函数图象的性质作答即可．
【解答】解：∵甲说函数图象不经过第三象限，函数图象经过第一象限，
∴该函数可以是一次函数，也可以是二次函数；
不妨设该函数是一次函数y＝kx+b，
∵x＜0时，y随x的增大而减少，
∴k＜0；
而x＞1时，y＜0，
∴0＜x＜1，b＞0，
∴该一次函数可以是：y＝﹣x+1、y＝﹣2x+1…
故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
17．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 10 ．
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF＝AB﹣BF．
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝•AF•BC＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设D′F＝x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
18．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1）∠FDG＝ 45° ；
（2）若DE＝1，DF＝，则MC＝ ．
【分析】（1）根据AAS证△ABE≌△GEF，得出EG＝AB，GF＝AE，推出DG＝GF即可得出∠FDG的度数；
（2）由（1）的结论得出CD的长度，GF的长度，根据相似三角形的性质分别求出DM，NC的值即可得出MN的值．
【解答】解：（1）由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠AEB+∠GEF＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠GEF＝∠ABE，
在△ABE和△GEF中，
，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，
即DG+DE＝AE+DE，
∴DG＝AE，
∴DG＝GF，
即△DGF是等腰直角三角形，
∴∠FDG＝45°，
故答案为：45°；
（2）∵DE＝1，DF＝，
由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，
∴DG＝GF＝1，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝1+1＝2，
延长GF交BC延长线于点H，
∴CD∥GH，
∴△EDM∽△EGF，
∴，
即＝，
∴MD＝，
∴MC＝CD﹣MD＝2﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
三、解答题（第19题8分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，
19．（8分）用合适的方法解下列一元二次方程．
（1）2x2﹣8＝0；
（2）x2﹣2（x+4）＝0．
【分析】（1）根据解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，
2x2＝8，
x2＝4，
x1＝2，x2＝﹣2；
（2）x2﹣2（x+4）＝0，
x2﹣2x﹣8＝0，
（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（6分）“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神的青年学校行动，我校为了解学生某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取20位同学，并统计学习时间（学习时间用x表示，单位：分钟）收集数据如下：
30，56，80，30，40，110，120，156，90，120，58，80，120，140，70，84，10，20，100，86
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格．
分析数据：补全下列表格中的统计量．
（1）直接写出上述表格中a，b，c，d的值；
（2）我校有1600名同学参加了此次调查活动，请估计学习时间不低于80分钟的人数是多少？
【分析】（1）将数据重新排列，继而得出a、b的值，再根据中位数和众数的定义可得c、d的值；
（2）用总人数乘以样本中学习时间不低于80分钟的人数所占比例．
【解答】解：（1）将数据重新排列为10、20、30、30、40、56、58、70、80、80、84、86、90、100、110、120、120、120、140、156，
∴a＝4，b＝5，
中位数c＝＝82，众数d＝120；
（2）估计学习时间不低于80分钟的人数是1600×＝960（人）；
【点评】本题考查中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
21．（6分）已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），且过点B（2，3）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数上的一点，且点C为该函数图象与x轴的交点，若S△PCO＝10，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，进而求得点P的坐标．
【解答】解：（1）根据题意得，
，
解得，
∴一次函数的解析式；
（2）令y＝0，
则，
∴x＝8，
∴一次函数图象与x轴的交点C的坐标是（8，0），
∴OC＝8，
设点P的坐标是（x，y），
∵S△PCO＝10，
∴，
∴或，
当时，，
解得x＝3，
当时，，
解得x＝13，
∴点P的坐标为或．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求出点P的纵坐标是解题的关键．
22．（8分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若AB＝6，AD＝12，求BE的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝BD，由两组对边平行的四边形是平行四边形，可证四边形BDEC是平行四边形，即可得结论；
（2）连接BE交CD于O，由菱形的性质可得DO＝CO＝CD＝1，BO＝BE，CD⊥BE，由勾股定理可求BO的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∵AD＝BD，
∴BD＝BC，
∵CE∥BD，AD∥BC，
∴四边形BDEC是平行四边形，
又∵BD＝BC，
∴四边形BDEC是菱形；
（2）解：如图，BE交CD于O，
∵四边形BDEC是菱形，
∴DO＝CO＝CD＝3，BO＝BE，CD⊥BE，
在Rt△BDO中，AD＝BD＝12，DO＝3，
∴BO＝＝＝3，
∴BE＝2BO＝6．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质是解答本题的关键．
23．（9分）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区80万元.2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2023年投入资金金额＝2021年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区，根据2024年改造老旧小区所需资金不多于2024年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2024年最多可以改造18个老旧小区．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（9分）某超市欲购进A，B两种品牌的书包共500个．已知两种书包的进价和售价如下表所示．设购进A种书包x个，且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为w元．
（1）求ω关于x的函数关系式；
（2）如果购进两种书包的总费用不超过28000元，那么商场如何进货才能获利最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据总利润＝每个的利润×数量就可以表示出w与x之间的关系式；
（2）分别表示出购买A、B两种书包的费用，由其总费用不超过28000元建立不等式组求出取值范围，再由一次函数的解析式就可以求出进货方案及最大利润．
【解答】解：由题意，得：w＝（75﹣57）x+（60﹣47）（500﹣x）＝5x+6500，
∴w关于x的函数关系式：w＝5x+6500；
（2）由题意，得
57x+47（500﹣x）≤28000，
解得：x≤450，
∵w＝5x+6500，
∴k＝5＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝450时，w最大＝8750．
∴进货方案是：A种书包购买450个，B种书包购买50个，才能获得最大利润，最大利润为8750元．
【点评】本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
25．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点P（2，1）称为“幸福点”，经过点P（2，1）的函数，称为“幸福函数”．
（1）若点（3r+4s，2r+s）是“幸福点”，关于x的函数y＝x+t是“幸福函数”，则r＝ ，s＝ ，t＝ ﹣1 ．
（2）若关于x的函数y＝kx+b和y＝都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值．
（3）若直线y＝﹣x+4b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C．M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）根据幸福点定义建立关于r、s二元一次方程组，求解即可，将P（2，1）代入y＝x+t即可求得t的值；
（2）将点P（2，1）分别代入函数y＝kx+b和y＝可得b＝1﹣2k，m＝2，则y＝kx+1﹣2k；因为两个函数图象有且只有一个交点，所以kx+1﹣2k＝，建立一元二次方程，利用跟的判别式等于零即可求得k的值；
（3）分两种情况讨论：分别画出图形，根据y＝﹣x+4b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，可得A（3b，0），B（0，4b），所以M点一定落在y的正半轴上或负半轴上，将△ABM沿直线AM折叠可得△ABM≌△ACM求得C点坐标，进而利用勾股定理求得M点坐标，求出直线CM，代入幸福点可求得b的值，得到可能的解析式．
【解答】（1）解：由于点P（2，1）被称为“幸福点”，
若点（3r+4s，2r+s）是“幸福点”，
∴，
解得：，
又∵y＝x+t是“幸福函数”，
∴1＝2+t，
解得：t＝﹣1，
故答案为：，，﹣1；
（2）∵函数y＝kx+b和y＝都是“幸福函数”，P（2，1）称为“幸福点”，
∴m＝1×2＝2，1＝2k+b，
∴b＝1﹣2k，
则y＝kx+1﹣2k，
∴kx+1﹣2k＝，
∴kx2+（1﹣2k）x﹣2＝0，
∵两个函数图象有且只有一个交点，（k≠0），
∴Δ＝（1﹣2k）2+8k＝0，
解得：k＝﹣，
∴k＝﹣；
（3）根据y＝﹣x+4b（b＞0），
令y＝0，0＝﹣x+4b，
x＝3b，
∴A（3b，0）
令x＝0，y＝4b，
则B（0，4b），
分两种情况讨论：①如图所示：点M在y轴正半轴上时，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：
AB2＝OB2+OA2，
∴AB＝；
由折叠可得：AC＝AB＝5b，BM＝CM，
∴CO＝AC﹣OA＝2b，BM＝CM＝OB﹣OM＝4b﹣OM，
在Rt△COM中，根据勾股定理得：
CO2+OM2＝CM2，
∴4b2+OM2＝（4b﹣OM）2，
解得：OM＝1.5b，
∴M（0，1.5b），
∵C（﹣2b，0），
∴设直线CM：y＝mx+1.5b，
∴0＝﹣2bm+1.5b，
解得：m＝，
∴y＝x+1.5b，
若过C．M两点的一次函数是“幸福函数”，
∴y＝x+1.5b过点P（2，1），
∴1＝+1.5b，
解得：b＝﹣＜0，
∴与b＞0矛盾，所以不存在．
②点M在y轴负半轴上时，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：
AB2＝OB2+OA2，
∴AB＝；
由折叠可得：AC＝AB＝5b，BM＝CM，
∴CO＝AC+OA＝5b+3b＝8b，BM＝CM＝OB+OM＝4b+OM，
在Rt△COM中，根据勾股定理得：
CO2+OM2＝CM2，
∴64b2+OM2＝（4b+OM）2，
解得：OM＝6b，
∴M（0，﹣6b），C（8b，0），
∴设直线CM：y＝mx﹣6b，
∴0＝8bm﹣6b，
解得：m＝，
∴，
若过C．M两点的一次函数是“幸福函数”，则y＝x﹣6b过点P（2，1），
∴，
把P（2，1）代入，
解得：＞0，与b＞0一致，所以存在，
综上可知经过C．M两点的一次函数当点M在y轴负半轴上时是可以为“幸福函数”．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，折叠问题，勾股定理，理解幸福点，幸福函数的定义是解决问题的关键．
26．（10分）如图，在直角坐标系中，直线y＝交y轴，x轴于点A，B，点D在y轴正半轴上，以AB，AD为边作平行四边形ABCD，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动，记点E运动时间为t秒．
（1）直接写出点A的坐标 （0，） ，AB＝ 4 ；
（2）若OD＝2OA，连接BD，F是BD的中点，连接EF并延长交直线BC于点H，
①当四边形ABHE为平行四边形时，请直接写出t的值；
②当△BFH是以BF为腰的等腰三角形时，请直接写出t的值；
（3）若AD＝4，点E在OD上，点M位于点E的正上方，且∠EBC+∠MCB＝90°，当四边形EBCM的面积最大时，求DM的长．
【分析】（1）根据直线y＝即可求解；
（2）①根据平行四边形的性质即可求解；②根据点E的位置进行分类讨论即可；
（3）根据四边形EBCM的面积最大时，可求出线段ME的最大值，进而可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝交y轴，x轴于点A，点B，
∴A（0，），
将y＝0代入y＝得，
0＝，解得x＝2，
∴B（2，0），
∴AB＝＝4．
故答案为：（0，），4．
（2）①∵OD＝2OA，
∴D（0，），AD＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
若EH∥AB，则四边形ABHE为平行四边形，BH＝AE，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠HBF，
又∵∠EFD＝∠HFB，DF＝BF，
∴△EFD≌△HFB（ASA），
∴DE＝BH，
∴AE＝DE，
即点E是AD中点，
∴E（0，），
∴t＝．
②如图一，当BF＝BH时，DE＝DF，
DF＝BD＝＝＝，
∴DE＝，
当点E在OD上时，OE＝，
∴t＝，
当点E在OD的延长线上时，OE2＝，
∴t＝；
如图二，当BF＝FH时，FE＝FD＝BD，点E与点O重合，
∴t＝0，
综上，当△BFH是以BF为腰的等腰三角形时，t为0或或．
（3）如图三，作EN∥CM，交BC于点N；取BN的中点G，连接EG，
∵A（0，），AD＝4，
∴D（0，），BC＝4，
∵EM∥BC，
∴四边形EBCM为梯形，
∵S梯形＝（上底+下底）×高×，下底BC＝4，高OB＝2，
∴上底EM最大时，四边形EBCM的面积最大，
∵EN∥CM，
∴∠ENB＝∠MCB，
∵∠EBC+∠MCB＝90°，
∴∠EBC+∠ENB＝90°，
∴∠NEB＝90°，
在Rt△NEB中，点G为BC中点，
∴BG＝NG＝EG，
设BG＝NG＝EG＝r，
∴ME＝CN＝BC﹣BN＝﹣2r，
∴r的值最小时，ME最大，
如图四，当EG⊥BC时，EG＝OB＝2，
此时r最小＝2，ME最大＝﹣2×2＝﹣4，
∴OE＝BG＝EG＝2，
∴OM＝OE+EM＝2+﹣4＝﹣2，
∴DM＝OM﹣OD＝﹣2﹣＝﹣2．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，特殊四边形及三角形面积等相关知识点，需要学生具备较强的逻辑推理能力，本题难度较大．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/3 22:25:41；用户：杨老师；邮箱：18674391680；学号：37305232学习时）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x≤160
人数
4
a
7
b
平均数
中位数
众数
80
c
d
品牌
进价（元/个）
售价（元/个）
A
57
75
B
47
60
学习时）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x≤160
人数
4
a
7
b
平均数
中位数
众数
80
c
d
品牌
进价（元/个）
售价（元/个）
A
57
75
B
47
60