2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

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2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）第一次月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列各数中为无理数的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图，，，(    )A.
B.
C.
D. 3.  单项式的次数为(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列二次根式中为最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  分式方程的解为(    )A.  B.  C.  D. 无解6.  我国年水资源总量约为亿立方米，用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 7.  在四边形中，下列不能判断它是平行四边形的是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，8.  下列计算错误的是(    )A.  B.  C.  D. 9.  与的最简公分母为(    )A.  B.  C.  D. 10.  若，则(    )A.  B.  C.  D. 11.  正六边形的每一个外角都等于(    )A.  B.  C.  D. 12.  如图，点为直线上一个定点，点为直线上一个动点，直线外有一点，，，当最短时，(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.  因式分解：          ．14.  分式有意义，则的取值范围为______ ．15.  如图，为等腰直角三角形，，延长至点，连接，，则 ______ ．
 16.  如图，在直角三角形中，，，，和的角平分线，交于点，边上的高与、分别交于点、，、分别为、的中点，连接、、，下列说法正确的是______ ．
，
与的面积之比为：，
为等腰三角形，
，
请填入相应的序号．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
化简求值：，其中．19.  本小题分
在八下书本页中，我们得到了一个直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半请填空完成以下证明过程：
已知：如图，在中，，为的中点，
求证：．
证明：如图，延长至点，使得，
，，
四边形为平行四边形对角线 ______ 的四边形是平行四边形，
，
四边形为 ______ 一个角是直角的 ______ 是矩形，
______ 矩形的对角线 ______ ，
______ ．
20.  本小题分
请在平面直角坐标系中标出以下三个点，，；
请在平面直角坐标系中画出关于轴的对称图形；
求三角形的面积．
21.  本小题分
疫情期间，“线上学习”为我们提供了学习的渠道某学校随机抽取部分学生就“你觉得自己线上学习效果如何？”
进行了问卷调查，调查选项为：非常好比较好一般不太好，学校将调查结果统计后绘制成如下条形统计图和扇形统计图．

本次参与调查的学生有______ 人；
在扇形统计图中，扇形的圆心角度数为______ 度；
请补全条形统计图；
若该学校有人，根据调查结果，估计该校选择“：不太好”的人数．22.  本小题分
如图，，，，，为的垂直平分线，，，
求证：≌；
求．
23.  本小题分
某商店从批发商处购进甲、乙两种产品，购进件甲产品和件乙产品需要成本元，购进件甲产品和件乙产品需要成本元销售时，每件甲产品售价为元，每件乙产品售价为元．
求每件甲产品和每件乙产品的成本价；
若商店从批发商处购进甲、乙两种产品共件，购进时总成本不超过元，且全部销售完以后利润不低于元，请问有几种购进方案？24.  本小题分
我们不妨约定：若一个关于的一元一次方程能写成的形式，其中，，为常数并且能构成直角三角形的三边，则称此方程为“一元勾股方程”满足条件的直角三角形的面积称为此方程对应的“股雅值”如：方程，可写成，，则，，能构成直角三角形的三边，所以是一元勾股方程此时对应的“股雅值”为．
请说明：是一元勾股方程；
若方程为一元勾股方程，该方程的解为，求其对应的“股雅值”；
关于的方程为一元勾股方程，其对应的“股雅值”为，关于的方程无解，求原一元勾股方程的解．25.  本小题分
已知平行四边形，为边上的中点，为边上的一点．
如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
如图，若，，求；
如图，若，为的中点，为的中点，，，

判断与的位置关系，并说明理由；
求．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选：．
根据无理数定义：无限不循环小数是无理数进行判断即可．
本题考查无理数的识别．熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：，，
，
故选：．
根据两直线平行同位角相等，即可求解．
本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：的次数为：；
故选：．
根据单项式的次数：所有字母的指数和，进行判断即可．
本题考查单项式的次数．熟练掌握单项式的次数：所有字母的指数和，是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
检验，是原方程的解．
故选：．
通过去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为解方程，最后检验即可得到答案．
本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为，是解题关键，最后检验是易错点．
 6.【答案】 【解析】解：．
故选：．
根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，，为整数是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得到四边形是平行四边形，不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可得到四边形是平行四边形，不符合题意；
C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到四边形是平行四边形，不符合题意；
D、不能证明四边形是平行四边形，符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定方法，进行判断即可．
本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：、，选项正确，不符合题意；
B、，选项错误，符合题意；
C、，选项正确，不符合题意；
D、，选项正确，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，逐一进行计算，判断即可．
本题考查同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：与的最简公分母为
故选：．
根据最简公分母的确定方法：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，进行判断即可．
本题考查最简公分母．熟练掌握最简公分母的确定方法，是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，，，
，，
，，
，
故选：．
绝对值和二次根式都大于等于零，所以，，求得，的值，即可求得最后结果．
本题考查了绝对值和二次根式的非负性，准确计算是本题的解题关键．
 11.【答案】 【解析】解：正六边形的每一个外角都等于，
故选D．
根据正六边形的外角相等，以及外角和是，进行计算即可．
本题考查求正多边形的外角度数，熟练掌握正多边形的外角相等，外角和是是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：当时，最短，
在中，，，
，
故选：．
根据垂线段最短可得：当时，最短，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了利用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：分式有意义，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：为等腰直角三角形，，
，
，
．
故答案为：．
根据为等腰直角三角形，，可得，由外角的性质求解即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质以及外角的性质，解题的关键是掌握其性质．
 16.【答案】 【解析】解：在直角三角形中，，，，
，
是边上的高，
，
即，
，
故正确；
与的角平分线，交于点，
是的角平分线，
点到，的距离相等，
即中边上的高于中边上的高，
：：：，
故错误；
是边上的高，
，
，
平分，
，
，，
，
，
为等腰三角形，
故正确；
同方法可得，，
为中点，
，
即，
故正确；
为等腰三角形，，为的中点，
，
由知，
如图，延长，分别交于点，，
则，，
平分，平分，
，，
又，，
≌，
≌，
，，
为的中点，为的中点，
，
，
故正确，
综上所述，正确的是，
故答案为：．
利用等积法求出的长；易得是的角平分线，进而得：：，即可判断错误；利用同角的余角相等得，角平分线平分角得到，根据外角的性质推出，进而得到，即可判断；同方法可得为等腰三角形，利用三线合一即可判断，延长，分别交于点，，证明≌，≌，推出即可推出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 17.【答案】解：


． 【解析】先化简各式，然后再进行计算，即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 【解析】先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，化简后，再代值计算即可．
本题考查整式运算的化简求值．熟练掌握平方差公式，完全平方公式，正确地进行化简，是解题的关键．
 19.【答案】互相平分  矩形  平行四边形    相等   【解析】证明：如图，延长至点，使得，
，，
四边形为平行四边形对角线互相平分 的四边形是平行四边形，
，
四边形为矩形 一个角是直角的平行四边形是矩形，
矩形的对角线相等，
．
故答案为：互相平分；矩形；平行四边形；；相等；．
根据矩形的判定即可得到四边形是矩形，再利用矩形的性质即可得到对角线相等，最后利用对角线互相平分即可得到的长度．
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 20.【答案】解：如图，点，，即为所求；
画出关于轴的对称图形，如图所示为所求；

． 【解析】直接在坐标系中标出点即可；
通过找点，描点，连线画出的轴对称图形即可；
利用割补法求面积即可．
本题考查作图轴对称图形，以及利用网格求三角形的面积．熟练掌握轴对称的性质，割补法求面积，是解题的关键．
 21.【答案】   【解析】解：根据题意得：人，
则本次参与调查的学生工人；
故答案为：；
根据题意得：；
故答案为：；
补全条形统计图，如图所示：

根据题意得：人，
则估计该校选择“：不太好”的人数约为人．
根据的人数除以占的百分比求出调查的学生总数即可；
求出占的百分比，乘以即可得到结果；
求出的人数，补全条形统计图即可；
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．
 22.【答案】证明：，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，，
，
为的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
，
． 【解析】利用垂直和平行，得到，根据证明≌即可；
利用≌，得到，中垂线的性质得到，在中，利用勾股定理进行求解即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．
 23.【答案】解：设每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元，
，
解之得：，
答：每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元；
设商店从批发商处购进甲产品件，则购进乙产品件，
，
解之得：，
为整数，
，，，
答：有种购进方案． 【解析】设每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元，根据“购进件甲产品和件乙产品需要成本元，购进件甲产品和件乙产品需要成本元”列得二元一次方程组，即可求解；
设商店从批发商处购进甲产品件，则购进乙产品件，根据“购进甲、乙两种产品共件，购进时总成本不超过元，且全部销售完以后利润不低于元”列得不等式组，即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 24.【答案】解：方程，可写成，
，
是一元勾股方程．
，方程的解为，
，
，，
，
为斜边，
，
，
将代入得：，
由可得，，
“股雅值”为；
，
为斜边，
，
对应的“股雅值”为，
，
，
解方程，
可得，
方程无解，
，，
当时，，，
当时，舍，
当时，，
，
，
当时，，
舍，
． 【解析】仿照列题，方程，可写成，即可求解；
根据方程，方程的解为，根据勾股定理得出，进而求得，的值，求得面积即可求解；
根据对应的“股雅值”为，得出，根据分式方程无解分类讨论，进而得出当时，当时，根据完全平方公式变形求值，进而即可求解．
本题考查了一元一次方程的解，解分式方程，分母有理化，勾股定理，理解新定义是解题的关键．
 25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
为边上的中点，
，
≌，
；
解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由可得，

，
，
，
，
，，
，
解：连接并延长交的延长线于点，
由可得，
，
，
，，
，
，
，
，
，
由的为直角三角形，

为的中点，为的中点，
设，，
，，，，
，
，
，
，
． 【解析】根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
根据平行四边形的性质得到，连接并延长交的延长线于点，由可得推出，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到结论；
连接并延长交的延长线于点，由可得，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，于是得到；
由的为直角三角形，设，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．