2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）第三次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）第三次月考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋双，各种尺码鞋的销售如表所示：

若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的(    )

A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数

5.  如图，在中，，为边的中点，下列结论不一定正确的是(    )

A.
B.
C. 平分
D.

6.  下列性质中，平行四边形不一定具备的是(    )

A. 对边相等 B. 邻角互补 C. 对角线互相平分 D. 对角互补

7.  已知点在第四象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若一次函数的图象中值随值的增大而增大，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  年月，教育部发布义务教育劳动课程标准年版，其中根据不同学段制定了相应的学段目标，某学校为了让学生热爱劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，定期开展课外劳动实践活动甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖千克土豆与乙班挖千克土豆所用的时间相同已知甲班平均每小时比乙班多挖千克土豆，设乙班平均每小时挖千克的土豆，依题意，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．则下列说法：
若，则四边形为矩形；
若，则四边形为菱形；
若四边形是平行四边形，则与互相平分；
若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．
其中正确的个数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  甲、乙两名射击手的次测试的平均成绩都是环，方差分别是，，则成绩比较稳定的是          填“甲”或“乙”．

14.  若是方程的一个根，则的值为______ ．

15.  某中学拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分，分，分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为______ 分

16.  如图，为正三角形内一点，，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程：
；
．

19.  本小题分
在“爱满扬州”慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了名学生的捐款数进行了统计，并绘制成统计图．
这名同学捐款的众数为______元，中位数为______元；
求这名同学捐款的平均数；
该校共有名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数．

 

20.  本小题分
如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
求证：；
若，求的度数．

21.  本小题分
如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点．
求直线的解析式；
点在直线上，轴，交直线于点，若，求点的坐标．
 

22.  本小题分
“五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进，两种纪念品，购进种纪念品件，种纪念品件，共需元；购进种纪念品件，种纪念品件，共需元．
求购进，两种纪念品每件各需多少元？
若购买两种纪念品共件，并且购买种纪念品的数量不大于种纪念品数量的倍种纪念品每件获利元，种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进，两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？

23.  本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．

24.  本小题分
综合与探究：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程是“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．
通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：．
已知关于的一元二次方程是常数是“邻根方程”，求的值．
若关于的一元二次方程、是常数，且是“邻根方程”，令，求的最大值．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，直线：
直接写出点，的坐标： ______ ， ______ ．
若是直线上的点，且的面积为，求直线的函数表达式；
在的条件下，且当点在第一象限时，设是射线上的点，在平面内存在点使以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程，符合题意；
B、原方程可化为是二元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是二元二次方程，不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则的运用，关键是掌握运算法则．依据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则进行判断即可得出结论．
【解答】
解：，故本选项错误；
B.，故本选项正确；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项错误；
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，
又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，
所以该店主最应关注的销售数据是众数．
故选：．
根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，
是等腰三角形，
，
为边的中点，
，平分，
故选项A、、C正确，不一定成立，
故选：．
由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可．
此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：平行四边形对边相等，故A正确，不合题意；
平行四边形的邻角互补，故B正确，不合题意；
平行四边形对角线互相平分，故C正确，不合题意；
平行四边形对角不一定互补，故D错误，符合题意；
故选：．
直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，
解不等式组，可得：．
故选：．
根据第四象限内点的坐标的特点，得到关于的不等式，求解可得答案．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是理解并掌握各个象限内点的坐标特点，列出关于的不等式．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象中值随值的增大而增大，
，
．
故选：．
由一次函数的图象中值随值的增大而增大，可得出，解之即可得出的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故选：．
本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时．
 

10.【答案】 

【解析】解：经过，
，
，
直线：与直线：相交于点，
方程组的解是，
故选：．
由直线：求得的交点坐标，即可求出方程组的解即可．
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握图象交点与方程组的解的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据甲班挖千克土豆与乙班挖千克土豆所用的时间相同，列分式方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，
故选项正确，错误，
故选：．

本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：，，
，
甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．
根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

14.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
即，
．
故答案为．
利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查一元二次方程的解．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，则该名教师的综合成绩为：


．
故答案为：．
根据加权平均数的计算方法求值即可．
本题考查了加权平均数．掌握加权平均数的算法是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转至，接，
≌，，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，


．
故答案为：．
将绕点逆时针旋转至，接，可证为等边三角形，得出，利用勾股定理逆定理可求出，利用角的性质求出，即可求解．
此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
，，，
，
，
，． 

【解析】先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
 

19.【答案】解：；；
名同学捐款的平均数元；
估计这个中学的捐款总数元． 

【解析】

【分析】
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．
根据众数的定义即出现次数最多的数据进而得出即可，再利用中位数的定义得出即可；
利用条形统计图得出各组频数，再根据加权平均数的公式计算即可；
利用样本估计总体的思想，用总数乘以捐款平均数即可得到捐款总数．
【解答】
解：数据元出现了次，出现次数最多，所以众数是元；
数据总数为，所以中位数是第、位数的平均数，即元．
故答案为，；
见答案；
见答案．  

20.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
；
解：，，
，
，
，
由可知，，
，
，即的度数为． 

【解析】由证明≌，即可解决问题；
由等腰直角三角形的性质得，再求出，即可解决问题．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】解：在中，令，得，
，
把代入得，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为；
，
设，由轴，得，
，
解得或，
或． 

【解析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式．
把点的坐标代入，求出的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
设，则，根据，即可求出的坐标．
 

22.【答案】解：设购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元；
设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，
根据题意得：，
解得：．
设购进的件纪念品全部售出后获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最大值，最大值，此时．
当购进种纪念品件，种纪念品件时，获得的总利润最大，最大总利润为元． 

【解析】设购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元，根据“购进种纪念品件，种纪念品件，共需元；购进种纪念品件，种纪念品件，共需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据购买种纪念品的数量不大于种纪念品数量的倍，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购进的件纪念品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量购进数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，
，且，
，
，
即，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
． 

【解析】根据菱形的性质先证明，进而得到且，证得四边形是平行四边形，再根据是直角证得四边形是矩形；
先根据勾股定理求出，得到的长，利用，求出的长．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题的关键是熟知菱形的性质并灵活运用，菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
 

24.【答案】解：，
，
，，
，
不是“邻根方程”；
解方程得：，
，，
方程是常数是“邻根方程”，
或，
解方程得：
，，
关于的方程、是常数，是“邻根方程”，
，
，
等号两边平方得：，
，
或，
，，
，
当时，有最大值． 

【解析】根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为，从而确定方程是否为“邻根方程”；
先解方程求得其根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况；
根据新定义得方程的大根与小根的差为，列出与的关系式，再由，得与的关系，化简即可．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
 

25.【答案】   

【解析】解：分别与轴、轴交于点、，
点坐标为，点坐标为，
故答案为：，；

设点坐标为，
的面积为，
，
，
点或，
当点的坐标是时，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：；
当点的坐标是，
同理可得：的表达式为：；
综上，直线解析式为：或；

若以为边，设点，
如图，

当四边形是菱形，
，，，
，
，不合题意，舍去，
点，
点；
当四边形是菱形，
，，，
直线解析式为：，
直线与轴交点坐标为，
点坐标为，
，
四边形为正方形，
此时，
点；
若为对角线，如图，

以、、、为顶点的四边形是菱形，
与互相垂直平分，
点的纵坐标为，
点，
点坐标为；
综上所述：点的坐标为或或
对于直线解析式，分别令与为求出与的值，确定出与的坐标，联立两直线解析式求出的坐标即可；
由三角形的面积公式可求点坐标，由待定系数法可求解析式；
分为边和为对角线两种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求解．
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．