2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷 题号一二三四总分得分       一、选择题（本大题共10小题，共30分）下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是(    )A.  B.
C.  D. “天宫课堂”第二课于年月日下午在中国空间站开讲，某一时刻的观看人数达到万，其中万用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 一次函数的图象经过哪几个象限(    )A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线(    )A.  B.
C.  D. 某兴趣小组组织跳绳比赛，参赛的每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行场比赛．设参赛的人数为，则满足的关系式为(    )A.  B.
C.  D. 六位同学的年龄分别是、、、、、岁，关于这组数据，正确说法是(    )A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 众数是已知的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是(    )A.  B. ，，
C.  D. ：：：：如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是(    )A. 当平行四边形是矩形时，
B. 当平行四边形是菱形时，
C. 当平行四边形是正方形时，
D. 当平行四边形是菱形时，
 已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是(    )A. 该函数图象与轴的交点坐标是
B. 当时，的值随值的增大而减小
C. 当取和时，所得到的的值相同
D. 当时，有最大值是如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、若，四边形的面积为则的长为(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18分）直线与轴的交点坐标为______．已知是关于的方程的一个根，则______．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为______．用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直角三角形，，，则正方形的面积为______．
 如图，在中，，是边上的高，、分别是、边的中点，若，，则的周长为______．
 如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：
；；
二次函数的最小值为；若，则；
一元二次方程的两个根为和．
其中正确结论的是______填序号． 三、计算题（本大题共1小题，共6分）计算：． 四、解答题（本大题共8小题，共66分）解方程：
；
．如图，直线的函数表达式为：，与轴交于点，直线经过点，并与直线交于点．
求点的坐标；
求直线的解析式．
为进一步学习新冠防疫知识，增强学生防护能力，某校组织七、八年级各名学生进行“新冠防疫知识测试”满分分现分别在七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩单位：分进行统计、整理如下：
七年级：，，，，，，，，，．
八年级：，，，，，，，，，．
七、八年级测试成绩频数统计表 七年级八年级七、八年级测试成绩分析统计表 平均数中位数众数方差七年级八年级根据以上信息，解答下列问题：
这次比赛中______年级成绩更稳定；
______，______，______；
规定分数不低于分记为“优秀”，估计八年级测试成绩达到“优秀”的学生有多少人；关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
如果，是方程的两个解，令，求的最大值．年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店年月的“冰墩墩”销量为万件，年月的“冰墩墩”销量为万件．
求该店“冰墩墩”销量月到月的月平均增长率；
该零售店月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可销售件，在此基础上售价每涨元，那么每天的销售量就会减少件，商店在确保盈利的情况下如何确定售价，才能使每天销售“冰墩墩”的利润最大？最大利润是多少元？如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接过点作交的延长线于点，连接．
求证：≌；
求证：四边形是矩形；
当，时，求的面积．
定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．
求抛物线的雅礼弦长；
求抛物线的雅礼弦长的取值范围；
设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．如图，在平面直角坐标系中，，，，其中，满足．
求点的坐标；
如图，若点在射线上，且，求线段的长度；
如图，点为线段的中点，点从点出发，沿运动到点停止，连接并延长交轴于点，过点作的垂线交射线于点，连接，，不妨设，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故B不符合题意；
C、对于的每一个取值，不是都有唯一确定的值与之对应，故C符合题意；
D、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，即可判断．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：因为解析式中，，，图象过一、二、四象限，故选B．
根据一次函数的性质容易得出结论．
在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
 4.【答案】 【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得抛物线的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移个单位所得抛物线的解析式为：，
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：设参赛的人数为，
依题意，得：．
故选：．
设参赛的人数为，由参赛的每两人之间都要比赛一场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：选项，平均数岁，故该选项不符合题意；
选项，这组数据从小到大排序为：，，，，，，中位数岁，故该选项不符合题意；
选项，方差，故该选项不符合题意；
选项，出现的次数最多，众数是岁，故该选项符合题意；
故选：．
分别计算这组数据的平均数，中位数，方差，众数即可得出答案．
本题考查了算术平均数，中位数，方差，众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：、，
，
此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，
此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，，
，
此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、设，则，，
，
，解得，
，
此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，
选项A不符合题意；
四边形是菱形，
，但与不一定相等，
选项B符合题意，选项D不符合题意；
四边形是正方形，是对角线，
，
选项C不符合题意；
故选：．
由矩形的性质可判断选项A，由菱形的性质看判断选项B和选项D，由正方形的性质可判断选项C，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质是解决问题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：令，则，
二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故A不符合题意；
二次函数的对称轴为，开口向上，
当时，随的增大而增大，
故B不符合题意；
当时，，当时，
故C符合题意；
二次函数的对称轴为，开口向上，
当时，有最小值，
故D不符合题意．
故选：．
在中，令得，可判定不符合题意；由，对称轴直线可判断不符合题意；根据当时，；当时，，可判定符合题意；由，根据函数性质可判定不符合题意．
本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握抛物线与轴交点、抛物线增减性及函数的最值等知识．
 10.【答案】 【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键．
根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】
解：根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得．
故选：．  11.【答案】 【解析】解：
在中，令可得，解得，
直线与轴的交点坐标为，
故答案为：．
在中，令即可求得答案．
本题主要考查函数与坐标轴的交点求法，掌握函数图象与坐标轴的交点的求法是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：将代入方程，得：，即，
则原式

，
故答案为：．
将代入方程得出，再整体代入计算可得．
本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算．
 13.【答案】 【解析】解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴是直线，
点，，在二次函数的图象上，且，
、、的大小关系为：．
故答案为：．
二次函数开口向上，对称轴是直线，在对称轴两侧时，则、、的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
 14.【答案】 【解析】解：设正方形纸片，，的边长分别为，，则，，．
由题意可得，、、恰好为阴影部分的三角形的三边，
阴影部分的三角形是直角三角形．
．
即．
，．
．
故答案为：．
由题意可得，三个正方形的边长恰好凑成一个直角三角形，利用勾股定理可得，两个较小正方形的面积之和等于最大的正方形的面积．即据此可求．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，解题的关键是明确正方形的面积等于边长的平方．
 15.【答案】 【解析】解：在中，由勾股定理得：，
，
，
、分别是、边的中点，，，，
，，，
的周长，
故答案为：．
根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出和，根据三角形的中位线性质求出，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：由图象可得，，，，
，所以正确；

当时，，所以错误；

二次函数的图象经过点、点，
抛物线解析式为，
即，
，
当时，二次函数有最小值，所以正确；

点关于直线的对称点为，
当，则或，所以错误；

，，
方程化为，
整理得，解得，，所以正确．
故答案为：．
由抛物线的对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号即可对进行判断；利用图象即可判断；利用交点式写出抛物线解析式为，配成顶点式得，则可对进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对进行判断；由于，，则方程化为，然后解方程可对进行判断．
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点坐标问题．
 17.【答案】解：原式
． 【解析】根据绝对值的性质，负整数指数幂的法则，立方根的性质，指数幂的法则进行计算便可．
本题主要考查了实数的运算，关键是熟记绝对值的性质，负整数指数幂的法则，立方根的性质，指数幂的法则．
 18.【答案】解：，
，
，；
，
，
，
，
，
或，
，． 【解析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法，解一元二次方程配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 19.【答案】解：直线与直线交于点．
把点代入得，，
点的坐标为；
设直线的解析式为，
直线经过点，并与直线交于点．
，
解得，
直线的解析式为． 【解析】把点的坐标代入，求出的值，即可得点的坐标；
利用待定系数法求出直线的解析式即可．
本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
 20.【答案】八       【解析】解：八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
八年级成绩更稳定．
故答案为：八；
由八年级随机抽取名学生的测试成绩得，
七年级随机抽取名学生的测试成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，．
第、个数为，，
，
八年级测试成绩的平均数，
故答案为：，，；
人，
答：估计八年级测试成绩达到“优秀”的学生有人．
两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可；
应用平均数，中位数的定义进行求解即可得出答案；
应用用样本估计总体的方法进行求即即可得出答案．
本题主要考查了用样本估计总体，平均数，中位数，众数，方差，熟练应用用样本估计总体，平均数，中位数，众数，方差的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 21.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
的取值范围为；
，是关于的一元二次方程的两个解，
，．
，
时，的最大值为． 【解析】根据方程存在实数解的取值范围计算即可；
根据韦达定理表示出和，进而表示，求的最大值即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 22.【答案】解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，
由题意可得，，
解得，舍去，
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为；
设每件商品的涨价元，利润为元，
则每件商品的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意可得，
由，
，
，
，
当，利润最大元，
既当售价为元时，利润最大为元． 【解析】设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，由题意可列方程为，求解即可；
设每件商品的涨价元，利润为元，根据利润每件的利润销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查二次函数和一元二次方程的应用，能根据已知条件列出函数解析式和方程是解答本题的关键．
 23.【答案】证明：，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌；
证明：≌，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
． 【解析】由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的性质得，则，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由矩形的在即可得出结论
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 24.【答案】解：，
，
，，
雅礼弦长；
，，
，
，，
，
，
当时，最小值为，
当时，最大值小于，
；
由题意，令，
，，
则，
同理，
，
，
要不论为何值，恒成立，
即：恒成立，
由题意得：，，
解得：，
，为正整数，且，
则，或，． 【解析】通过理解题意令，解出两个解进而求得该抛物线的雅礼弦长．
令，用含的式子表示，通过的范围得出该抛物线雅礼弦长的取值范围．
令，得出，，通过逻辑运算结合题意，即可求解，的值．
本题考查了二次函数与代数中新定义的问题，关键在于正确理解题意并类比运用解决问题．
 25.【答案】解：，
，且，
，，
；
如图，过点作轴于点，
由可知，，，，
，
由题意可知：，，
，
，
，
；
分两种情况：
如图，当点在线段的延长线上时，
由题意可知：，，
点为线段的中点，
，
由可知，四边形是正方形，
，
，，
≌，
，
，
为线段的中垂线，
，
设，
在中，由勾股定理得：，
同理，
，
，
整理得：，
由勾股定理得：，
，
；
如图，当点在线段包含点上时，
同理得：；
综上所述，与的函数关系式为． 【解析】由算术平方根和绝对值的非负性质得，且，则，，即可得出结论；
过点作轴于点，由题意可知，，再由得，然后由勾股定理即可解决问题；
分两种情况，当点在线段的延长线上时，由题意可知，，易证≌，得，再由线段垂直平分线的性质得，设，然后由勾股定理得，则，进而由勾股定理得，则，即可解决问题；
当点在线段包含点上时，同理得，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了算术平方根和绝对值的非负性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、正方形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键，注意分类讨论．