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2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学记数法表示为（ ）
A．5.46×102 B．5.46×103 C．5.46×106 D．5.46×107
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．a2•a3＝a6 C．a2+a2＝a4 D．（﹣a3）2＝a6
3．（3分）在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲，乙两位同学的平均分都是85分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5．下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
4．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
5．（3分）将直线y＝﹣2x向下平移3个单位得到的直线的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣3
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（ ）
A．5 B． C． D．
9．（3分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．125.6（1﹣x）2＝130 B．125.6（1+2x）＝130
C．130（1﹣x）2＝125.6 D．125.6（1+x）2＝130
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：
①abc＞0；②b2＜4ac；③9a+3b+c＜0；④2c＜3b．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）分解因式：3xy﹣x2＝ ．
12．（3分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝10米，则AB＝ 米．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx和y＝﹣x+b的图象，如图所示，则不等式kx＜﹣x+b的解集为 ．
14．（3分）若a，b是方程x2﹣x﹣505＝0的两个实数根，则（2a﹣1）（2b﹣1）＝ ．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝108°，CE平分∠BCD交AB于点E，则∠AEC的大小是 ．
16．（3分）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．
19．（6分）已知，如图，一次函数的图象经过点P（4，2）和B（0，﹣2），与x轴交于点A．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点Q，且△ABQ的面积为6，求点Q的坐标．
20．（8分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分、得分均为不小于60的整数），测试成绩为60～70分记为基本合格，70～80分记为合格，80～90分记为良好，90～100分记为优秀，并制作如图统计图（部分信息未给出）
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）本次测试抽取的学生人数有 名，并补全频数分布直方图．
（2）扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为 ．
（3）这次测试成绩的中位数是 等级（填“优秀、良好、合格或基本合格”）．
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
21．（8分）人教版初中数学教科书八年级下册第53页告诉我们直角三角形的一个性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，我们一起来探究这条性质的证明过程：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：．
证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE．
（1）请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程．
（2）定理应用：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD，点M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F，连接EC、EM．
①线段CM与EM的数量关系是 ；
②若BD是∠ABC的平分线，且∠BAC＝52°，则∠EMB＝ ．
22．（9分）兰兰打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买1支康乃馨和2支百合共需花费23元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多5元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）兰兰准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．
23．（9分）如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题：
（1）求证：OB＝OD；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）求AM的长．
24．（10分）对于定点P（a，b），其中ab≠0，我们构造一个经过定点P的“ab系函数”：若a≥b时，y＝a（x﹣a）+b；若a＜b时，y＝b（x﹣a）2+b．
（1）已知点A（﹣1，2），则过点A的“ab系函数”为 ．
（2）已知点B（4，b）在第一象限内，且过点B（4，b）的“ab系函数”在y＝0时有整数解，求b的值．
（3）已知点M（a，b）在直线y＝x的上方，且过点M（a，b）的“ab系函数”在﹣2≤x≤0时，2≤y≤6，求a，b的值．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P从点B出发，沿着射线BC运动，速度每秒个单位长度，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．设运动时间为t秒．
①在运动过程中，当t为何值时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大？并求出此时点P的坐标．
②若点N同时从点B出发，向x轴正方向运动，速度每秒v个单位长度，问：是否存在t使点B，C，M，N构成平行四边形？若存在，求出t，v的值；若不存在，说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学记数法表示为（ ）
A．5.46×102 B．5.46×103 C．5.46×106 D．5.46×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5460万＝54600000＝5.46×107，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．a2•a3＝a6 C．a2+a2＝a4 D．（﹣a3）2＝a6
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则进行判断即可．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的运算．掌握运算法则是解题的关键．
3．（3分）在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲，乙两位同学的平均分都是85分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5．下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
【分析】利用方差的意义进行判断．
【解答】解：∵甲，乙两位同学的平均分都是85分，
而甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5，
即甲的成绩方差大于乙的成绩方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定．
故选：B．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
【分析】根据二次根式的意义和分母不为0可知：x﹣1＞0，可求x的范围．
【解答】解：要使函数有意义，
则x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故选：B．
【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式含有分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式含有二次根式时，被开方数为非负数．
5．（3分）将直线y＝﹣2x向下平移3个单位得到的直线的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣3
【分析】根据平移时k值不变及上移加，下移减可得出平移后直线的解析式．
【解答】解：将直线y＝﹣2x向下平移3个单位得到的直线的表达式为：y＝﹣2x﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据根的判别式得到Δ＝a2﹣4×1×1＞0，然后解关于a的不等式，即可求出a的范围，并根据选项判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝a2﹣4×1×1＞0，解的a＞2或a＜﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝﹣kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】依据矩形的性质，即可得到AC的长，再根据勾股定理即可得到BC的长，即可得出结论．
【解答】解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，
∴AC＝2AO＝4，
又∵AB＝3，∠ABC＝90°，
∴BC＝＝，
∴AD＝BC＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．
9．（3分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．125.6（1﹣x）2＝130 B．125.6（1+2x）＝130
C．130（1﹣x）2＝125.6 D．125.6（1+x）2＝130
【分析】设年平均增长率为x，由题意得等量关系：2018年销量×（1+增长率）2＝2020年销量，根据等量关系列出方程．
【解答】解：设年平均增长率为x，可列方程为：
125.6（1+x）2＝130，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：
①abc＞0；②b2＜4ac；③9a+3b+c＜0；④2c＜3b．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，即可求解；
②根据抛物线与x轴有两个交点求解；
③当x＝3时，y＜0，即可求解；
④函数的对称轴为：x＝1，故b＝﹣2a，而由②知：b＞a+c，故2c＜3b即可求解．
【解答】解：①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故①错误，不符合题意；
②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误，不符合题意；
③x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故正确，符合题意；
④函数的对称轴为：x＝1，故b＝﹣2a，而由②知：b＞a+c，故2c＜3b正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）分解因式：3xy﹣x2＝ x（3y﹣x） ．
【分析】原式提取公因式x即可．
【解答】解：原式＝x（3y﹣x）．
故答案为：x（3y﹣x）．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键．
12．（3分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝10米，则AB＝ 20 米．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝20（米），
故答案为：20．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx和y＝﹣x+b的图象，如图所示，则不等式kx＜﹣x+b的解集为 x＜1 ．
【分析】结合图象，写出直线y＝kx在直线y＝﹣x+b下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：如图所示：∵一次函数y＝kx和y＝﹣x+b的图象交点为（1，2），
∴关于x的一元一次不等式kx＜﹣x+b的解集是：x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解题是关键．
14．（3分）若a，b是方程x2﹣x﹣505＝0的两个实数根，则（2a﹣1）（2b﹣1）＝ ﹣2021 ．
【分析】由根与系数的关系可求得a+b与ab的值，代入求值即可．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣505＝0的两个实数根，
∴a+b＝1，ab＝﹣505，
∴（2a﹣1）（2b﹣1）＝4ab﹣2a﹣2b+1＝4ab﹣2（a+b）+1＝4×（﹣505）﹣2×1+1＝﹣2021，
故答案为：﹣2021．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝108°，CE平分∠BCD交AB于点E，则∠AEC的大小是 144° ．
【分析】由平行四边形的性质可得DC∥AB，∠D＝∠B＝108°，由角平分线的性质得出∠DCE＝∠BCE，则可得出∠BEC＝∠BCE，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，∠D＝∠B＝108°，
∴∠DCE＝∠BEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴∠BEC＝×（180°﹣∠B）＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠AEC＝180°﹣∠BEC＝144°，
故答案为144°．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质及角平分线的性质求得∠BEC＝∠BCE是解题的关键．
16．（3分）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
【分析】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣）2+．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答】解：设P（x，x2﹣2x﹣3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2+．
∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）计算：．
【分析】首先计算零指数幂、乘方、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝﹣1+2﹣1+（2﹣）
＝0+2﹣
＝2﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．
【分析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：原式＝
＝，
当a＝﹣3时，原式＝．
【点评】本题考查分式的混合运算及二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
19．（6分）已知，如图，一次函数的图象经过点P（4，2）和B（0，﹣2），与x轴交于点A．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点Q，且△ABQ的面积为6，求点Q的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）设点Q的坐标为（t，0），先利用一次函数解析式确定A点坐标，再利用三角形面积公式得到×|t﹣2|×2＝6，然后解方程求出，从而得到Q点的坐标．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把P（4，2）和B（0，﹣2）分别代入得，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣2；
（2）设点Q的坐标为（t，0），
当y＝0时，x﹣2＝0，解得x＝2，
∴点A的坐标为（2，0）
∵△ABQ的面积为6，
∴×|t﹣2|×2＝6，解得t＝8或t＝﹣4，
∴Q点的坐标为（﹣4，0）或（8，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数的性质．
20．（8分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分、得分均为不小于60的整数），测试成绩为60～70分记为基本合格，70～80分记为合格，80～90分记为良好，90～100分记为优秀，并制作如图统计图（部分信息未给出）
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）本次测试抽取的学生人数有 200 名，并补全频数分布直方图．
（2）扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为 144° ．
（3）这次测试成绩的中位数是 良好 等级（填“优秀、良好、合格或基本合格”）．
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
【分析】（1）根据题意列式计算，进而可以补全频数分布直方图即可；
（2）结合（1）根据“良好”所占百分比，即可计算扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据中位数的意义解决问题即可；
（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）抽取学生的总人数为：30÷15%＝200（人）；
故答案为：200；
如图即为补全的频数分布直方图；
（2）扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数是×360°＝144°；
故答案为：144°；
（3）这次测试成绩的中位数会落在良好等级；
故答案为：良好；
（4）×1500＝300（人）．
答：估计该校获得优秀的学生有300人．
【点评】此题考查了频数与频率，频数分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，中位数，正确理解题意是关键．
21．（8分）人教版初中数学教科书八年级下册第53页告诉我们直角三角形的一个性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，我们一起来探究这条性质的证明过程：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：．
证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE．
（1）请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程．
（2）定理应用：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD，点M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F，连接EC、EM．
①线段CM与EM的数量关系是 CM＝EM ；
②若BD是∠ABC的平分线，且∠BAC＝52°，则∠EMB＝ 142° ．
【分析】（1）延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，构造矩形，利用矩形的性质解决问题．
（2）①利用（1）中结论，可以解决问题．
②△EBM是等腰三角形，求出底角∠EBM即可解决问题．
【解答】（1）证明：延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，
则CD＝CE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴CE＝AB，
∴CD＝AB．
（2）解：①结论：CM＝EM．
理由：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DCB＝90°，
∵DM＝MB，
∴CM＝DB，EM＝DB，
∴CM＝EM．
故答案为：CM＝EM．
②∵∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠ABC＝90°﹣52°＝38°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝×38°＝19°，
∵DM＝BM＝EM，
∴∠MEB＝∠MBE＝19°，
∴∠EMB＝180°﹣19°﹣19°＝142°，
故答案为：142°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
22．（9分）兰兰打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买1支康乃馨和2支百合共需花费23元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多5元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）兰兰准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．
【分析】（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，根据“买1支康乃馨和2支百合共需花费23元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多5元”列出方程组求解即可；
（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，由百合不少于2支求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出最少费用．
【解答】解：（1）设买一支康乃馨需a元，买一支百合需b元，根据题意得：
，
解得：，
答：买一支康乃馨需7元，买一支百合需8元；
（2）根据题意得：w＝7x+8（11﹣x）＝﹣x+88，
∵百合不少于2支，
∴11﹣x≥2，
解得：x≤9，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝9时，w最小，即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，w最小＝﹣9+88＝79（元），
答：w与x之间的函数关系式为w＝﹣x+88，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为79元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系列出方程组．
23．（9分）如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题：
（1）求证：OB＝OD；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）求AM的长．
【分析】（1）证△AOD≌△COB（AAS），即可得出结论；
（2）先证四边形ABCD为平行四边形，再由勾股定理的逆定理证△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，则AC⊥BD，即可得出结论；
（3）由菱形的面积得BC•AM＝AC•BD，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OB＝OD；
（2）证明：∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵OB＝OD＝BD＝4，OA＝OC＝AC＝3，AB＝5，
∴OB2+OA2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝AB＝5，
∴BC•AM＝AC•BD，
即5AM＝×6×8，
∴AM＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明△AOD≌△COD是解题的关键．
24．（10分）对于定点P（a，b），其中ab≠0，我们构造一个经过定点P的“ab系函数”：若a≥b时，y＝a（x﹣a）+b；若a＜b时，y＝b（x﹣a）2+b．
（1）已知点A（﹣1，2），则过点A的“ab系函数”为 y＝2（x+1）2+2 ．
（2）已知点B（4，b）在第一象限内，且过点B（4，b）的“ab系函数”在y＝0时有整数解，求b的值．
（3）已知点M（a，b）在直线y＝x的上方，且过点M（a，b）的“ab系函数”在﹣2≤x≤0时，2≤y≤6，求a，b的值．
【分析】（1）根据“ab系函数”的定义即可求得；
（2）分两种情况讨论，得到函数解析式，令y＝0，求得x的值，根据x为整数且b＞0，即可求得b的值；
（3）先求过点M（a，b）的“ab系函数”为y＝b（x﹣a）2+b，再分两种情况求：当a＞0时，b＞0，2＝ba2+b，6＝b（﹣2﹣a）2+b，此情况不存在；当a＜0时，6＝ba2+b，2＝b（﹣2﹣a）2+b，解得a＝﹣3﹣，b＝﹣2+．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）中，﹣1＜2，
∴过点A的“ab系函数”为y＝2（x+1）2+2，
故答案为y＝2（x+1）2+2；
（2）当4＜b时，y＝b（x﹣4）2+b，令y＝0时，方程无解，舍去，
当4≥b＞0时，y＝4（x﹣4）+b，令y＝0时，解得x＝＝4﹣，
因为过点B（4，b）的“ab系函数”在y＝0时有整数解，即x为整数，
又因为b＞0，
∴b＝4；
（3）∵点M（a，b）在直线y＝x的上方，
∴b＞a，
∴过点M（a，b）的“ab系函数”为y＝b（x﹣a）2+b，
当a＞0时，b＞0，
∵﹣2≤x≤0时，2≤y≤6，
∴2＝ba2+b，6＝b（﹣2﹣a）2+b，
∴b（a+1）＝1，b（a2+1）＝2，
∴＝，
∴a＝1，
∴a＝1+，b＝1﹣（舍）；a＝1﹣，b＝1+（舍）
∴此情况不存在；
当a＜0时，
∵﹣2≤x≤0时，2≤y≤6，
∴6＝ba2+b，2＝b（﹣2﹣a）2+b，
∴b（a+1）＝﹣1，b（a2+1）＝6，
∴＝﹣，
∴a＝﹣3，
∴a＝﹣3+，b＝﹣2﹣（舍）；a＝﹣3﹣，b＝﹣2+，
∴a＝﹣3﹣，b＝﹣2+．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，理解新定义，能将所求知识与二次函数结合，并能准确的解出二元一次方程组是解题的关键．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P从点B出发，沿着射线BC运动，速度每秒个单位长度，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．设运动时间为t秒．
①在运动过程中，当t为何值时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大？并求出此时点P的坐标．
②若点N同时从点B出发，向x轴正方向运动，速度每秒v个单位长度，问：是否存在t使点B，C，M，N构成平行四边形？若存在，求出t，v的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先根据对称轴求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①根据题意表示出BA和BC的值，再利用平方差公式表示出（MA+MC）（MA﹣MC）的值，求出最值即可；
②根据对角线的情况分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴B（﹣3，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
代入C（0，3），得3＝a×3×（﹣1），
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P（m，m+3），则点M为（m，﹣m2﹣2m+3），
∴（MA+MC）（MA﹣MC）＝MA2﹣MC2
＝（1﹣m）2﹣（﹣m2﹣2m+3）2﹣（﹣m）2﹣（﹣m2﹣2m+3﹣3）2
＝﹣6m2﹣14m+10
＝，
当时，（MA+MC）（MA﹣MC）最大，
此时，
所以此时，
∴当时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大，此时点P的坐标为（，）；
②存在t的值，
由题意得B（﹣3，0），C（0，3），M（t﹣3，﹣t2+4t），N（vt﹣3，0），
若BC为对角线，由中点坐标公式得：
，
解得：或（舍），
∴t＝1，v＝2，
若BM为对角线，由中点坐标公式得：
，
解得：（舍）或者（舍），
∴此种情况无满足的t，v，
若BN为对角线，由中点坐标公式得：
，
解得：（舍）或者，
∴t＝2+，v＝﹣1+，
综上，t＝1，v＝2，或者t＝2+，v＝﹣1+．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求函数的解析式，通过解析式即可二次函数与x轴的交点，与y轴的交点，顶点的坐标等，在判断平行四边形时，只需要考虑对角线的情况即可．
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2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学记数法表示为（ ）
A．5.46×102 B．5.46×103 C．5.46×106 D．5.46×107
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．a2•a3＝a6 C．a2+a2＝a4 D．（﹣a3）2＝a6
3．（3分）在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲，乙两位同学的平均分都是85分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5．下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
4．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
5．（3分）将直线y＝﹣2x向下平移3个单位得到的直线的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣3
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（ ）
A．5 B． C． D．
9．（3分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．125.6（1﹣x）2＝130 B．125.6（1+2x）＝130
C．130（1﹣x）2＝125.6 D．125.6（1+x）2＝130
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：
①abc＞0；②b2＜4ac；③9a+3b+c＜0；④2c＜3b．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）分解因式：3xy﹣x2＝ ．
12．（3分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝10米，则AB＝ 米．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx和y＝﹣x+b的图象，如图所示，则不等式kx＜﹣x+b的解集为 ．
14．（3分）若a，b是方程x2﹣x﹣505＝0的两个实数根，则（2a﹣1）（2b﹣1）＝ ．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝108°，CE平分∠BCD交AB于点E，则∠AEC的大小是 ．
16．（3分）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．
19．（6分）已知，如图，一次函数的图象经过点P（4，2）和B（0，﹣2），与x轴交于点A．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点Q，且△ABQ的面积为6，求点Q的坐标．
20．（8分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分、得分均为不小于60的整数），测试成绩为60～70分记为基本合格，70～80分记为合格，80～90分记为良好，90～100分记为优秀，并制作如图统计图（部分信息未给出）
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）本次测试抽取的学生人数有 名，并补全频数分布直方图．
（2）扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为 ．
（3）这次测试成绩的中位数是 等级（填“优秀、良好、合格或基本合格”）．
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
21．（8分）人教版初中数学教科书八年级下册第53页告诉我们直角三角形的一个性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，我们一起来探究这条性质的证明过程：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：．
证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE．
（1）请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程．
（2）定理应用：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD，点M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F，连接EC、EM．
①线段CM与EM的数量关系是 ；
②若BD是∠ABC的平分线，且∠BAC＝52°，则∠EMB＝ ．
22．（9分）兰兰打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买1支康乃馨和2支百合共需花费23元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多5元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）兰兰准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．
23．（9分）如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题：
（1）求证：OB＝OD；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）求AM的长．
24．（10分）对于定点P（a，b），其中ab≠0，我们构造一个经过定点P的“ab系函数”：若a≥b时，y＝a（x﹣a）+b；若a＜b时，y＝b（x﹣a）2+b．
（1）已知点A（﹣1，2），则过点A的“ab系函数”为 ．
（2）已知点B（4，b）在第一象限内，且过点B（4，b）的“ab系函数”在y＝0时有整数解，求b的值．
（3）已知点M（a，b）在直线y＝x的上方，且过点M（a，b）的“ab系函数”在﹣2≤x≤0时，2≤y≤6，求a，b的值．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P从点B出发，沿着射线BC运动，速度每秒个单位长度，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．设运动时间为t秒．
①在运动过程中，当t为何值时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大？并求出此时点P的坐标．
②若点N同时从点B出发，向x轴正方向运动，速度每秒v个单位长度，问：是否存在t使点B，C，M，N构成平行四边形？若存在，求出t，v的值；若不存在，说明理由．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2021年5月15日07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学记数法表示为（ ）
A．5.46×102 B．5.46×103 C．5.46×106 D．5.46×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5460万＝54600000＝5.46×107，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．a2•a3＝a6 C．a2+a2＝a4 D．（﹣a3）2＝a6
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则进行判断即可．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的运算．掌握运算法则是解题的关键．
3．（3分）在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲，乙两位同学的平均分都是85分，甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5．下列说法正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
【分析】利用方差的意义进行判断．
【解答】解：∵甲，乙两位同学的平均分都是85分，
而甲的成绩方差是16，乙的成绩方差是5，
即甲的成绩方差大于乙的成绩方差，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定．
故选：B．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
【分析】根据二次根式的意义和分母不为0可知：x﹣1＞0，可求x的范围．
【解答】解：要使函数有意义，
则x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故选：B．
【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式含有分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式含有二次根式时，被开方数为非负数．
5．（3分）将直线y＝﹣2x向下平移3个单位得到的直线的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣3
【分析】根据平移时k值不变及上移加，下移减可得出平移后直线的解析式．
【解答】解：将直线y＝﹣2x向下平移3个单位得到的直线的表达式为：y＝﹣2x﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据根的判别式得到Δ＝a2﹣4×1×1＞0，然后解关于a的不等式，即可求出a的范围，并根据选项判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝a2﹣4×1×1＞0，解的a＞2或a＜﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝﹣kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】依据矩形的性质，即可得到AC的长，再根据勾股定理即可得到BC的长，即可得出结论．
【解答】解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，
∴AC＝2AO＝4，
又∵AB＝3，∠ABC＝90°，
∴BC＝＝，
∴AD＝BC＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．
9．（3分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．125.6（1﹣x）2＝130 B．125.6（1+2x）＝130
C．130（1﹣x）2＝125.6 D．125.6（1+x）2＝130
【分析】设年平均增长率为x，由题意得等量关系：2018年销量×（1+增长率）2＝2020年销量，根据等量关系列出方程．
【解答】解：设年平均增长率为x，可列方程为：
125.6（1+x）2＝130，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：
①abc＞0；②b2＜4ac；③9a+3b+c＜0；④2c＜3b．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，即可求解；
②根据抛物线与x轴有两个交点求解；
③当x＝3时，y＜0，即可求解；
④函数的对称轴为：x＝1，故b＝﹣2a，而由②知：b＞a+c，故2c＜3b即可求解．
【解答】解：①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故①错误，不符合题意；
②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误，不符合题意；
③x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故正确，符合题意；
④函数的对称轴为：x＝1，故b＝﹣2a，而由②知：b＞a+c，故2c＜3b正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）分解因式：3xy﹣x2＝ x（3y﹣x） ．
【分析】原式提取公因式x即可．
【解答】解：原式＝x（3y﹣x）．
故答案为：x（3y﹣x）．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键．
12．（3分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝10米，则AB＝ 20 米．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝20（米），
故答案为：20．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx和y＝﹣x+b的图象，如图所示，则不等式kx＜﹣x+b的解集为 x＜1 ．
【分析】结合图象，写出直线y＝kx在直线y＝﹣x+b下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：如图所示：∵一次函数y＝kx和y＝﹣x+b的图象交点为（1，2），
∴关于x的一元一次不等式kx＜﹣x+b的解集是：x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解题是关键．
14．（3分）若a，b是方程x2﹣x﹣505＝0的两个实数根，则（2a﹣1）（2b﹣1）＝ ﹣2021 ．
【分析】由根与系数的关系可求得a+b与ab的值，代入求值即可．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣505＝0的两个实数根，
∴a+b＝1，ab＝﹣505，
∴（2a﹣1）（2b﹣1）＝4ab﹣2a﹣2b+1＝4ab﹣2（a+b）+1＝4×（﹣505）﹣2×1+1＝﹣2021，
故答案为：﹣2021．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝108°，CE平分∠BCD交AB于点E，则∠AEC的大小是 144° ．
【分析】由平行四边形的性质可得DC∥AB，∠D＝∠B＝108°，由角平分线的性质得出∠DCE＝∠BCE，则可得出∠BEC＝∠BCE，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，∠D＝∠B＝108°，
∴∠DCE＝∠BEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴∠BEC＝×（180°﹣∠B）＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠AEC＝180°﹣∠BEC＝144°，
故答案为144°．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质及角平分线的性质求得∠BEC＝∠BCE是解题的关键．
16．（3分）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
【分析】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣）2+．根据二次函数的性质来求最值即可．
【解答】解：设P（x，x2﹣2x﹣3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2+．
∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（6分）计算：．
【分析】首先计算零指数幂、乘方、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝﹣1+2﹣1+（2﹣）
＝0+2﹣
＝2﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．
【分析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：原式＝
＝，
当a＝﹣3时，原式＝．
【点评】本题考查分式的混合运算及二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
19．（6分）已知，如图，一次函数的图象经过点P（4，2）和B（0，﹣2），与x轴交于点A．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点Q，且△ABQ的面积为6，求点Q的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）设点Q的坐标为（t，0），先利用一次函数解析式确定A点坐标，再利用三角形面积公式得到×|t﹣2|×2＝6，然后解方程求出，从而得到Q点的坐标．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把P（4，2）和B（0，﹣2）分别代入得，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣2；
（2）设点Q的坐标为（t，0），
当y＝0时，x﹣2＝0，解得x＝2，
∴点A的坐标为（2，0）
∵△ABQ的面积为6，
∴×|t﹣2|×2＝6，解得t＝8或t＝﹣4，
∴Q点的坐标为（﹣4，0）或（8，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数的性质．
20．（8分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分、得分均为不小于60的整数），测试成绩为60～70分记为基本合格，70～80分记为合格，80～90分记为良好，90～100分记为优秀，并制作如图统计图（部分信息未给出）
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）本次测试抽取的学生人数有 200 名，并补全频数分布直方图．
（2）扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为 144° ．
（3）这次测试成绩的中位数是 良好 等级（填“优秀、良好、合格或基本合格”）．
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
【分析】（1）根据题意列式计算，进而可以补全频数分布直方图即可；
（2）结合（1）根据“良好”所占百分比，即可计算扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据中位数的意义解决问题即可；
（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）抽取学生的总人数为：30÷15%＝200（人）；
故答案为：200；
如图即为补全的频数分布直方图；
（2）扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数是×360°＝144°；
故答案为：144°；
（3）这次测试成绩的中位数会落在良好等级；
故答案为：良好；
（4）×1500＝300（人）．
答：估计该校获得优秀的学生有300人．
【点评】此题考查了频数与频率，频数分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，中位数，正确理解题意是关键．
21．（8分）人教版初中数学教科书八年级下册第53页告诉我们直角三角形的一个性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，我们一起来探究这条性质的证明过程：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：．
证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE．
（1）请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程．
（2）定理应用：如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD，点M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F，连接EC、EM．
①线段CM与EM的数量关系是 CM＝EM ；
②若BD是∠ABC的平分线，且∠BAC＝52°，则∠EMB＝ 142° ．
【分析】（1）延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，构造矩形，利用矩形的性质解决问题．
（2）①利用（1）中结论，可以解决问题．
②△EBM是等腰三角形，求出底角∠EBM即可解决问题．
【解答】（1）证明：延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，
则CD＝CE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴CE＝AB，
∴CD＝AB．
（2）解：①结论：CM＝EM．
理由：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DCB＝90°，
∵DM＝MB，
∴CM＝DB，EM＝DB，
∴CM＝EM．
故答案为：CM＝EM．
②∵∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠ABC＝90°﹣52°＝38°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝×38°＝19°，
∵DM＝BM＝EM，
∴∠MEB＝∠MBE＝19°，
∴∠EMB＝180°﹣19°﹣19°＝142°，
故答案为：142°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
22．（9分）兰兰打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买1支康乃馨和2支百合共需花费23元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多5元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）兰兰准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．
【分析】（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，根据“买1支康乃馨和2支百合共需花费23元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多5元”列出方程组求解即可；
（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，由百合不少于2支求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出最少费用．
【解答】解：（1）设买一支康乃馨需a元，买一支百合需b元，根据题意得：
，
解得：，
答：买一支康乃馨需7元，买一支百合需8元；
（2）根据题意得：w＝7x+8（11﹣x）＝﹣x+88，
∵百合不少于2支，
∴11﹣x≥2，
解得：x≤9，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝9时，w最小，即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，w最小＝﹣9+88＝79（元），
答：w与x之间的函数关系式为w＝﹣x+88，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为79元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系列出方程组．
23．（9分）如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题：
（1）求证：OB＝OD；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）求AM的长．
【分析】（1）证△AOD≌△COB（AAS），即可得出结论；
（2）先证四边形ABCD为平行四边形，再由勾股定理的逆定理证△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，则AC⊥BD，即可得出结论；
（3）由菱形的面积得BC•AM＝AC•BD，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OB＝OD；
（2）证明：∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵OB＝OD＝BD＝4，OA＝OC＝AC＝3，AB＝5，
∴OB2+OA2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝AB＝5，
∴BC•AM＝AC•BD，
即5AM＝×6×8，
∴AM＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明△AOD≌△COD是解题的关键．
24．（10分）对于定点P（a，b），其中ab≠0，我们构造一个经过定点P的“ab系函数”：若a≥b时，y＝a（x﹣a）+b；若a＜b时，y＝b（x﹣a）2+b．
（1）已知点A（﹣1，2），则过点A的“ab系函数”为 y＝2（x+1）2+2 ．
（2）已知点B（4，b）在第一象限内，且过点B（4，b）的“ab系函数”在y＝0时有整数解，求b的值．
（3）已知点M（a，b）在直线y＝x的上方，且过点M（a，b）的“ab系函数”在﹣2≤x≤0时，2≤y≤6，求a，b的值．
【分析】（1）根据“ab系函数”的定义即可求得；
（2）分两种情况讨论，得到函数解析式，令y＝0，求得x的值，根据x为整数且b＞0，即可求得b的值；
（3）先求过点M（a，b）的“ab系函数”为y＝b（x﹣a）2+b，再分两种情况求：当a＞0时，b＞0，2＝ba2+b，6＝b（﹣2﹣a）2+b，此情况不存在；当a＜0时，6＝ba2+b，2＝b（﹣2﹣a）2+b，解得a＝﹣3﹣，b＝﹣2+．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）中，﹣1＜2，
∴过点A的“ab系函数”为y＝2（x+1）2+2，
故答案为y＝2（x+1）2+2；
（2）当4＜b时，y＝b（x﹣4）2+b，令y＝0时，方程无解，舍去，
当4≥b＞0时，y＝4（x﹣4）+b，令y＝0时，解得x＝＝4﹣，
因为过点B（4，b）的“ab系函数”在y＝0时有整数解，即x为整数，
又因为b＞0，
∴b＝4；
（3）∵点M（a，b）在直线y＝x的上方，
∴b＞a，
∴过点M（a，b）的“ab系函数”为y＝b（x﹣a）2+b，
当a＞0时，b＞0，
∵﹣2≤x≤0时，2≤y≤6，
∴2＝ba2+b，6＝b（﹣2﹣a）2+b，
∴b（a+1）＝1，b（a2+1）＝2，
∴＝，
∴a＝1，
∴a＝1+，b＝1﹣（舍）；a＝1﹣，b＝1+（舍）
∴此情况不存在；
当a＜0时，
∵﹣2≤x≤0时，2≤y≤6，
∴6＝ba2+b，2＝b（﹣2﹣a）2+b，
∴b（a+1）＝﹣1，b（a2+1）＝6，
∴＝﹣，
∴a＝﹣3，
∴a＝﹣3+，b＝﹣2﹣（舍）；a＝﹣3﹣，b＝﹣2+，
∴a＝﹣3﹣，b＝﹣2+．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，理解新定义，能将所求知识与二次函数结合，并能准确的解出二元一次方程组是解题的关键．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P从点B出发，沿着射线BC运动，速度每秒个单位长度，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．设运动时间为t秒．
①在运动过程中，当t为何值时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大？并求出此时点P的坐标．
②若点N同时从点B出发，向x轴正方向运动，速度每秒v个单位长度，问：是否存在t使点B，C，M，N构成平行四边形？若存在，求出t，v的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先根据对称轴求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①根据题意表示出BA和BC的值，再利用平方差公式表示出（MA+MC）（MA﹣MC）的值，求出最值即可；
②根据对角线的情况分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴B（﹣3，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
代入C（0，3），得3＝a×3×（﹣1），
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P（m，m+3），则点M为（m，﹣m2﹣2m+3），
∴（MA+MC）（MA﹣MC）＝MA2﹣MC2
＝（1﹣m）2﹣（﹣m2﹣2m+3）2﹣（﹣m）2﹣（﹣m2﹣2m+3﹣3）2
＝﹣6m2﹣14m+10
＝，
当时，（MA+MC）（MA﹣MC）最大，
此时，
所以此时，
∴当时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大，此时点P的坐标为（，）；
②存在t的值，
由题意得B（﹣3，0），C（0，3），M（t﹣3，﹣t2+4t），N（vt﹣3，0），
若BC为对角线，由中点坐标公式得：
，
解得：或（舍），
∴t＝1，v＝2，
若BM为对角线，由中点坐标公式得：
，
解得：（舍）或者（舍），
∴此种情况无满足的t，v，
若BN为对角线，由中点坐标公式得：
，
解得：（舍）或者，
∴t＝2+，v＝﹣1+，
综上，t＝1，v＝2，或者t＝2+，v＝﹣1+．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求函数的解析式，通过解析式即可二次函数与x轴的交点，与y轴的交点，顶点的坐标等，在判断平行四边形时，只需要考虑对角线的情况即可．
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