新九年级数学时期讲义第7讲圆的认识-满分班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第7讲圆的认识-满分班(学生版+解析)，共32页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 圆的认识
1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
2.圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
3.两圆的性质
两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.
4. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
5. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
5.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
6.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【例题精选】
例1(2023秋•临西县期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．半圆是弧B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径D．直径是弦
例2 (2023春•高密市期末）下列说法错误的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
【随堂练习】
1．(2023•通州区模拟）⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（ ）
A．a＞bB．a≥bC．a＜bD．a≤b
2．(2023春•巨野县期末）已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（ ）
A．等于6cmB．等于12cmC．小于6cmD．大于12cm
3．(2023秋•朝阳区校级期中）在以下所给的命题中，正确的个数为（ ）
①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1B．2C．3D．4
2垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
注意：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
【例题精选】
例1(2023•南岗区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为________．
例2(2023秋•德城区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为________．
【随堂练习】
1．(2023•宁津县一模）如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为50cm，水面宽AB＝80cm，则水深CD约为_______cm．
2．(2023秋•凤凰县期末）如图，⊙O的半径OA与弦BC交于点D．若OD＝3，AD＝2，BD＝CD，则BC的长为_______．
3．(2023秋•南宁期末）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为________m．
4．(2023秋•伊通县期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是________．

3弦、弧、圆心角的关系
1.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
【例题精选】
例1(2023秋•崇川区校级期中）如图，∠AOB＝110°，弦AB所对的圆周角为（ ）
A．55°B．55°或70°C．55°或125°D．55°或110°
例2(2023•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32°B．60°C．68°D．64°
【随堂练习】
1.(2023•港南区四模）P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（ ）
A．26°B．28°C．30°D．32°
2．(2023秋•澧县期末）如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝_______．
3．(2023•金华模拟）如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为________．
4．(2023•青岛模拟）如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE＝32°，那么∠COE的度数为________度．
4圆周角定理
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【例题精选】
例1 (2023•哈尔滨模拟）如图：已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE∥OA，∠D＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．25°B．40°C．30°D．50°
例2(2023•大鹏新区二模）如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD＝70°，则∠CAD的度数是（ ）
A．15°B．30°C．25°D．35°
【随堂练习】
1．(2023•海东市一模）如图，AB，BC为⊙O中异于直径的两条弦，OA交BC于点D，若∠AOC＝50°，∠C＝35°，则∠A的度数为_________．
2．(2023•广东模拟）如图⊙O中，∠BAC＝74°，则∠BOC＝_________．
3．(2023秋•蒙阴县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若∠CDB＝30°，⊙O的半径为5cm则圆心O到弦CD的距离为_________．
4．(2023秋•河北区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝100°，则∠ADE＝________．

综合练习
一．选择题
1．如图，AB、BC为⊙O的两条弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，则∠ABC的度数为（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
3．如图，在圆O中，点A、B、C在圆上，∠OAB＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝50°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
5．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二．解答题
6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度数．
8．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．
（1）求证：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．
第7讲 圆的认识
1 圆的认识
1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
2.圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.
3.两圆的性质
两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.
4. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
5. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
5.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
6.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【例题精选】
例1(2023秋•临西县期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．半圆是弧B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径D．直径是弦
分析：根据圆的有关概念进行判断．
【解答】解：A、半圆是弧，所以A选项的说法正确；
B、半径相等的圆是等圆，所以B选项的说法正确；
C、过圆心的弦为直径，所以C选项的说法错误；
D、直径是弦，所以D选项的说法正确．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
例2 (2023春•高密市期末）下列说法错误的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
分析：根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．
【解答】解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；
B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；
故选：C．
【点评】本题考查圆的认识，学习中要注意区分：弦与直径，弧与半圆之间的关系．
【随堂练习】
1．(2023•通州区模拟）⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（ ）
A．a＞bB．a≥bC．a＜bD．a≤b
【解答】解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．
故选：B．
2．(2023春•巨野县期末）已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（ ）
A．等于6cmB．等于12cmC．小于6cmD．大于12cm
【解答】解：根据点和圆的位置关系，得OP＝6，再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP＝12．
故选：B．
3．(2023秋•朝阳区校级期中）在以下所给的命题中，正确的个数为（ ）
①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根据直径和弦的概念，知①正确，②错误；
根据弧和半圆的概念，知③正确；
根据等弧的概念，半径相等的两个半圆一定能够重合，是等弧，④正确；
长度相等的两条弧不一定能够重合，⑤错误．
故选：C．
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2垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
注意：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
【例题精选】
例1(2023•南岗区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为________．
分析：首先过点C作CE⊥AD于点E，由∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，可求得AB的长，又面积法，即可求得CE的长，由勾股定理求得AE的长，然后由垂径定理求得AD的长，从而得BD的长．
【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴CE＝＝，
∴AE＝＝＝，
∴AD＝2AE＝，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
例2(2023秋•德城区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为________．
分析：连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．
【解答】解：连接OD，
∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，
∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝5，
即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．
【随堂练习】
1．(2023•宁津县一模）如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为50cm，水面宽AB＝80cm，则水深CD约为_______cm．
【解答】解：连接OA、如图，设⊙O的半径为R，
∵CD为水深，即C点为弧AB的中点，CD⊥AB，
∴CD必过圆心O，即点O、D、C共线，AD＝BD＝AB＝40，
在Rt△OAD中，OA＝50，OD＝50﹣x，AD＝40，
∵OD2+AD2＝OA2，
∴（50﹣x）2+402＝502，解得x＝20，
即水深CD约为为20．
故答案为；20
2．(2023秋•凤凰县期末）如图，⊙O的半径OA与弦BC交于点D．若OD＝3，AD＝2，BD＝CD，则BC的长为_______．
【解答】解：∵BD＝CD，
∴OD⊥BC，
在Rt△OBD中，∵OB＝5，OD＝3，
∴BD＝＝4，
∴BC＝2BD＝8．
故答案为8．
3．(2023秋•南宁期末）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为________m．
【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故答案为：．
4．(2023秋•伊通县期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是________．
【解答】解：连接OA，
∵C是AB的中点，
∴AC＝AB＝2，OC⊥AB，
∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝（OA﹣1）2+22，
解得，OA＝，
故答案为：．

3弦、弧、圆心角的关系
1.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
【例题精选】
例1(2023秋•崇川区校级期中）如图，∠AOB＝110°，弦AB所对的圆周角为（ ）
A．55°B．55°或70°C．55°或125°D．55°或110°
分析：首先在优弧AB上取点C，连接BC，AC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，由圆周角定理，即可求得∠C的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠D的度数，继而求得答案．
【解答】解：如图，在优弧AB上取点C，连接BC，AC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝∠AOB＝55°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝125°．
∴弦AB所对的圆周角为：55°或125°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意在圆周中，弦所对的圆周角有两类且互补．
例2(2023•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32°B．60°C．68°D．64°
分析：根据圆心角、弧、弦的关系，由＝得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．
【解答】解：∵＝，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【随堂练习】
1.(2023•港南区四模）P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（ ）
A．26°B．28°C．30°D．32°
【解答】解：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，
∴∠A＝×32°＝16°，∠ADB＝×88°＝44°，
∵∠P+∠A＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB﹣∠A＝44°﹣16°＝28°．
故选：B．
2．(2023秋•澧县期末）如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝_______．
【解答】解：∵在⊙O中，，
∴AC＝AB＝3，
故答案为：3
3．(2023•金华模拟）如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为________．
【解答】解：∵OD⊥AC，
∴＝，∠AFO＝90°，
又∵AC＝BD，
∴＝，即+＝+，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝3，
∴AO＝BO＝，
∴AF＝AOsin∠AOF＝×＝，
则AC＝2AF＝；
4．(2023•青岛模拟）如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE＝32°，那么∠COE的度数为________度．
【解答】解：∵，（已知）
∴∠AOE＝∠COA（等弧所对的圆心角相等）；
又∠AOE＝32°，
∴∠COA＝32°，
∴∠COE＝∠AOE+∠COA＝64°．
故答案是：64°．
4圆周角定理
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【例题精选】
例1 (2023•哈尔滨模拟）如图：已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE∥OA，∠D＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．25°B．40°C．30°D．50°
分析：由DE∥OA，∠D＝50°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AOD的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠C的度数．
【解答】解：∵DE∥OA，∠D＝50°，
∴∠AOD＝∠D＝50°，
∴∠C＝∠AOD＝25°．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角的性质与平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
例2(2023•大鹏新区二模）如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD＝70°，则∠CAD的度数是（ ）
A．15°B．30°C．25°D．35°
分析：由在⊙O中，OD⊥BC，根据垂径定理的即可求得：，然后利用圆周角定理求解即可求得答案．
【解答】解：∵在⊙O中，OD⊥BC，
∴，
∴∠CAD＝∠BOD＝×70°＝35°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【随堂练习】
1．(2023•海东市一模）如图，AB，BC为⊙O中异于直径的两条弦，OA交BC于点D，若∠AOC＝50°，∠C＝35°，则∠A的度数为_________．
【解答】解：∵∠AOC＝50°，
∴∠B＝∠AOC＝25°，
∵∠ADB＝∠CDO，
∴∠A+∠B＝∠AOC+∠C，
∴∠A＝50°+35°﹣25°＝60°．
故答案为60°．
2．(2023•广东模拟）如图⊙O中，∠BAC＝74°，则∠BOC＝_________．
【解答】解：∠BOC＝2∠BAC＝2×74°＝148°．
故答案为148°．
3．(2023秋•蒙阴县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若∠CDB＝30°，⊙O的半径为5cm则圆心O到弦CD的距离为_________．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠OEC＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝2×30°＝60°，
∴OE＝OC＝×5＝2.5，
即圆心O到弦CD的距离为2.5cm．
故答案为2.5cm．
4．(2023秋•河北区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝100°，则∠ADE＝________．
【解答】解：∵∠B＝100°，
∴∠ADE＝100°．
故答案为：100°．

综合练习
一．选择题
1．如图，AB、BC为⊙O的两条弦，∠AOC﹣∠ABC＝60°，则∠ABC的度数为（ ）
A．120°B．100°C．160°D．150°
【解答】解：在优弧上取点D，连接DA、DC，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOC，
由圆内接四边形的性质得，∠ABC+∠D＝180°，
∵∠AOC﹣∠ABC＝60°，
∴2（180°﹣∠ABC）﹣∠ABC＝60°，
解得，∠ABC＝100°，
故选：B．
2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝130°，
∴∠ABE＝180°﹣130°＝50°，
∵AO⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝40°，
∵AO⊥BC，
∴BC＝2BE，
∴∠BDC＝2∠BAE＝80°，
故选：B．
3．如图，在圆O中，点A、B、C在圆上，∠OAB＝50°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝80°，
∴∠C＝∠AOB＝40°，
故选：B．
4．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝50°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
【解答】解：∵∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝∠AOB＝25°．
故选：B．
5．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：如图所示，连接OA．
⊙O的直径CD＝10cm，
则⊙O的半径为5cm，
即OA＝OC＝5，
又∵OM：OC＝4：5，
所以OM＝4，
∵AB⊥CD，垂足为M，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，AM＝＝3，
∴AB＝2AM＝2×3＝6．
故选：A．
二．解答题
6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠AOD＝×50°＝25°；
（2）根据勾股定理得，AC＝＝＝8，
∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×8＝16．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，求∠ABC和∠AOC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，
∴∠ABC＝40°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝80°，
8．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．
【解答】解：∵⊙O中，OA⊥BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AOB＝×50°＝25°．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点，CE交AB于点H，且AH＝AC，AF平分线∠CAH．
（1）求证：BE∥AF；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EH的长．
【解答】（1）证明：
∵AH＝AC，AF平分线∠CAH
∴∠HAF＝∠CAF，AF⊥EC，
∴∠HAF+∠ACH＝90°
∵∠ACB＝90°，即∠BCE+∠ACH＝90°，
∴∠HAF＝∠BCE，
∵E为的中点，
∴，
∴∠EBD＝∠BCE，
∴∠HAF＝∠EBD，
∴BE∥AF；
（2）解：连接OH、CD．
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵AH＝AC＝6
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
∵∠EBH＝∠ECB，∠BEH＝∠CEB
∴△EBH∽△ECB，
∴，
EB＝2EH，
由勾股定理得 BE2+EH2＝BH2，
即（2EH）2+EH2＝42，
∴EH＝．