新九年级数学时期讲义第6讲旋转-满分班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第6讲旋转-满分班(学生版+解析)，共24页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 旋转
旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
【例题精选】
例1(2023•道外区二模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，使点C落在DE上，若∠EAB＝90°，∠BCD＝40°，则∠CAD的度数为________．
例2(2023秋•张店区期末）将一副三角板按图所示的方式叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，则α与β之间的数量关系是 ________________．
【随堂练习】
1．(2023春•竞秀区期中）如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B'AC的度数是（ ）
A．13°B．17°C．23°D．33°
2．(2023春•平度市期中）如图，将Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠ADE＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
3．(2023秋•黄冈期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为________．
2中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
【例题精选】
例1(2023•潮南区模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．菱形C．平行四边形D．正五边形
【随堂练习】
1．(2023•江油市一模）下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
3图案设计
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点诠释：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【例题精选】
例1(2023•瑶海区校级三模）如图，△A'B'C'是△ABC经过某种变换后得到的图形．
（1）写出△A'B'C'是△ABC经过怎样变换得到的，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为_____________；
（2）画出将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转90°得到的△DEF．
例2 (2023春•青羊区校级期末）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣2，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得到的△A2B2C2，并求出S．
【随堂练习】
1．(2023秋•思明区校级期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C，画出△A2B2C．
2．(2023秋•扶风县期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．
（1）请在图中画出△A1B1C1，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．
综合练习
一．选择题
1．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB'等于（ ）
A．30°B．25°C．15°D．10°
2．在平面直角坐标系中，将点P（0，1）绕坐标原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣1）D．（1，1）
3．如图，在面积为12的▱ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝2EB，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．2B．3C．D．
4．如图，点A（2，0）为x轴正半轴上一点，点B（0，2）为y轴正半轴上一点，点P为AB中点，将△OAB绕原点O顺时针旋转120°后，点P的对应点坐标为（ ）
A．（2，﹣2）B．（2，﹣2）C．（1，﹣）D．（，﹣1）
5．已知，将点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，再向上平移4个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣3，2）C．（﹣2，1）D．（﹣3，1）
二．解答题
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣2，3）、B（﹣3，﹣1）、C（0，1）．
（1）以（0，1）为中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格中画出经过上述变换后所得的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出A2的坐标．
7．如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．
（1）求证：△ABC≌△ABE；
（2）连接AD，求AD的长．
8．如图，长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG，点B、A、G在同一直线上，试回答下列问题：
（1）旋转角度是多少？
（2）△ACF是什么形状的三角形，说明理由？
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4）、B（1，2）、C（5，3）
（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标；
（3）求△A2B2C1的面积．
第6讲 旋转
1 旋转
旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
【例题精选】
例1(2023•道外区二模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，使点C落在DE上，若∠EAB＝90°，∠BCD＝40°，则∠CAD的度数为________．
分析：先根据旋转的性质得到∠E＝∠ACB，∠BAD＝∠CAE，再利用三角形外角性质计算出∠CAE＝40°，然后利用∠EAB＝90°计算∠CAD的度数．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，使点C落在DE上，
∴∠E＝∠ACB，∠BAD＝∠CAE，
∵∠ACD＝∠E+∠CAE，
即∠ACB+∠BCD＝∠E+∠CAE，
∴∠CAE＝∠BCD＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠EAB﹣∠CAE﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣40°＝10°．
故答案为10°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
例2(2023秋•张店区期末）将一副三角板按图所示的方式叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，则α与β之间的数量关系是 ________________．
分析：由旋转的性质可得∠BOC＝∠AOD，即可求解．
【解答】解：∵使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，
∴∠BOC＝∠AOD，
∵∠BOC+∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠AOC＝90°，
∵α+β＝∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠BOC+∠AOC+∠AOD＝180°，
∴α+β＝180°，
故答案为：α+β＝180°．
【点评】本题考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
【随堂练习】
1．(2023春•竞秀区期中）如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B'AC的度数是（ ）
A．13°B．17°C．23°D．33°
【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，
∴∠BAB'＝50°，
∴∠B'AC＝∠BAB'﹣∠BAC＝17°，
故选：B．
2．(2023春•平度市期中）如图，将Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠ADE＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【解答】解：∵将Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，
∴∠B＝∠DEC，∠DCE＝∠ACB＝90°，CA＝CD，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∵∠DEC＝∠EAD+∠ADE＝45°+25°＝70°，
∴∠B＝70°．
故选：D．
3．(2023秋•黄冈期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为________．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1＝3，∠CAC1＝60°，
∴∠BAC1＝90°，
∴BC1＝＝＝5，
故答案为：5．
2中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
【例题精选】
例1(2023•潮南区模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．菱形C．平行四边形D．正五边形
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合菱形、平行四边形、等边三角形、正五边形的性质求解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
【随堂练习】
1．(2023•江油市一模）下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；
C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；
D、不是中心对称的图形，不合题意．
故选：C．
3图案设计
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点诠释：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【例题精选】
例1(2023•瑶海区校级三模）如图，△A'B'C'是△ABC经过某种变换后得到的图形．
（1）写出△A'B'C'是△ABC经过怎样变换得到的，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为_____________；
（2）画出将△ABC绕点（0，1）顺时针旋转90°得到的△DEF．
分析：（1）利用点A和点A′的坐标特征可确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律得到Q点的坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点D、E、F即可．
【解答】解：（1）把△ABC先向右平移5个单个单位长度，再向下平移4个单位得到△A'B'C'，点P（a，2）的对应点Q的坐标为（a+5，﹣2）；
故答案为（a+5，﹣2）；
（2）如图，△DEF为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
例2 (2023春•青羊区校级期末）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣2，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°所得到的△A2B2C2，并求出S．
分析：（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点A2、C2得到△A2B2C2，然后用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积计算S．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；点A1，B1，C1的坐标分别为；（3，1），（1，﹣1），（2，2）
（2）如图，△A2B2C2为所作，S＝2×3﹣×1×3﹣×2×2﹣×1×1＝2．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
【随堂练习】
1．(2023秋•思明区校级期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C，画出△A2B2C．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C为所作．
2．(2023秋•扶风县期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．
（1）请在图中画出△A1B1C1，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1就是所要求画的三角形；
（2）A1（﹣1，﹣3），B1（﹣4，﹣5），C1（﹣5，﹣1）．
日期：2020/6/26 10:23:16；用户：杨晓红；邮箱：13811956842；学号：37113097
综合练习
一．选择题
1．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB'等于（ ）
A．30°B．25°C．15°D．10°
【解答】解：∵C′C∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，
∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BAB′＝40°，
∴∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，将点P（0，1）绕坐标原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣1）D．（1，1）
【解答】解：∵点P（0，1）绕坐标原点O顺时针旋转90°所得到的对应点为P′，
∴P′（1，0），
故选：A．
3．如图，在面积为12的▱ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝2EB，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．2B．3C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠ODF＝∠OBE，
而∠DOF＝∠BOE，
∴△ODF≌△OBE（ASA），
∴S△ODF＝S△OBE，
∴S阴影部分＝S△ODC＝S平行四边形ABCD＝×12＝3．
故选：B．
4．如图，点A（2，0）为x轴正半轴上一点，点B（0，2）为y轴正半轴上一点，点P为AB中点，将△OAB绕原点O顺时针旋转120°后，点P的对应点坐标为（ ）
A．（2，﹣2）B．（2，﹣2）C．（1，﹣）D．（，﹣1）
【解答】解：∵点A（2，0），点B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝60°，
∵PA＝PB，
∴OP＝PA＝PB，P（1，），
∴△AOP是等边三角形，
∴∠POA＝60°，
∵旋转后∠P′OP＝120°，
∴∠AOP′＝∠AOP，
∴P，P′关于x轴对称，
∴P′（1，﹣），
故选：C．
5．已知，将点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，再向上平移4个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣3，2）C．（﹣2，1）D．（﹣3，1）
【解答】解：点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，则点A2的坐标为（1，2），
再向上平移4个单位到达点A3的位置，点A3的坐标为（1，5），
△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，
则旋转后A3的坐标为（﹣3，2），
故选：B．
二．解答题
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣2，3）、B（﹣3，﹣1）、C（0，1）．
（1）以（0，1）为中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格中画出经过上述变换后所得的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出A2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，A2的坐标为（4，2）．
7．如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．
（1）求证：△ABC≌△ABE；
（2）连接AD，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，
∴∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，
∵∠DBC＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
在△ABC与△ABE中，，
∴△ABC≌△ABE（SAS）；
（2）解：连接AD，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，
∴DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，
∵△ABC≌△ABE，
∴∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，
∵∠C＝45°，
∴∠BED＝∠BEA＝∠C＝45°，
∴∠AED＝90°，DE＝AE，
∴AD＝AE＝2．
8．如图，长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG，点B、A、G在同一直线上，试回答下列问题：
（1）旋转角度是多少？
（2）△ACF是什么形状的三角形，说明理由？
【解答】解：（1）∵长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG，
∴∠BAD是旋转角
∴旋转角为90°
（2）△ACF是等腰直角三角形
理由如下：∵点C绕点A旋转90°到点F，
∴AC＝AF，∠CAF＝90°
∴△ACF是等腰直角三角形
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4）、B（1，2）、C（5，3）
（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标；
（3）求△A2B2C1的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，其中A2的坐标为（﹣1，1）、B2的坐标为（1，﹣1）；
（3）△A2B2C1的面积为2×4﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×4＝3．