新九年级数学时期讲义第11讲图形的相似--满分班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第11讲图形的相似--满分班(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。
1.平行线分线段成比例
1比例性质：
①；②（其中b叫做比例中项）
2 更比性质(交换比例的内项或外项)：
3反比性质(把比的前项、后项交换)：
．
4合、分比性质：．
5等比性质：如果，那么
6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）
7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得等.
注：平行线分线段成比例定理的推论：
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
【例题精选】
例1(2023•顺平县一模）如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为（ ）
A．9B．5C．4D．3
例2(2023•余杭区一模）如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【随堂练习】
1．(2023•焦作一模）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，则DE的长为（ ）
A．4B．5C．6D．9
2．(2023春•芝罘区期中）直线l1∥l2∥l3，若AC：CE＝5：4，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023•兰州模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，l1，l2，l3分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，AB＝EF，BC＝，DE＝3，则EF＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
2.相似多边形及性质
相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.
如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.
当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.
【例题精选】
例1(2023秋•鄞州区期末）两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
例2(2023•江城区一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．1：16
【随堂练习】
1．(2023•淮安模拟）若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于________．
2．(2023秋•铁西区期末）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm．如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为________cm2．
3．(2023秋•耒阳市期末）若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是________．
3.相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【例题精选】
例1(2023秋•陵川县期末）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；
求证：△EBF∽△FCG．
例2(2023•临潭县校级模拟）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
【随堂练习】
1．(2023•大通区模拟）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求证：△ADE∽△ACB．
4.相似三角形的综合应用
【例题精选】
例1(2023•潍坊一模）如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m．若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A．0.36πm2B．0.81πm2C．2πm2D．3.24πm2
例2 (2023秋•儋州期末）已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6m，并测得BC＝2.2m，CA＝0.8m，那么树DB的高度是（ ）
A．6mB．5.6mC．5.4mD．4.4m
【随堂练习】
1．(2023秋•北海期末）如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（ ）
A．5mB．6mC．7mD．8m
2．(2023秋•潜山市期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m．
A．3.4B．5.1C．6.8D．8.5
3．(2023•公主岭市一模）如图，小明在打网球时，他的击球高度AB＝2.4米，为使球恰好能过网（网高DC＝0.8米），且落在对方区域距网5米的位置P处，则他应站在离网______米处．
4．(2023•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为________m．
综合运用：
1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．
2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．
3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
5.正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．
6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
第11讲 图形的相似
1.平行线分线段成比例
1比例性质：
①；②（其中b叫做比例中项）
2 更比性质(交换比例的内项或外项)：
3反比性质(把比的前项、后项交换)：
．
4合、分比性质：．
5等比性质：如果，那么
6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）
7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得等.
注：平行线分线段成比例定理的推论：
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
【例题精选】
例1(2023•顺平县一模）如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为（ ）
A．9B．5C．4D．3
分析：由直线a∥b∥c，利用平行线分线段成比例可得出DE＝EF，结合DF＝DE+EF＝9，即可求出EF的长．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，
∴DE＝•EF＝EF．
∵DF＝DE+EF＝EF+EF＝9，
∴EF＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出DE＝EF是解题的关键．
例2(2023•余杭区一模）如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
分析：根据平行线分线段成比例定理，利用ME∥CD得到＝，则利用比例的性质可判断D选项正确．
【解答】解：∵ME∥CD，
∴＝，
∴＝．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【随堂练习】
1．(2023•焦作一模）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，则DE的长为（ ）
A．4B．5C．6D．9
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得BE＝6，
∴DE＝DB+BE＝3+6＝9，
故选：D．
2．(2023春•芝罘区期中）直线l1∥l2∥l3，若AC：CE＝5：4，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴BD：DF＝AC：CE＝5：4，
∴＝＝，
故选：D．
3．(2023•兰州模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，l1，l2，l3分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，AB＝EF，BC＝，DE＝3，则EF＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝EF，
∴＝，即＝，
解得，EF＝5，
故选：A．
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日期：2020/6/26 11:36:22；用户：杨晓红；邮箱：13811956842；学号：3711309
2.相似多边形及性质
相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.
如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.
当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.
【例题精选】
例1(2023秋•鄞州区期末）两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
分析：根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比．
【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，
∴这两个相似多边形的相似比是1：2，
则这两个相似多边形的周长之比是1：2，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
例2(2023•江城区一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．1：16
分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为＝1：2．
故选：B．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
【随堂练习】
1．(2023•淮安模拟）若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于________．
【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为2：3，
∴它们的面积比＝22：32＝4：9．
故答案为：4：9
2．(2023秋•铁西区期末）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm．如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为________cm2．
【解答】解：设较大多边形的面积为xcm2，则较小多边形的面积为：（78﹣x）cm2，
∵两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4.5cm，
∴x：（78﹣x）＝4.52：32，
解得x＝54．
故答案为：54
3．(2023秋•耒阳市期末）若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是________．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝138°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠α＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝87°．
故答案为：87°．
3.相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【例题精选】
例1(2023秋•陵川县期末）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；
求证：△EBF∽△FCG．
分析：（1）理由因式分解法解方程；
（2）先根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF＝∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定△EBF∽△FCG．
【解答】（1）解：（x﹣3）（x+1）＝0
解得x＝3或x＝﹣1；
（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE+∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG．
∵∠B＝∠C＝90°
∴△EBF∽△FCG．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了分式的乘除法和正方形的性质．
例2(2023•临潭县校级模拟）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
分析：根据已知得出∠C＝∠ADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．
【解答】证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
【随堂练习】
1．(2023•大通区模拟）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求证：△ADE∽△ACB．
【解答】证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，
∴，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
4.相似三角形的综合应用
【例题精选】
例1(2023•潍坊一模）如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m．若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A．0.36πm2B．0.81πm2C．2πm2D．3.24πm2
分析：欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．
【解答】解：构造几何模型如图：
依题意知DE＝1.2米，FG＝1米，AG＝3米，
由△DAE∽△BAC得＝，即＝，
得BC＝1.8，
故S圆＝（BC）2•π＝（）2•π＝0.81π，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．
利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
例2 (2023秋•儋州期末）已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6m，并测得BC＝2.2m，CA＝0.8m，那么树DB的高度是（ ）
A．6mB．5.6mC．5.4mD．4.4m
分析：先根据相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．
【解答】解：∵EC∥AB，BD⊥AB，
∴EC∥BD，∠ACE＝∠ABD＝90°，
在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A＝∠A，∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ABD，
∴＝，即＝，解得BD＝6m．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．
【随堂练习】
1．(2023秋•北海期末）如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（ ）
A．5mB．6mC．7mD．8m
【解答】解：设长臂端点升高x米，
则，
∴x＝8．
故选：D．
2．(2023秋•潜山市期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m．
A．3.4B．5.1C．6.8D．8.5
【解答】解：由相似三角形的性质，设树高x米，
则＝，
∴x＝5.1m．
故选：B．
3．(2023•公主岭市一模）如图，小明在打网球时，他的击球高度AB＝2.4米，为使球恰好能过网（网高DC＝0.8米），且落在对方区域距网5米的位置P处，则他应站在离网______米处．
【解答】解：设他应站在离网的x米处，
根据题意得：，
解得：x＝10．
故答案为：10．
4．(2023•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为________m．
【解答】解：根据题意得：△ABM∽△CDM，
∴AB：CD＝BM：DM，
∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，
∴1.6：CD＝2：11，
解得：CD＝8.8m，
故答案为：8.8．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/6/26 11:41:35；用户：杨晓红；邮箱：13811956842；学号：37113097
综合运用：
1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．
解析：解：设=x，
得a=4x，b=5x，c=7x．
∵a+b+c=48，
∴4x+5x+7x=48，
解得x=3，
∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．
2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．
解析：解：设BE=x，
∵EF=32，GE=8，
∴FG=32﹣8=24，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴=，
∴则==+1①．
∵DG∥AB，
∴△DFG∽△CBG，
∴== 代入①，
=+1，
解得：x=±16（负数舍去），
故BE=16．
3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
解析：解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=14，
∴AB=4，
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
解析：解：（1）C点坐标为（，1），A点坐标为（，0）；
（2）∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴正方形BEFG的边长为6，则正方形ABCD的边长为2，OB：OE=1：3，
∴OB：（OB+6）=1：3，解得OB=3，
∴点C的坐标为（3，2）．
5.正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．
解析：解答：正方形ABCD中，∠DAB=90°，∠DAC=45°，
又∵∠AFE=∠AGE=90°，
∴四边形AFEG是矩形，∠AEG=90°-∠DAC=45°，
∴∠GAE=∠AEG=45°，
∴GE=AG，
∴矩形AFEG是正方形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形AFEG∽正方形ABCD，
∴=（）2=（）2=，
∴S正方形AFEG=S正方形AFEG=×62=16．
6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
解析：解：（1）由已知得MN=AB，MD=AD=BC，
∵ 矩形DMNC与矩形ABCD相似，，
∵ MN=AB，DM=AD，BC=AD，
∴ AD2=AB2， ∴ 由AB=4得，AD=；
（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为