新九年级数学时期讲义第10讲反比例函数-基础班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第10讲反比例函数-基础班(学生版+解析)，共28页。学案主要包含了反比例函数的定义等内容，欢迎下载使用。

1 反比例函数的定义
一、反比例函数的定义
函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
【例题精选】
例1 (2023•新宾县四模）下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣
例2(2023秋•道里区期末）下列说法中，两个量成反比例关系的是（ ）
A．商一定，被除数与除数
B．比例尺一定，图上距离与实际距离
C．圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高
D．圆柱的底面积一定，圆柱的体积和高
【随堂练习】
1．(2023春•甘南县期中）下列各选项中，两个量成反比例关系的是（ ）
A．正方形的边长和面积
B．圆的周长一定，它的直径和圆周率
C．速度一定，路程和时间
D．总价一定，单价和数量
2．(2023春•泰兴市校级月考）下列函数：①y＝x﹣2，②y＝，③y＝x﹣1，④y＝，y是x的反比例函数的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．(2023秋•大通区期末）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝5xB．C．D．y＝x2﹣3
2反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象
反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．
反比例函数的性质
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
【例题精选】
例1(2023•徐州二模）如果反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（ ）
A．﹣3B．2C．0D．﹣1
例2(2023•南岗区校级三模）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（4，）
B．图象过第一、三象限
C．若x＜﹣1，则y＞﹣6
D．点 A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上的两点，x1＜0＜x2，则y1＞y2
【随堂练习】
1．(2023•道外区二模）反比例函数y＝的图象，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ）
A．k≥2B．k≤﹣2C．k＞2D．k＜﹣2
2．(2023•夷陵区模拟）已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，则k的值不可能是（ ）
A．3B．1C．0D．﹣
3．(2023•衡水模拟）已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝2
D．若图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＜y2
3 k的几何意义
反比例函数的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
【例题精选】
例1(2023•卧龙区模拟）如图，点P为反比例函数y＝上的一动点，作PD⊥x轴于点D，△POD的面积为k，则函数y＝kx﹣1的图象为（ ）
A．B．
C．D．
例2(2023•阳谷县校级模拟）反比例函数图象的一支如图所示，△POM的面积为2，则该函数的解析式是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣
【随堂练习】
1．(2023•洪山区校级模拟）如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD＝．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．(2023秋•历下区期末）反比例函数如图所示，则矩形OAPB的面积是______．
4反比例函数的实际应用
【例题精选】
例1(2023•温州一模）一款便携式音箱以锂电池作为电源，该电池的电压为定值，工作时电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系如图所示，则当电阻R为4Ω时，电流I为（ ）
A．6AB．AC．1AD．A
例2(2023•乐清市一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500N和0.4m，则动力F（单位：N）关于动力臂L（单位：m）的函数解析式正确的是（ ）
A．F＝B．F＝C．F＝D．F＝
【随堂练习】
1．(2023•石家庄模拟）已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023•江岸区校级模拟）甲、乙两地相距200千米，则汽车从甲地到乙地所用的时间y（h）与汽车的平均速度x（km/h）之间的函数表达式为（ ）
A．y＝200xB．x＝200yC．y＝D．y﹣200＝x
3．(2023秋•竞秀区期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（ ）
A．R≥2B．0＜R≤2C．R≥1D．0＜R≤1
综合应用
一．选择题
1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．
3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（ ）
A．（1，2）B．（4，﹣）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（ ）
A．9B．18C．25D．9
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
二．解答题
6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积．
8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．
（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；
（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
第10讲反比例函数
1 反比例函数的定义
一、反比例函数的定义
函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
【例题精选】
例1 (2023•新宾县四模）下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣
分析：直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案．
【解答】解：A、y＝是y与x+1成反比例，故此选项不合题意；
B、y＝，是y与x2成反比例，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意；
C、y＝﹣，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；
D、y＝﹣是正比例函数，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．
例2(2023秋•道里区期末）下列说法中，两个量成反比例关系的是（ ）
A．商一定，被除数与除数
B．比例尺一定，图上距离与实际距离
C．圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高
D．圆柱的底面积一定，圆柱的体积和高
分析：根据反比例函数定义进行分析即可．
【解答】解：A、＝商一定，故两个量成正比例函数，故此选项不合题意；
B、，不成反比例函数，故此选项不合题意；
C、圆锥的体积＝圆锥的底面积×高，圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高成反比例关系，故此选项合题意；
D、＝圆柱的底面积一定，圆柱的体积和高成正比例关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．
【随堂练习】
1．(2023春•甘南县期中）下列各选项中，两个量成反比例关系的是（ ）
A．正方形的边长和面积
B．圆的周长一定，它的直径和圆周率
C．速度一定，路程和时间
D．总价一定，单价和数量
【解答】解：A、正方形的面积＝（边长）2，两个量不成反比例函数，故此选项不合题意；
B、圆的周长C＝2πr，周长一定，圆周率一定，不成反比例函数，故此选项不合题意；
C、路程＝速度×时间，速度一定，路程和时间成正比例关系，故此选项不合题意；
D、总价＝单价×数量，总价一定，单价和数量成反比例关系，故此选项符合题意；
故选：D．
2．(2023春•泰兴市校级月考）下列函数：①y＝x﹣2，②y＝，③y＝x﹣1，④y＝，y是x的反比例函数的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：①y＝x﹣2，②y＝，③y＝x﹣1，④y＝，y是x的反比例函数的是：②y＝，③y＝x﹣1，共2个．
故选：C．
3．(2023秋•大通区期末）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝5xB．C．D．y＝x2﹣3
【解答】解：选项A是正比例函数，不符合题意；
选项B可化为y＝3x（x不为0），不是反比例函数，故错误；
选项C，是反比例函数，符合题意；
选项D是二次函数，不符合题意．
综上，只有C正确．
故选：C．
2反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象
反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．
反比例函数的性质
反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；
当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；
当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．
②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．
这是由于，即或的缘故．
如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
【例题精选】
例1(2023•徐州二模）如果反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（ ）
A．﹣3B．2C．0D．﹣1
分析：根据反比例函数的图象所处的位置确定a的符号，然后确定a的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，
∴a＞0，
∴只有2符合，
故选：B．
【点评】考查了反比例函数的性质及图象，解题的关键是了解反比例函数的性质，难度不大．
例2(2023•南岗区校级三模）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（4，）
B．图象过第一、三象限
C．若x＜﹣1，则y＞﹣6
D．点 A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上的两点，x1＜0＜x2，则y1＞y2
分析：根据反比例函数的性质，利用排除法求解．
【解答】解：A、x＝4，y＝＝，∴图象经过点（4，），正确，不符合题意；
B、∵k＝6＞0；，∴图象在第一、三象限，正确，不符合题意；
C、当x＝﹣1时，y＝﹣6，∵图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＜﹣1时y＞﹣6，正确，不符合题意；
D、∵k＝1＞0，∴图象在一、三象限内，
∴x1＜0＜x2，则y1＜y2，故原命题错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．
【随堂练习】
1．(2023•道外区二模）反比例函数y＝的图象，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ）
A．k≥2B．k≤﹣2C．k＞2D．k＜﹣2
【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＜0时y随x的增大而增大，
∴2﹣k＜0，
解得k＞2．
故选：C．
2．(2023•夷陵区模拟）已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，则k的值不可能是（ ）
A．3B．1C．0D．﹣
【解答】解：反比例函数y＝的图象在第二、四象限，根据反比例函数的图象和性质，k﹣2＜0，
则k＜2，
所以k的值不可能为3．
故选：A．
3．(2023•衡水模拟）已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．k＞0
B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝2
D．若图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＜y2
【解答】解：如图，k＜0，y随x的增大而增大；
∵矩形OABC面积为2，k＝﹣2，
故选：D．
3 k的几何意义
反比例函数的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
【例题精选】
例1(2023•卧龙区模拟）如图，点P为反比例函数y＝上的一动点，作PD⊥x轴于点D，△POD的面积为k，则函数y＝kx﹣1的图象为（ ）
A．B．
C．D．
分析：先根据反比例函数系数k的几何意义，求出k的值等于1，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点（0，﹣1）（1，0），即可确定选项．
【解答】解：设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限且在函数y＝的图象上，
∴xy＝2，
∴S△OPD＝xy＝×2＝1，即k＝1．
∴一次函数y＝kx﹣1的解析式为：y＝x﹣1，
∴一次函数的图象经过点（0，﹣1），（1，0）的直线．
故选：A．
【点评】考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解答此题的关键是根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值，再根据一次函数解析式确定与坐标轴的交点．
例2(2023•阳谷县校级模拟）反比例函数图象的一支如图所示，△POM的面积为2，则该函数的解析式是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣
分析：根据反比例函数系数k的几何意义，由△POM的面积为2，可知|k|＝2，再结合图象所在的象限，确定k的值，则函数的解析式即可求出．
【解答】解：∵△POM的面积为2，∴S＝|k|＝2，
∴k＝±4，
又∵图象在第四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S＝|k|．
【随堂练习】
1．(2023•洪山区校级模拟）如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD＝．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①反比例函数与正比例函数若有交点，一定是两个，且关于原点对称，所以正确；
②根据A、B关于原点对称，S△ABC为即A点横纵坐标的乘积，为定值1，所以正确；
③因为AO＝BO，OD∥BC，所以OD为△ABC的中位线，即D是AC中点，所以正确；
④在△ADO中，因为AD和y轴并不垂直，所以面积不等于k的一半，即不会等于，所以错误．
因此正确的是：①②③，
故选：C．
2．(2023秋•历下区期末）反比例函数如图所示，则矩形OAPB的面积是______．
【解答】解：设P点的坐标为（x，y），
∵P在反比例函数的图象上，
∴xy＝﹣4，
即PB×PA＝4，
∴矩形OAPB的面积是4，
故答案为：4．
4反比例函数的实际应用
【例题精选】
例1(2023•温州一模）一款便携式音箱以锂电池作为电源，该电池的电压为定值，工作时电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系如图所示，则当电阻R为4Ω时，电流I为（ ）
A．6AB．AC．1AD．A
分析：根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，再把（2，3）代入可得k的值，进而可得函数解析式，然后代入R＝4Ω求得电流I即可．
【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，
∵反比例函数图象过（2，3），
∴k＝3×2＝6，
∴I＝，
当R＝4Ω时，I＝＝，
故选：B．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
例2(2023•乐清市一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500N和0.4m，则动力F（单位：N）关于动力臂L（单位：m）的函数解析式正确的是（ ）
A．F＝B．F＝C．F＝D．F＝
分析：直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500N和0.4m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1500×0.4＝FL，
则F＝，
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
【随堂练习】
1．(2023•石家庄模拟）已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意可得：t＝，
当t＝1时，v＝30，
故只有选项D符合题意．
故选：D．
2．(2023•江岸区校级模拟）甲、乙两地相距200千米，则汽车从甲地到乙地所用的时间y（h）与汽车的平均速度x（km/h）之间的函数表达式为（ ）
A．y＝200xB．x＝200yC．y＝D．y﹣200＝x
【解答】解：因为甲、乙两地相距200千米，汽车从甲地到乙地所用的时间y（h）与汽车的平均速度x（km/h），
∴xy＝200，
∴y＝；
故选：C．
3．(2023秋•竞秀区期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（ ）
A．R≥2B．0＜R≤2C．R≥1D．0＜R≤1
【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I＝，
当I≤6时，则≤6，
R≥1，
故选：C．
综合应用
一．选择题
1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝﹣3，y2＝3，y3＝1，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．
【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．
∵P（x，y）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴xy＝﹣2，
∴△OPM的面积S△POA＝|xy|＝1，
故选：B．
3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（ ）
A．（1，2）B．（4，﹣）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：将点（2，﹣1）代入y＝得，m2+2m﹣7＝2×（﹣1）＝﹣2，
可知函数解析式为y＝﹣，
则xy＝﹣2，
A、1×2＝2≠﹣2，故本选项错误；
B、4×（﹣）＝2，故本选项正确；
C、3×（﹣2）＝﹣6≠﹣2，故本选项错误；
D、﹣2×（﹣1）＝2≠﹣2，故本选项错误；
故选：B．
4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（ ）
A．9B．18C．25D．9
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
可得：∠ODE＝30∠BCD＝30°，
设OE＝a，则OD＝2a，DE＝a，
∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，
∴AF＝AC＝2a﹣5，CF＝AF＝（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，
∴点D（a，a），点C[15﹣2a，（2a﹣5）]．
∵点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，
∴a•a＝（15﹣2a）×（2a﹣5），
解得：a＝3或a＝5．
当a＝5时，DO＝OB，AC＝AB，点C、D与点B重合，不符合题意，
∴a＝5舍去．
∴点D（3，3），
∴k＝3×3＝9．
故选：A．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（，0），B（0，﹣2）．
设C（x，），
∵点A为线段BC的中点，
∴，
解得．
故选：C．
二．解答题
6．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（1，m）、B（﹣2，﹣1）两点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，m）．
∴m＝2，即A（1，2）．由点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直线y＝kx+b上，得，
解得：，
∴直线的解析式为：y＝x+1．
（2）设直线AB与y轴交于点C．
在y＝x+1中，令x＝0得：y＝1，
∴C（0，1）．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×1+×1×2＝．
7．如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求m和一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
∴k1＝8，m＝﹣2，则B（﹣4，﹣2），
由题意得，
解得：k2＝2，b＝6；
∴一次函数解析式为：y＝2x+6．
综上所述，m的值为﹣2，一次函数解析式为y＝2x+6；
（2）∵一次函数y＝2x+6与y轴的交点坐标为（0，6），
∴△AOB的面积＝×6×4+×6×1＝15．
8．在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
【解答】解：（1）把（1，5）代入y1＝mx+n，得 m+n＝5．
又∵n＝4m，
∴m＝1，n＝4．
∴y1＝x+4，y2＝．
∴当y1≥5时，x≥1．
此时，0＜y2≤5．
（2）令＝mx+n，得mx2+nx﹣（m+n）＝0．
由题意得，△＝n2+4m（m+n）＝（m+2n）2＝0，即m+2n＝0．
∴＝﹣2．
9．如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．
（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；
（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）A（1，m）、B（n，1）两点坐标分别代入反比例函数y2＝，可得
m＝3，n＝3，
∴A（1，3）、B（3，1），
把A（1，3）、B（3，1）代入一次函数y1＝kx+b，可得
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
∴M（0，4），N（4，0）．
∴S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝××＝4．
（2）从图象看出0＜x＜1或x＞3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3．
（3）如图，作点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，
过C作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，交于点D，则
Rt△BCD中，BD＝4，CD＝2，BC＝＝＝2
∴PA+PB的最小值为2．