高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.2 等差数列授课ppt课件

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.2 等差数列授课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了2等差数列，第4章数列，习题421，感受·理解，思考·运用，探究·拓展，习题422等内容，欢迎下载使用。

回顾本章 4.1节开始我们遇到的数列①②，再考察下面的问题：
第 23 届到第 31 届奥运会举行的年份依次为 1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016.
某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过 3 min，收话费 0.2 元，以后每分钟 (不足 1 min 按 1 min 计) 收话费 0.1 元. 那么通话费按从小到大的次序依次为0.2，0.2＋0.1，0.2＋0.1×2，0.2＋0.1×3，···.
●上面这些数列有什么共同的特点?
如果1年期储蓄的月利率为 1.65%，那么将 10 000 元分别存 1 个月、 2个月、 3 个月······12个月，所得的本利和依次为10 000＋16.5，10 000＋16.5×2，···，10 000＋16.5×12.
“本利和”是指本金与利息的和，按照单利计算本利和的公式是本利和＝本金× (1＋利率×存期).
4.2.1 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列 (arithmetic prgressin)，这个常数叫作等差数列的公差 (cmmn difference)，公差通常用 d 表示.
在等差数列 {an}中，始终有an＋1－an＝d.
你能再举出一些等差数列的例子吗?
判断下列数列是否为等差数列：(1) 1，1，1，1，1；(2) 4，7，10，13，16；(3) －3，－2，－1，1，2，3.
解 (1) 所给数列是首项为1，公差为0的等差数列. (2) 所给数列是首项为4，公差为3的等差数列. (3) 因为 (－1)－(－2)≠1－ (－1)，所以这个数列不是等差数列.
求出下列等差数列中的未知项：(1) 3，a，5；(2) 3，b，c，－9.
2. 从下面的月历表中，请你用彩笔涂出3个等差数列，满足以下要求：(1) 每个数列的项所在的框是相连接的(顶点相连或者边相连)；(2) 三个数列的公差是不同的.
答案：(1) d＝2，a2＝4；(2) d＝3，a1＝－1 ；(3) d＝3，a6＝16.
答案：(1) 是；(2) 是；(3) 不是；(4) 是.
答案：(1) 是等差数列，公差是－d；(2) 是等差数列，公差是 2d .
4.2.2 等差数列的通项公式
观察等差数列 {an} 4，7，10，13，16，…，如何写出它的第 100 项 a100 呢?我们有 a1＝4，a2＝7＝ 4＋3，a3＝10＝4＋3×2，a4＝13＝4＋3×3，···
从而 a100＝4＋3×99＝301.设 {an} 是一个首项为 a1，公差为 d 的等差数列，你能写出它的第 n 项an 吗?
一般地，对于等差数列 {an} 的第 n 项an，有
an＝a1＋ (n－1)d.
这就是等差数列 {an} 的通项公式，其中 a1 为首项，d 为公差.
证明 因为 {an} 为等差数列，所以当 n≥2 时，有 a2－a1＝d，a3－a2＝d，···an－an－1＝d.将上面 n－1 个等式的两边分别相加，得 an－a1＝(n－1)d.所以 an＝a1＋(n－1)d.当 n＝1 时，上面的等式也成立.
在等差数列 {an} 中，(1) 已知 a1＝3，公差 d＝－2，求 a6；(2) 已知 a3＝10，a9＝28，求 an .
解 (1) 由等差数列的通项公式，得a6＝3＋(6－1)(－2) ＝－7.
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次. 奥运会如因故不能举行，届数照算，按此规则，问：2050年举行奥运会吗?
已知等差数列 {an} 的通项公式为 an＝2n－1，求首项 a1 和公差 d .
或 d＝an＋1－an ＝2(n＋1)－1－(2n－1) ＝2.
在例6中，等差数列的通项公式 an＝2n－1 是关于 n 的一次式从图象上看 (图4-2-1)，表示这个数列的各点 (n，an) 均在直线 y＝2x－1 上.
如果一个数列 {an} 的通项公式为 an＝kn＋b，其中 k，b 都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗?
答案：(1) a20＝－49；(2) 第 100 项；(3) 不是，理由略.
答案：(1) 2321 年； (2) 不会，略.
答案：17 cm、19 cm、21 cm、23 cm.
答案：(1) a1＝31，d＝－3. (2) a14＝0.
答案：(1) 是；(2) 是； (3) 不是.
2. 求出下列等差数列中的未知项：(1) a，b，－10，c，－20； (2) x，lg 3，lg 6，y.
答案：(1) a8＝27；(2) a1＝10； (3) n＝13.
答案：a1＝90，a10＝0；
答案：16、20、24.
答案：(1) 第 23项，(2) n＝22.
9. 三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于 83，求这三个数.
答案： 3、5、7 或 7、5、3 .
答案：(1) an＝3n－2.(2) 298 个.
答案：(1) a＝7；(2) b＝m2＋n2.
答案：(1) 是等差数列. 公差是 ad ；(2) 是等差数列. 首项是 a1，公差是 2d .
13. 已知等差数列 {an} 的公差为 d，求证：an－am＝ (n－m)d，其中 n，m∈N*
14. 已知数列 {an} 和 {bn} 是两个无穷等差数列，公差分别为 d1 和 d2 ，求证：数列 {an＋bn} 是等差数列，并求它的公差.
15. 已知 {an} 是等差数列，当 m＋n＝p＋q 时，是否一定有 am＋an＝ap＋aq?
答案：一定有. 证明略.
16. 在等差数列 {an} 中，已知 ap＝q，aq＝p (p≠q)，求 ap＋q.
答案： ap＋q ＝0 .
答案：{an}是等差数列. 证明略.
18. 1934年，东印度 (今孟加拉国) 学者森德拉姆 (Sundaram) 发现了“正方形筛子”：
这个“正方形筛子”的奥妙在于：如果某个自然数 n 出现在表中，那么 2n＋1 肯定不是质数；如果 n 在表中不出现，那么 2n＋1 肯定是质数.
(1) 这个“正方形筛子”的每一行有什么特点?每一列呢?(2)“正方形筛子”中位于第100 行的第100个数是多少?
答案：(1) 这个“正方形筛子”的每一行与每一列都是等差数列.(2) a100，100＝20 200.
4.2.3 等差数列的前n项和
先考察图4-2-2.这是某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢?假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管(图4-2-3).
一般地，对于数列 {an}，把 a1＋a2＋···＋an 称为数列 {an} 的前 n 项和，记作 Sn .
如何求等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn ?
设等差数列 {an} 的首项为 a1，公差为 d，则Sn＝a1＋a2＋ ··· ＋an ＝a1＋(a1＋d)＋ ··· ＋[a1＋(n－1)d]. ①把各项的次序反过来，Sn 又可以写成Sn＝an＋an－1＋···＋a1 ＝an＋(an－d)＋···＋ [an－(n－1)d]. ②由①＋②，得2Sn＝ (a1＋an)＋(a1＋an)＋···＋(a1＋an) ＝ n(a1＋an)，
由此可得等差数列 {an} 的前 n 项和公式
根据等差数列的通项公式 an＝ a1＋(n－1)d，又可得到
等差数列前 n 项的和等于首末两项和的一半的 n 倍.
在等差数列的通项公式与前 n 项和公式中，共含有 a1，d，n，an，Sn 五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出其余的两个量。
在等差数列 {an} 中，已知第 1 项到第 10 项的和为 310，第 11 项到第 20 项的和为 910，求第 21 项到第 30 项的和.
1. 某商店的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料，底层放置 15个罐头，第2层放置14个罐头，第3层放置13个罐头……顶层放置1个罐头，这样的摆法需要多少个罐头?
2. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn.(1) 已知 a1＝7，a10＝ －43，求 S10；(2) 已知 a1＝100，公差 d＝－2，求 S50 .
答案：(1) S10＝－180；(2) S50＝2 550.
答案：(1) S20＝35 ；(2) n＝30.
5. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn. (1) 已知 a＝－10，公差 d＝2，求 S20；(2) 已知 a5＝8，a9＝24，求 an 和 Sn；(3) 已知 a5＝8，求 S9.
答案：(1) S20＝－380； (2) an＝4n－12， Sn＝2n2－10n；(3) S9＝72.
6. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 S8＝100，S16＝392，试求 S24.
答案： S24＝ 876.
某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位?
某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为 40mm，满盘时直径为120mm (图4-2-4).已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米 (精确到1m)?
解 卫生纸的厚度为 0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和.由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，···，59.95.因此，各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π.
各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离.
因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则59.95＝20.05＋(n－1)×0.1，解得 n＝400.显然，各圈的周长组成一个首项为40.1元，公差为0.2元，项数为400的等差数列. 根据等差数列的求和公式，得答 满盘时卫生纸的长度约为 100 m.
某零存整取3年期储蓄的月利率为2.7%.(1) 如果每月存入1000元，那么3年后本息合计为多少元(精确到1元)?(2) 欲在3年后一次性支取本息合计5万元，每月存人多少元(精确到1元)?
存款是按月存的，3年存 36 次，最后一次有一个月的利息.
答 零存整取3年期储蓄每月存人1000元，3年后本息合计约37798元. 欲在3年后一次性支取本息5万元，每月存人约1323元.
1. 为了参加学校的长跑比赛，某同学制定了一个12天的训练计划：第一天跑 2000 m，以后每天比前一天多跑 250 m. 这个同学在这12 天中一共跑了多少米?
答案：40 500 米.
2. 求集合 { m | m＝2n－1，n∈N*，且m＜60} 的元素个数，并求这些元素的和.
答案：30个，900.
3. 一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44cm，公差等于3cm，求该多边形的边数.
答案：4.
4. 已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为 5° 的等差数列，且最小角为 120°，则它是几边形?
答案：9.
5. 某钢材库新到200根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛 (如图)，并使剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢?
答案：10根.
答案：(1) n＝101，Sn＝20 301；(2) n＝23，Sn＝310.5；(3) n＝29，Sn＝832.3； (4) n＝100，Sn＝－505.
答案：(1) 46.75；(2) －399.
5. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn .(1) 已知 a6＝10，S5＝5，求 S8；(2) 已知 S4＝2，S9＝－6，求 S12；(3) 已知 a2＋a4＋a6＝－3，a3＋a5＋a7＝6，求 S20 ；(4) 已知 S3＝6，S6＝－8，求 S9 .
6. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn. 已知 d＝2，S20＝400.(1) 求 a1＋a3＋a5＋···＋a19；(2) 求 a2＋a5＋a8＋··· ＋a20.
答案：(1) 190；(2) 147；
7. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn.(1)已知 a4＋a14＝1，求 S17；(2)已知 a11＝20，求 S21；(3)已知 S11＝66，求 a6；(4)已知 S4＝ 2，S8＝6，求 S16.
8. 一个等差数列的前12项和为 354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为 32∶27，求公差 d.
9.已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn＝5n2＋3n，写出这个数列的前3项，并求它的通项公式.
答案：a1＝8，a2＝18，a3＝28；an＝10n－2.
10. 一个物体从 1960 m 的高空落下，如果该物体第 1s 降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落 9.80 m，那么经过几秒钟才能落到地面?
11. 在等差数列 {an} 中，已知 a1＝－3，11a5＝5a8，求该数列前 n 项和 Sn的最小值.
12. 如果等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，那么 S10，S20－S10，S30－S20 是否成等差数列?你能得到更一般的结论吗?
答案：是等差数列；更一般的结论：若数列 {an} 是等差数列，则 Sk，S2k－ Sk，S3k－S2k，··· 成等差数列 (k∈N*).
答案：(1) 199，10000；(2) n2 .