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苏教版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆课文课件ppt
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这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆课文课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了1椭圆，答案13，习题311，感受·理解，答案16，思考·运用，答案475m，探究·拓展，答案略，习题312等内容，欢迎下载使用。
解析几何彻底改变了数学的研究方法.——M.克莱因
在必修课程的“数学建模与数学探究”中，我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截面与圆锥面的交线是一个圆. 改变平面与圆锥轴的夹角，会得到不同的截面，截面与圆锥面的交线可以是圆、双曲线、抛物线，因此，我们通常把椭圆、双曲线和抛物线称为圆锥曲线.
对于某一圆锥曲线，例如椭圆，也可以看成满足某种条件的点的集合. 在平面直角坐标系中，当点用坐标 (x，y) 表示后，椭圆便可用一个方程 F(x，y)＝0 表示，进而通过对方程的研究来研究圆.
●怎样建立圆锥曲线的方程?●如何通过方程来研究圆锥曲线的性质?
第3章 圆锥曲线与方程
太阳系中行星的运动轨迹是椭圆. 用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是椭圆.
在画板上取两个定点 F1 和 F2 ，把一条长度为定值且大于 F1F2 的细绳的两端固定在 F1，F2 两点 (图3-1-1)，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上移动一周，画出的图形是一个椭圆.
平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数 (大于 F1F2 ) 的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点 F1，F2 叫作椭圆的焦点 (fcus)，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距(fcal distance).
类似于直线和圆，对于椭圆的研究，我们自然关注下面的问题：
●怎样建立椭圆的方程?●如何根据椭圆的方程研究椭圆的性质?
3.1.1 椭圆的标准方程
设椭圆 C 的两个焦点分别为 F1，F2，它们之间的距离为2c，圆上任意一点到 F1，F2 的距离之和为 2a(2a＞2c).
●怎样求椭圆 C 的方程?
以 F1，F2 所在的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy (图3-1-2)，则 F1，F2 的坐标分别为 (－c，0)，(c，0).
由上述过程可知，椭圆上的点的坐标 (x，y) 都满足上面这个方程. 可以证明以上面这个方程的解为坐标的点 (x，y) 都在已知的椭圆上.
这样，焦点为 F1 (－c，0)，F2 (c，0) 的椭圆的方程为
类似地，在图 3-1-3 所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点为 F1(0，－c)，F2(0，c) 的椭圆的方程为
以上两种方程都叫作椭圆的标准方程 (standard equatin f ellipse)，其中 b2＝a2－c2.
怎样推导焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程?
已知椭圆的两个焦点分别是 F1(－3，0)，F2(3，0)，圆上一点 P 到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程.
将圆 x2＋y2＝4 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.
1. 在 △ABC 中，若 BC 的长为6，周长为16，则顶点 A 在怎样的曲线上运动?
答案：顶点 A 在以 B，C 为焦点，到两个焦点距离之和等于 10 的椭圆上运动.
答案：(1) 是，焦点在 x 轴上.(2) 是，焦点在 y 轴上.(3) 不是.(4) 是，焦点在 x 轴上.
答案：有且只有一个公共点.
1. 在 △ABC 中，B(－3，0)，C(3，0)，且 AB＋AC＝2BC.(1) 求证：点 A 在一个椭圆上运动；(2) 写出这个椭圆的焦点坐标.
答案：(1) 略.(2) (－3，0)，(3，0).
5. 已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为 2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程.
10. 已知圆 F1：(x＋1)2＋y2＝1，圆 F2：(x－1)2＋y2＝9. 若动圆 C 与圆 F1外切，且与圆 F2 内切，求动圆的圆心 C 的轨迹方程.
答案：表示焦点为 (1，0) 和 (－1，0) 的椭圆.
答案：x2＋y2＝16.表示以原点为圆心，半径为 4 的圆.
14. 船上两根高7.5m的桅杆相距15m，一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧，假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点 P 到桅杆 AB 的距离(精确到0.01m).
16. (操作题) 准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点 F，将纸片折起，使圆周过点 F (如图)，然后将纸片展开，就得到一条折痕(为了看清楚，可把直线 l 画出来) . 这样继续折下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线?
答案：这些折痕围成的轮廓是一个椭圆.
3.1.2 椭圆的几何性质
在建立了椭圆的标准方程之后，就可以利用方程来研究椭圆的几何性质. 那么，
利用方程研究曲线的几何性质是解析几何的基本思想.
这说明椭圆位于直线 x＝±a 和 y＝±b 所围成的矩形内 (图3－1－4).
在椭圆的标准方程中，把 x 换成 －x，方程并不改变，这说明当点 P(x，y) 在椭圆上时，它关于 y 轴的对称点 P′(－x，y) 也在椭圆上，所以椭圆关于 y 轴对称.
同理，把 y 换成－y，或同时把 x，y 分别换成 －x，－y，方程都不变，所以椭圆关于 x 轴和原点都是对称的，因此，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.
在椭圆的标准方程中，令 x＝0，得y＝±b，这说明点 B1(0，－b)，B2(0，b) 是椭圆与 y 轴的两个交点. 同理，点 A1(－a，0)，A2(a，0) 是椭圆与 x 轴的两个交点，这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆的顶点.
线段 A1A2，B1B2 分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 2a 和2b，a 和 b 分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
已知椭圆的长轴 A1A2 和短轴 B1B2，怎样确定椭圆焦点的位置?
圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”用什么样的量来刻画椭圆的“扁”的程度呢?
(1) 将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度(分别加长、缩短)，观察椭圆的“扁”的程度的变化规律；(2) 细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆的扁”的程度的变化规律.
先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(图3-1-5).
在 GGB 的输入框中，输入“x^2/25＋y^2/9＝1”，即可作出椭圆.
我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 (简称“地心”) F2 为一个焦点的椭圆. 已知它的近地点 A (长轴端点中离地面最近的点) 距地面 439km，远地点 B (长轴端点中离地面最远的点) 距地面2384km，AB 是椭圆的长轴，地球的半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程.
解 如图 3-1-6，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy，AB 与地球交于 C，D两点.
太阳系中有的行星运动轨迹的离心率与 0 很接近，因此近似于圆. 如地球、火星、天王星运动轨迹的离心率分别为 0.017，0.093，0.046. 水星和冥王星相对稍扁一些，离心率分别为 0.206 和 0.249. 哈雷彗星的轨道非常扁，其离心率为 0.967.
(4) 4x2＋y2＝16.
2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长、短轴长分别为8和6；(2) 中心在原点，一个焦点坐标为 (0，5)，短轴长为4；(3) 对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率是0.6； (4) 中心在原点，焦点在 x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为 1.
6. (1) 已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是 2 和 4 ，求椭圆的离心率； (2) 设 F 是椭圆的一个焦点，B1B2 是短轴，若∠B1FB2＝60°，求椭圆的离心率.
3.1.2 椭圆的几何性质
3. 如图，要把一个边长为 100cm 和 64cm 的矩形木板锯成椭圆形，使椭圆的长轴长和短轴长分别为 100cm 与 64cm，用简便的方法在木板上画出这个椭圆的草图.
答案：(1) 1＜k＜5.(2) 5＜k＜9.
6.已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率.
7. 求以正方形 ABCD 的两个顶点 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的离心率.
8. 地球运行的轨道是长半轴长为 1.50×108 km、离心率为 0.02 的椭圆，太阳在此椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最远距离.
答案：1.53×108 (km).
答案：(1)关于 x 轴、y 轴或原点均对称.(2) 关于 x 轴、 y 轴或原点均对称.(3) 关于 y 轴对称，不关于 x 轴对称，也不关于原点对称.(4) 不关于 x 轴、y 轴或原点对称.
答案：x2＋y2＋26x＋25＝0.
13. 已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成 30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程和离心率.
15. (阅读题) 猫的运动轨迹与达·芬奇椭圆仪--一架立在光滑地板上的梯子抵墙下滑，一只猫坐在梯子的正中间不动.试求在梯子下滑过程中猫的运动轨迹. 在这一生动有趣的叙述后面，我们可见到下面的数学问题： 已知一个直角，一条长度为d的线段的两个端点分别在这个直角的两边上滑动，求线段中点的轨迹. 这个问题在习题 2.1第13题中已经得到解决.如果这只猫没有坐在梯子的正中间，那么在梯子下滑过程中，它沿怎样的一条路线运动?下面我们用解析法求猫运动的轨迹.
上面的结果与用来作椭圆的“达·芬奇椭圆仪”(图(2))的工作原理非常相似. 制作椭圆仪的方法如下：用两根木条钉成十字架，木条中间挖一道槽. 在另一活动木条 PBA 的 P 处钻一小孔，可以容纳笔尖，A，B 是两个螺钉，可以放松移动以配合 AP＝a，BP＝b 的长度. 当 A，B 各在一条槽内移动时，P 处笔尖就画出一个椭圆，你能解释它的原理吗?尝试用 GGE 软件来模拟这一过程.
16. 椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成. 运用椭圆与圆之间的这种关系，你能根据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗?
答案：椭圆的面积为 πab .
解析几何彻底改变了数学的研究方法.——M.克莱因
在必修课程的“数学建模与数学探究”中，我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截面与圆锥面的交线是一个圆. 改变平面与圆锥轴的夹角，会得到不同的截面，截面与圆锥面的交线可以是圆、双曲线、抛物线，因此，我们通常把椭圆、双曲线和抛物线称为圆锥曲线.
对于某一圆锥曲线，例如椭圆，也可以看成满足某种条件的点的集合. 在平面直角坐标系中，当点用坐标 (x，y) 表示后，椭圆便可用一个方程 F(x，y)＝0 表示，进而通过对方程的研究来研究圆.
●怎样建立圆锥曲线的方程?●如何通过方程来研究圆锥曲线的性质?
第3章 圆锥曲线与方程
太阳系中行星的运动轨迹是椭圆. 用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是椭圆.
在画板上取两个定点 F1 和 F2 ，把一条长度为定值且大于 F1F2 的细绳的两端固定在 F1，F2 两点 (图3-1-1)，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上移动一周，画出的图形是一个椭圆.
平面内到两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数 (大于 F1F2 ) 的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点 F1，F2 叫作椭圆的焦点 (fcus)，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距(fcal distance).
类似于直线和圆，对于椭圆的研究，我们自然关注下面的问题：
●怎样建立椭圆的方程?●如何根据椭圆的方程研究椭圆的性质?
3.1.1 椭圆的标准方程
设椭圆 C 的两个焦点分别为 F1，F2，它们之间的距离为2c，圆上任意一点到 F1，F2 的距离之和为 2a(2a＞2c).
●怎样求椭圆 C 的方程?
以 F1，F2 所在的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy (图3-1-2)，则 F1，F2 的坐标分别为 (－c，0)，(c，0).
由上述过程可知，椭圆上的点的坐标 (x，y) 都满足上面这个方程. 可以证明以上面这个方程的解为坐标的点 (x，y) 都在已知的椭圆上.
这样，焦点为 F1 (－c，0)，F2 (c，0) 的椭圆的方程为
类似地，在图 3-1-3 所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点为 F1(0，－c)，F2(0，c) 的椭圆的方程为
以上两种方程都叫作椭圆的标准方程 (standard equatin f ellipse)，其中 b2＝a2－c2.
怎样推导焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程?
已知椭圆的两个焦点分别是 F1(－3，0)，F2(3，0)，圆上一点 P 到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程.
将圆 x2＋y2＝4 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.
1. 在 △ABC 中，若 BC 的长为6，周长为16，则顶点 A 在怎样的曲线上运动?
答案：顶点 A 在以 B，C 为焦点，到两个焦点距离之和等于 10 的椭圆上运动.
答案：(1) 是，焦点在 x 轴上.(2) 是，焦点在 y 轴上.(3) 不是.(4) 是，焦点在 x 轴上.
答案：有且只有一个公共点.
1. 在 △ABC 中，B(－3，0)，C(3，0)，且 AB＋AC＝2BC.(1) 求证：点 A 在一个椭圆上运动；(2) 写出这个椭圆的焦点坐标.
答案：(1) 略.(2) (－3，0)，(3，0).
5. 已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为 2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程.
10. 已知圆 F1：(x＋1)2＋y2＝1，圆 F2：(x－1)2＋y2＝9. 若动圆 C 与圆 F1外切，且与圆 F2 内切，求动圆的圆心 C 的轨迹方程.
答案：表示焦点为 (1，0) 和 (－1，0) 的椭圆.
答案：x2＋y2＝16.表示以原点为圆心，半径为 4 的圆.
14. 船上两根高7.5m的桅杆相距15m，一条30m长的绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧，假设绳子位于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触点 P 到桅杆 AB 的距离(精确到0.01m).
16. (操作题) 准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点 F，将纸片折起，使圆周过点 F (如图)，然后将纸片展开，就得到一条折痕(为了看清楚，可把直线 l 画出来) . 这样继续折下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线?
答案：这些折痕围成的轮廓是一个椭圆.
3.1.2 椭圆的几何性质
在建立了椭圆的标准方程之后，就可以利用方程来研究椭圆的几何性质. 那么，
利用方程研究曲线的几何性质是解析几何的基本思想.
这说明椭圆位于直线 x＝±a 和 y＝±b 所围成的矩形内 (图3－1－4).
在椭圆的标准方程中，把 x 换成 －x，方程并不改变，这说明当点 P(x，y) 在椭圆上时，它关于 y 轴的对称点 P′(－x，y) 也在椭圆上，所以椭圆关于 y 轴对称.
同理，把 y 换成－y，或同时把 x，y 分别换成 －x，－y，方程都不变，所以椭圆关于 x 轴和原点都是对称的，因此，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.
在椭圆的标准方程中，令 x＝0，得y＝±b，这说明点 B1(0，－b)，B2(0，b) 是椭圆与 y 轴的两个交点. 同理，点 A1(－a，0)，A2(a，0) 是椭圆与 x 轴的两个交点，这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆的顶点.
线段 A1A2，B1B2 分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 2a 和2b，a 和 b 分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
已知椭圆的长轴 A1A2 和短轴 B1B2，怎样确定椭圆焦点的位置?
圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”用什么样的量来刻画椭圆的“扁”的程度呢?
(1) 将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度(分别加长、缩短)，观察椭圆的“扁”的程度的变化规律；(2) 细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆的扁”的程度的变化规律.
先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(图3-1-5).
在 GGB 的输入框中，输入“x^2/25＋y^2/9＝1”，即可作出椭圆.
我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 (简称“地心”) F2 为一个焦点的椭圆. 已知它的近地点 A (长轴端点中离地面最近的点) 距地面 439km，远地点 B (长轴端点中离地面最远的点) 距地面2384km，AB 是椭圆的长轴，地球的半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程.
解 如图 3-1-6，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy，AB 与地球交于 C，D两点.
太阳系中有的行星运动轨迹的离心率与 0 很接近，因此近似于圆. 如地球、火星、天王星运动轨迹的离心率分别为 0.017，0.093，0.046. 水星和冥王星相对稍扁一些，离心率分别为 0.206 和 0.249. 哈雷彗星的轨道非常扁，其离心率为 0.967.
(4) 4x2＋y2＝16.
2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长、短轴长分别为8和6；(2) 中心在原点，一个焦点坐标为 (0，5)，短轴长为4；(3) 对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率是0.6； (4) 中心在原点，焦点在 x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为 1.
6. (1) 已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是 2 和 4 ，求椭圆的离心率； (2) 设 F 是椭圆的一个焦点，B1B2 是短轴，若∠B1FB2＝60°，求椭圆的离心率.
3.1.2 椭圆的几何性质
3. 如图，要把一个边长为 100cm 和 64cm 的矩形木板锯成椭圆形，使椭圆的长轴长和短轴长分别为 100cm 与 64cm，用简便的方法在木板上画出这个椭圆的草图.
答案：(1) 1＜k＜5.(2) 5＜k＜9.
6.已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率.
7. 求以正方形 ABCD 的两个顶点 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的离心率.
8. 地球运行的轨道是长半轴长为 1.50×108 km、离心率为 0.02 的椭圆，太阳在此椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最远距离.
答案：1.53×108 (km).
答案：(1)关于 x 轴、y 轴或原点均对称.(2) 关于 x 轴、 y 轴或原点均对称.(3) 关于 y 轴对称，不关于 x 轴对称，也不关于原点对称.(4) 不关于 x 轴、y 轴或原点对称.
答案：x2＋y2＋26x＋25＝0.
13. 已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成 30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程和离心率.
15. (阅读题) 猫的运动轨迹与达·芬奇椭圆仪--一架立在光滑地板上的梯子抵墙下滑，一只猫坐在梯子的正中间不动.试求在梯子下滑过程中猫的运动轨迹. 在这一生动有趣的叙述后面，我们可见到下面的数学问题： 已知一个直角，一条长度为d的线段的两个端点分别在这个直角的两边上滑动，求线段中点的轨迹. 这个问题在习题 2.1第13题中已经得到解决.如果这只猫没有坐在梯子的正中间，那么在梯子下滑过程中，它沿怎样的一条路线运动?下面我们用解析法求猫运动的轨迹.
上面的结果与用来作椭圆的“达·芬奇椭圆仪”(图(2))的工作原理非常相似. 制作椭圆仪的方法如下：用两根木条钉成十字架，木条中间挖一道槽. 在另一活动木条 PBA 的 P 处钻一小孔，可以容纳笔尖，A，B 是两个螺钉，可以放松移动以配合 AP＝a，BP＝b 的长度. 当 A，B 各在一条槽内移动时，P 处笔尖就画出一个椭圆，你能解释它的原理吗?尝试用 GGE 软件来模拟这一过程.
16. 椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成. 运用椭圆与圆之间的这种关系，你能根据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗?
答案：椭圆的面积为 πab .
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