福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年高一下学期期末质检数学试题

这是一份福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年高一下学期期末质检数学试题，共15页。试卷主要包含了 在梯形中，，则等于等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分150分）
注意：
1. 试卷共4页，另有答题卡，解答内容一律写在答题卡上，否则不得分.
2. 作图请使用2B铅笔，并用黑色签字笔描画.
3. 第5，6，7，10，17，21题为选做题！
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的，把答案填涂在答题卡的相应位置.
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
2. 在中，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. B. C. 4D.
4. 在梯形中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
5.（选做：立体几何）如图，在长方体中，底面为正方形，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
（选做：解析几何）直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A. 2B. -2C. 2或-2C. 0或-2
6.（选做：立体几何）若一个几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的体积为（ ）
A. B.
C. D.
（选做：解析几何）直线过定点，则过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
7.（选做：立体几何）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
（选做：解析几何）过点的直线与圆：交于，两点，为圆心，当最小时，直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
8. 两个正实数，满足，，成等差数列，则不等式恒成立时实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 在平面直角坐标系中，向量，将向量绕原点按逆时针方向旋转后得到向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
10.（选做：立体几何）四棱锥的底面为正方形，平面平面，是边长为的等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
（选做：解析几何）已知圆：与圆：，过动点分别作圆，圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ）
A. B. 2C. D. 13
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分
11. 等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. 当或10时，取最大值
C. D.
12. 如图，的内角，，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是等边三角形
B. 若，则，，，四点共圆
C. 四边形面积最大值为
D. 四边形面积最小值为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分.
13. 若向量，，且，则实数的值为______.
14. 如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔的高度，在塔底和，（与塔底同一水平面）处进行测量，在点，处测得塔顶的仰角分别为和，且，两点相距，，则古塔的高度为______.
15. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，得到数列，则___________；对，______.
16. 锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（选做：立体几何）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面.
（选做：解析几何）已知矩形顶点的坐标为，两条对角线相交于点，边所在直线的方程为.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求矩形外接圆的标准方程.
18. 的内角，，所对的边分别为，，，若，且.
（1）求的值；
（2）若角，，成等差数列，求周长的最大值.
19. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求，的值；
（2）求关于的不等式的解集.
20. 某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材.通过市场分析，每月需投入固定成本3000元，生产台需另投入成本元，且，若每台售价800元，且当月生产的体育器材该月内能全部售完.
（1）求制造商由该设备所获的月利润关于月产量台的函数关系式；（利润＝销售额－成本）
（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润.
21.（选做：立体几何）如图，在三棱锥中，平面平面，侧面为等边三角形，，，.
（1）证明：；
（2）若，是线段上的动点，且，设，求三棱锥体积关于的函数表达式并求体积取最小值时的值.
（选做：解析几何）在平面直角坐标系中，已知圆：，圆与圆关于点对称.
（1）求圆的方程；
（2）若过平面上一点存在无穷多对互相垂直的直线和（，的斜率存在且不为0），它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.
22. 已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和；
（3）若数列满足，且不等式对任意的都成立，求的取值范围.
2019～2020学年第二学期期末高一教学质量检查
数学试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
10.（选做：立体几何）
连交于，设中点
连，则面，设是的中心，且
则以为邻边的矩形的另一顶点设为，则是四棱锥外接球的球心
边长为
，，
，设外接球半径为
则
选
（选做：解析几何）
由已知
由得
又
法（一）
这式子值可看为是定点到直线
上动点的距离的平方
由直线外定点到直线上动点的距离中，垂直线段最短，
最小值为距离平方
即 选B
法（二）
，
当且仅当时取得最小值2 选B
12. 由正弦定理
得
，B是等腰的底角，
是等边三角形. A正确
B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，
由A正确知
但由于时
∴B不正确.
C正确，D不正确：
设，则
，∴C正确，D不正确
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置.）
13. 14. 12 15. 35； 16.
16. 由已知
得
，即
为锐角三角形
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17.（选做：立体几何）
（1）证明：设与的交点为，连接.
底面为菱形，
为的中点.
又为的中点，
.
又平面，平面，
平面.
（2）底面为菱形，
，
又平面，
，
又，
平面，
又平面，
平面平面.
17.（选做：解析几何）
（1）边所在直线的方程为，且与垂直，
直线的斜率为.
边所在直线的方程为.
（2）矩形两条对角线的交点为，
为矩形外接圆的圆心，又.
矩形外接圆的方程为.
18.（1）由已知得，
又，即，则，.
（2）角成等差数列，则，
又，
则，
又，故，周长的最大值为6，
当且仅当时等号成立.
19.（1）由题意知：且和是方程的两根，
由根与系数的关系有，
解得.
（2）不等式可化为，
即.
其对应方程的两根为，
= 1 \* GB3 ①当即时，原不等式的解集为；
②当即时，原不等式的解集为；
= 3 \* GB3 ③当即时，原不等式的解集为；
综上所述：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
20. 解：（1）当时，；
当时，.
.
（2）当时，，
当时，.
当时，，
当且仅当，即时，.
当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为5600元.
21.（选做：立体几何）
（1）证明：的中点，连接，
为等边三角形，为的中点，
，同理，
又，平面.
.
（2）由（1）知
又平面平面，
平面平面平面，
平面.
是三棱锥的高，易得，
，，
在中，由正弦定理得，
同理 ，
故
.
三棱锥的体积
.
，，
当时，的最大值为，
此时三棱锥的体积有最小值且最小值为
当时，三棱锥的体积有最小值.
21.（选做：解析几何）
（1）设圆的圆心的坐标为，因为圆与圆关于点对称，
所以与关于点对称，由中点坐标公式得：，
因为圆与圆关于点对称，所以圆与圆的半径相等，
所以圆的方程为.
（2）设点满足条件，不妨设直线的方程为，则直线的方程为.
因为圆和圆的半径相等，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，所以圆心到直线的距离和圆心到直线的距离相等，
即，
整理得，
从而或.
因为的取值有无穷多个，所以或
解得或.
所以这样的点只可能是点或点.经检验，点和都满足条件，
所以所有满足条件的点的坐标为和.
22. 解：（1）时，，
又，两式相减得，
当时，，故通项公式.
（2）因为，则
，
，
所以.
（3）由（1）知，当时，，又，
两式相减得，
所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，数列是以为首项，公差为2的等差数列.
，，
当为偶数时，；
当为奇数时，.
.
因为对任意的都有成立，
当为奇数时，恒成立，
在为奇数时恒成立，即，；
同理当为偶数时，恒成立，
在为偶数时恒成立，.
综上所述，的取值范围是.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
C
D
D
C
A
B
AD
AC