2021-2022学年福建省龙岩市非一级达标校高二下学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年福建省龙岩市非一级达标校高二下学期期中联考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知向量，，则（ ）
A．B．40C．6D．36
【答案】C
【分析】利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长.
【详解】由题设，则.
故选：C
2．已知随机变量，变量，则（ ）
A．6B．11C．23D．24
【答案】B
【分析】利用二项公布的期望公式及期望的性质计算作答.
【详解】因随机变量，则，又，
所以.
故选：B
3．已知函数，则的值是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】求导函数，由此可求，再结合函数解析式求.
【详解】因为，所以，
所以，故，
又，所以，
故选：A.
4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】若，则，从而即可求解
【详解】若，则，从而
即,解之得：
故选：D
5．函数的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】先由在处的导数得到切线斜率，进而得到切线方程，再求得切线与坐标轴的交点，即可求解.
【详解】由题意可得，则切线斜率，
因为，
所以所求切线方程为，即，
令，得；令，得，
则所求切线与坐标轴围成的三角形的面积是，
故选：A
6．在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解
【详解】
因为为中点，
所以
所以
即
故选：B
7．已知函数在上有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，令，要使函数在有最小值，依题意使得，且当时，当时，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为，，所以，
令，，对称轴为，
当时恒成立，此时在上单调递增，不存在最小值，故舍去；
所以，依题意使得，且当时，当时，
使得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，
所以，所以，解得，即；
故选：A
8．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率.
【详解】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数插入4个空有种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种，
任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：
当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种；
2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种；
所以个位是偶数共有20种；
同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：对任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻做计数时，注意讨论特殊位置上放置偶数或奇数，进而分1、2是否在该位置的情况计数.
二、多选题
9．在下列函数中，求导正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BC
【分析】根据初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，函数，可得，则A错误；
对于B中，函数，可得，则B正确；
对于C中，函数，可得，则C正确；
对于D中，函数，可得，则D错误.
故选：BC.
10．甲、乙、丙三人参加某公司招聘面试，面试时每人回答3道题，3道题都答对则通过面试，已知甲、乙、两三人答对每道题的概率分别是，，，假设甲、乙、丙三人面试是否通过相互没有影响，且每次答题相互独立，则（ ）
A．甲通过该公司招聘面试的概率是
B．甲、乙都通过该公司招聘面试的概率是
C．甲、丙都通过该公司招聘面试的概率是
D．在乙通过该公司招聘面试的条件下，恰有两人通过该公司招聘面试的概率是
【答案】ACD
【分析】根据相互独立的概率乘法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，甲、乙、两三人通过招聘的概率分别，，，
所以甲通过该公司招聘面试的概率是，所以A正确；
甲、乙都通过该公司招聘面试的概率为，所以B不正确；
甲、丙都通过该公司招聘面试的概率是，所以C正确；
在乙通过该公司招聘面试的条件下，恰有两人通过该公司招聘面试的概率是
，所以D正确.
故选：ACD.
11．如图，正方形和矩形所在平面所成的角为60°，且，为的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．直线与所成角的余弦值是
C．直线与平面所成角的正弦值是
D．点到平面的距离是
【答案】BCD
【分析】由条件建立空间直角坐标系，利用向量方法判断的位置关系，利用空间角的向量求法判断B，C，再结合点到平面的距离的向量求法判断D.
【详解】由已知，，又，平面，
所以平面，以为坐标原点，，为轴正方向建立空间直角坐标系，
又正方形和矩形所在平面所成的角为60°，所以，，
所以，，，，
所以，，
所以，所以不垂直，A错，
，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值是，B对，
设平面的法向量为，，
由已知，所以，取可得，，
即可取法向量为，
直线的方向向量，
所以，
所以线与平面所成角的正弦值是，C对，
因为，平面的法向量为，
设点到平面的距离为，则，D对，
故选：BCD.
12．已知定义在上的函数的导函数为，对任意的，都有，且，则满足不等式的的值可以是（ ）
A．2B．eC．3D．4
【答案】BC
【分析】构造并求导，结合已知条件可得则有且为常数，由可得，即可确定解析式，进而求出的解析式，最后将不等式转化为求在上的解集，构造中间函数并应用导数研究单调性求x的范围.
【详解】令且，则，
又，即，所以且为常数，
而，故，即，
所以且，则，
故等价于，
令且，则，
在上，递减，在上，递增，又，
所以在上递减，在上递增，则，可得.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：构造，根据已知条件求出解析式，进而确定的解析式，再将目标不等式转化为求在上的解集.
三、填空题
13．已知随机变量，若，则______．
【答案】0.85
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性计算作答.
【详解】因随机变量，且，则，
所以.
故答案为：0.85
14．已知函数的导函数为，且，则______．
【答案】1
【分析】根据在某点处的导数的定义，可求得答案.
【详解】由题意可得,
故答案为：1
15．甲、乙两人进行跳棋比赛，约定7局4胜制，即谁先赢得4局比赛谁获胜，后面的比赛不需进行．已知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，若比赛已经进行了3局，甲以领先，则最终甲以赢得比赛的概率是______．
【答案】0.1728
【分析】根据给定条件，确定甲胜的情况，再利用独立重复试验概率列式计算作答.
【详解】依题意，最后4局比赛的前3局，甲胜1局，最后一局甲胜，其概率为，
所以最终甲以赢得比赛的概率是.
故答案为：
16．如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，沿着将折起，使得点与点重合．若二面角为120°，则点到直线的距离是______．
【答案】
【分析】作出二面角的平面角，求出点P到平面的距离，再求出PB长，求边BD上的高即可作答.
【详解】在等腰梯形中，，是线段的中点，四边形为平行四边形，
则，是菱形，连接AE，则、都是正三角形，
取DE中点O，连接AO，PO，如图，
则有，是二面角的平面角，有，且平面，
又平面，则平面平面，在平面内过P作于H，连BH，
因平面平面，于是得平面，而平面，即有，
，而，则有，，又，，
，中，，由余弦定理得：
，从而得，
所以边BD上的高，
所以点到直线的距离是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，
两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
四、解答题
17．已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，进而求出m、n，即可得结果.
（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得，讨论的情况，即可求范围.
【详解】(1)由题设，，又，，三点共线，
所以存在使，即，可得，
所以.
(2)由，
由（1）知：当时，有；
而，又，的夹角是钝角，
所以，可得；
又时、，故，满足题设；
综上，.
18．在箱子中有大小相同，仅颜色不同的小球共6个，其中红色小球2个，白色小球4个．现从箱子中每次随机取出一个小球，若取出的是白球，放回，并继续从箱子中随机取出一个小球；若取出的是红色小球，不放回，并继续从箱子中随机取出一个小球．直到取出2个红色小球结束．
(1)若在第一次取出的小球是红球的条件下，求取球4次结束的概率；
(2)求取球结束时，取球次数不超过3次的概率．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用条件概率求解；
（2）取球结束时，取球不超过3次即取球刚好两次和刚好三次，利用互斥事件和独立事件的概率公式求解.
【详解】(1)解：设第二次取到的是白球，第三次取到的是白球，第四次取到的是红球，
因为第一次取出的小球是红球，所以取球4次结束即第二次、第三次都是白球，第四次取到的是红球，
所以在第一次取出的小球是红球的条件下，取球4次结束的概率为.
所以在第一次取出的小球是红球的条件下，取球4次结束的概率为.
(2)解：取球结束时，取球不超过3次即取球刚好两次和刚好三次.
取球结束时，取球刚好两次，即两次都是红球，概率为;
取球结束时，取球刚好三次，即白红红、红白红，
概率为.
所以取球结束时，取球不超过3次的概率为.
19．已知函数，函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）求解导函数，然后分类讨论求单调区间；（2）利用参变分离法，将题目条件转化为在上有两个不同的实根，构造函数，求导判断单调性并求解最值，从而得k的取值范围.
【详解】(1)由题意可得的定义域为，且．
①当时，由，得；由，得．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
②当时，由，得；由，得．
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)当时，令，得，即，
则与的图象在上有两个不同的交点，等价于在上有两个不同的实根．
设，则．
由，得；由，得．
函数在上单调递增，在上单调递减，故．
因为，，且，
所以要使在上有两个不同的实根，则，
即k的取值范围为．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
20．如图，在多面体中，四边形是直角梯形，，，，平面，．
(1)证明：平面．
(2)若，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)平面与平面所成角的余弦值为.
【分析】(1)先由平面与平面平行的判定定理证明平面平面，由此证明平面；(2)建立坐标系，利用向量法求平面与平面所成角的余弦值．
【详解】(1)因为，平面，平面，
所以平面，
因为四边形是直角梯形，，，
所以，平面，平面，
所以平面，又平面，，
平面平面，平面，
所以平面，
(2)由已知平面，，以为原点，以为轴正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，
，，，
设平面的法向量为，，则
，所以，取可得，，
即平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，则
，所以，取可得，，
即平面的一个法向量为，
所以，
又由图象可得平面与平面所成角的锐角，
所以平面与平面所成角的余弦为.
21．甲，乙两名羽毛球爱好者进行杀球训练，甲每次杀球成功的概率为，乙每次杀球成功的概率为．已知甲、乙各进行2次杀球训练，记X为甲、乙杀球成功的总次数，假设甲、乙两人杀球是否成功相互没有影响，且每次杀球训练相互独立．
(1)求的概率；
(2)求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）分别求得甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率、甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率和甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率，加起来即可求出答案.
（2）随机变量X的所有取值是0，1，2，3，4，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望.
【详解】(1)甲2次杀球成功，且乙2次杀球失败的概率，
甲2次杀球恰有1次成功，且乙2次杀球恰有1次成功的概率，
甲2次杀球失败，且乙2次杀球成功的概率，
故的概率．
(2)由题意可知X的所有取值是0，1，2，3，4．
，
，
，
．
则X的分布列为
故．
22．已知函数，，是的两个极值点．
(1)求的取值范围；
(2)当时，求的最小值．
【答案】(1)的取值范围为；
(2)的最小值为.
【分析】(1)根据极值点的定义可得有两个正根，由此列不等式求的范围；(2)设，结合条件求出的范围，用表示并求其最小值即可.
【详解】(1)因为函数的定义域为，
由已知函数有两个极值点，
所以方程有两个不同的正根，即有两个不同的正根，
所以有两个不同的正根，故，，
所以，
故的取值范围为；
(2)因为，是的两个极值点，由(1)可得，是方程的两个解，所以，，
所以，
化简可得
设，则，所以，即，，
所以，，
所以，所以，
，则，
所以函数为减函数，
所以，
所以函数的最小值为，
故的最小值为.
【点睛】解决多变元的问题的关键在于通过消元或换元将问题转化为单变元问题，同时问题的解决过程中需要注意变量的范围.
X
0
1
2
3
4
P