福建省龙岩市一级达标校2019-2020学年高一下学期期末质检数学试题

2019~2020学年第二学期期末高一教学质量检查

数学试题

（考试时间：120分钟   满分150分）

注意：

1. 试卷共4页，另有答题卡，解答内容一律写在答题卡上，否则不得分.

2. 作图请使用2B铅笔，并用黑色签字笔描画.

3. 第5，6，7，10，17，21题为选做题！

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的，把答案填涂在答题卡的相应位置.

1. 下列命题正确的是（    ）

A. 若，则  B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

2. 在中，若，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 记为等比数列的前项和，若，，则（    ）

A.  B.  C. 4 D.

4. 在梯形中，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

5.（选做：立体几何）如图，在长方体中，底面为正方形，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.   B.

C.   D.

（选做：解析几何）直线与直线互相垂直，则的值为（    ）

A. 2 B. -2 C. 2或-2 C. 0或-2

6.（选做：立体几何）若一个几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的体积为（    ）

A.   B.

C.   D.

（选做：解析几何）直线过定点，则过点且与圆相切的直线方程为（    ）

A.   B.

C. 或 D. 或

7.（选做：立体几何）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，，则

（选做：解析几何）过点的直线与圆：交于，两点，为圆心，当最小时，直线的方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 两个正实数，满足，，成等差数列，则不等式恒成立时实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 在平面直角坐标系中，向量，将向量绕原点按逆时针方向旋转后得到向量，若向量满足，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

10.（选做：立体几何）四棱锥的底面为正方形，平面平面，是边长为的等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

（选做：解析几何）已知圆：与圆：，过动点分别作圆，圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（    ）

A.  B. 2 C.  D. 13

二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分

11. 等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（    ）

A.   B. 当或10时，取最大值

C.   D.

12. 如图，的内角，，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 是等边三角形

B. 若，则，，，四点共圆

C. 四边形面积最大值为

D. 四边形面积最小值为

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分.

13. 若向量，，且，则实数的值为______.

14. 如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔的高度，在塔底和，（与塔底同一水平面）处进行测量，在点，处测得塔顶的仰角分别为和，且，两点相距，，则古塔的高度为______.

15. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，得到数列，则___________；对，______.

16. 锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（选做：立体几何）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面.

（选做：解析几何）已知矩形顶点的坐标为，两条对角线相交于点，边所在直线的方程为.

（1）求边所在直线的方程；

（2）求矩形外接圆的标准方程.

18. 的内角，，所对的边分别为，，，若，且.

（1）求的值；

（2）若角，，成等差数列，求周长的最大值.

19. 已知关于的不等式的解集为.

（1）求，的值；

（2）求关于的不等式的解集.

20. 某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材.通过市场分析，每月需投入固定成本3000元，生产台需另投入成本元，且，若每台售价800元，且当月生产的体育器材该月内能全部售完.

（1）求制造商由该设备所获的月利润关于月产量台的函数关系式；（利润＝销售额－成本）

（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润.

21.（选做：立体几何）如图，在三棱锥中，平面平面，侧面为等边三角形，，，.

（1）证明：；

（2）若，是线段上的动点，且，设，求三棱锥体积关于的函数表达式并求体积取最小值时的值.

（选做：解析几何）在平面直角坐标系中，已知圆：，圆与圆关于点对称.

（1）求圆的方程；

（2）若过平面上一点存在无穷多对互相垂直的直线和（，的斜率存在且不为0），它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.

22. 已知数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和；

（3）若数列满足，且不等式对任意的都成立，求的取值范围.

2019～2020学年第二学期期末高一教学质量检查

数学试题参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

10.（选做：立体几何）

连交于，设中点

连，则面，设是的中心，且

则以为邻边的矩形的另一顶点设为，则是四棱锥外接球的球心

边长为

，，

，设外接球半径为

则

      选

（选做：解析几何）

由已知

由得

又

法（一）

这式子值可看为是定点到直线

上动点的距离的平方

由直线外定点到直线上动点的距离中，垂直线段最短，

最小值为距离平方

即       选B

法（二）

，

当且仅当时取得最小值2        选B

12. 由正弦定理

得

，B是等腰的底角，

是等边三角形.         A正确

B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，

由A正确知

但由于时

∴B不正确.

C正确，D不正确：

设，则

，∴C正确，D不正确

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置.）

13.         14.  12       15. 35；         16.

16. 由已知

得

，即

为锐角三角形 

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）

17.（选做：立体几何）

（1）证明：设与的交点为，连接.

底面为菱形，

为的中点.

又为的中点，

.

又平面，平面，

平面.

（2）底面为菱形，

，

又平面，

，

又，

平面，

又平面，

平面平面.

17.（选做：解析几何）

（1）边所在直线的方程为，且与垂直，

直线的斜率为.

边所在直线的方程为.

（2）矩形两条对角线的交点为，

为矩形外接圆的圆心，又.

矩形外接圆的方程为.

18.（1）由已知得，

又，即，则，.

（2）角成等差数列，则，

又，

则，

又，故，周长的最大值为6，

当且仅当时等号成立.

19.（1）由题意知：且和是方程的两根，

由根与系数的关系有，

解得.

（2）不等式可化为，

即.

其对应方程的两根为，             

①当即时，原不等式的解集为；

②当即时，原不等式的解集为；

③当即时，原不等式的解集为；

综上所述：当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

20. 解：（1）当时，；

当时，.

.

（2）当时，，

当时，.

当时，，

当且仅当，即时，.

当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为5600元.

21.（选做：立体几何）

（1）证明：的中点，连接，

为等边三角形，为的中点，

，同理，

又，平面.

.

（2）由（1）知

又平面平面，

平面平面平面，

平面.

是三棱锥的高，易得，

，，

在中，由正弦定理得，

同理 ，

故

.

三棱锥的体积

.

，，

当时，的最大值为，

此时三棱锥的体积有最小值且最小值为

当时，三棱锥的体积有最小值.

21.（选做：解析几何）

（1）设圆的圆心的坐标为，因为圆与圆关于点对称，

所以与关于点对称，由中点坐标公式得：，

因为圆与圆关于点对称，所以圆与圆的半径相等，

所以圆的方程为.

（2）设点满足条件，不妨设直线的方程为，则直线的方程为.

因为圆和圆的半径相等，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，所以圆心到直线的距离和圆心到直线的距离相等，

即，

整理得，

从而或.

因为的取值有无穷多个，所以或

解得或.   

所以这样的点只可能是点或点.经检验，点和都满足条件，

所以所有满足条件的点的坐标为和.

22. 解：（1）时，，

又，两式相减得，

当时，，故通项公式.

（2）因为，则

，

，

所以.

（3）由（1）知，当时，，又，

两式相减得，

所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，数列是以为首项，公差为2的等差数列.

，，

当为偶数时，；

当为奇数时，.

.

因为对任意的都有成立，

当为奇数时，恒成立，

在为奇数时恒成立，即，；

同理当为偶数时，恒成立，

在为偶数时恒成立，.

综上所述，的取值范围是.