福建省龙岩市一级校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题

龙岩市一级校联盟2022~2023学年第二学期半期考联考

高一数学试题

（考试时间：120分钟   总分：150分）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．复数的实部为（    ）

A． B． C．1 D．

2．若向量，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．有一个水平放置的多边形斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，，则原多边形面积为（    ）

A． B． C．6 D．12

4．已知，，且与的夹角为，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

5．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则（    ）

A．5 B． C． D．

6．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（    ）

A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺

7．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（    ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

8．已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为2，点Q为正六棱锥外接球上一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．每小题有多项符合题目要求）

9．下列命题中，真命题有（    ）

A．若复数，满足，则且

B．若复数，则

C．若，则复平面内对应的点位于第一象限

D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

10．下列说法中正确的是（    ）

A．已知两直线a，b平行于平面，那么直线a，b一定平行

B．若直线a，b平行，直线b在平面内，则直线a平行于平面内的无数条直线

C．若直线a不平行于平面，则平面内的所有直线均与a异面

D．若直线a与平面有两个公共点，则直线a在平面内

11．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，，，则有两组解

B．在中，已知，则是等腰或直角三角形

C．若，则

D．若为锐角三角形，且，，则面积的取值范围是

12．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，F为边AB的中点．若E为边CD上的动点，则（    ）

A．当E为边CD的中点时，

B．

C．三角形EAB面积的最小值为

D．的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．设向量，不平行，，，，若A，B，D三点共线，则______．

14．已知一个正三棱锥的侧棱为，其底面是边长为2的等边三角形，则此正三棱锥的高为______．

15．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为______．

16．如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．若D是外一点，，，则当四边形ABCD的面积最大时，______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）

已知复数，．

（1）当m取何值时，z为纯虚数？

（2）当时，求的值．

18．（本小题12分）

如图所示，在四边形ABCD中，，，，，E为AB的中点，连接DE．

（1）将四边形ABCD绕着线段AB所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；

（2）将绕着线段AE所在直线旋转一周形成几何体W，若球O是几何体W的内切球，求球O的表面积．

19．（本小题12分）

如图，在平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，点F在线段BC上，且．

（1）以，为基底表示向量与；

（2）若，，与的夹角为120°，求．

20．（本小题12分）

已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．

（1）求角C的值；

（2）若角C的角平分线交AB于D，且，AB边上的中线CE交AB于点E，且，求的面积．

21．（本小题12分）

已知在中，，，，．

（1）求的取值范围；

（2）若线段BE上一点D满足，求的最小值．

22．（本小题12分）

对于任意平面向量，则绕其起点沿逆时针方向旋转角得到的向量为，如图，已知绕C点逆时针旋转后再将模长伸长到原来的倍得到向量．

（1）求的坐标．

（2）若D，E，F分别为CB，BA，AC上的点，且，为正三角形．

①当时，求的面积；

②当时，求面积的取值范围．