福建省龙岩市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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数学试题

（考试时间：120分钟  满分150分）

注意：1.试卷共4页，另有答题卡，解答内容一律写在答题卡上，否则不得分.

2.作图请使用2B铅笔，并用黑色签字笔描画.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.请把答案填涂在答题卡上.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求得一元二次方程，解得集合，再根据集合的交运算，即可求得结果.

【详解】因为，解得，或，故可得，

则.

故选：D.

【点睛】本题考查集合交集的求解，属基础题.

2.若角终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据角度终边上点的坐标，即可容易求得结果.

【详解】因为角终边经过点，

则.

故选：C.

【点睛】本题考查由角度终边上的一点求三角函数值，属基础题.

3.的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求得结果.

【详解】.

故选：A.

【点睛】本题考查利用诱导公式求解三角函数值，属基础题.

4.函数的零点一定位于区间（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

函数在其定义域上连续，同时可判断f（2）＜0，f（3）＞0；从而可得解．

【详解】函数f（x）＝在其定义域上连续，

f（2）＝2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0，

f（3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；

故函数的零点在区间（2，3）上，

故选B．

【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题．

5.下列函数既是偶函数又在上递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指对幂函数的奇偶性和单调性，即可容易求得.

【详解】对，其既不是奇函数又不是偶函数，故错误；

对，其是偶函数，且在区间上单调递减，故错误；

对，其是偶函数，且在区间单调递增，故正确；

对，其是偶函数，且在区间是减函数，故错误.

故选：C.

【点睛】本题考查指对幂函数的单调性和奇偶性，属综合基础题.

6.《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中（方田）章给出的计算弧田面积的经验公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图阴影部分）由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长减去圆心到弦的距离，若有弧长为，半径为2的弧田，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是（    ）

A. 1 B. 2 C.  D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】

根据弧长和半径求出圆心角，矢，弦，即可按照公式求解.

【详解】根据弧长公式，圆心角，根据勾股定理可得弦长，

根据题意可知矢的长度为，

根据公式可得弧田面积（弦矢矢）.

故选：A.

【点睛】本题考查弧长公式的应用，属基础题.

7.设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

将数据与进行比较即可区分大小关系.

【详解】因为；；，

故

故选：D.

【点睛】本题考查利用指数和对数函数单调性比较大小，属基础题.

8.已知函数，若，且在区间内有最小值，无最大值，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据可得函数的对称轴，再结合在区间内有最小值，无最大值，解三角方程即可求得.

【详解】因为，故可得是该函数的对称轴；

又因为在区间内有最小值，无最大值，

故可得，即，

则，解得.

又，解得，

故可得.

故选：B.

【点睛】本题考查由余弦型函数的性质，求参数的值，属基础题.

9.已知，那么下列命题成立的是（    ）

A. 若，是第一象限角，则

B. 若，是第二象限角，则

C. 若，是第三象限角，则

D. 若，是第四象限角，则

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数线，以及特殊角的三角函数值即可容易判断.

【详解】对选项：令满足，但，故错误；

对选项：令满足，但，故错误；

对选项：令满足，但，故错误；

对选项：画出余弦线以及正切线如下所示：

如图所示：余弦线满足，

但其对应正切线，则，故正确.

故选：D.

【点睛】本题考查应用正切线比较三角函数值的大小，属基础题.

10.已知函数，，若这两个函数图象有且只有三个不同的交点，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

分类讨论，将问题转化为二次方程根的分布问题，即可容易求得参数范围.

【详解】因为，且当时，；

（1）当，时，与只有一个交点，

要满足题意，只需当时，有两个根，

等价于有两个非正根即可.

显然，该方程的两根为和，

要满足题意，只需且即可，即且，

又，故；

（2）当，时，与有2个交点，

要满足题意，只需当时，有一个根，

等价于有一个非正根即可.

显然，该方程的两根为和，

则只需或即可，

解得或，又，

故；

综上所述：.

故选：C.

【点睛】本题考查由函数零点的个数求参数的范围，属综合中档题.

二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡上.

11.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）

A. 函数的图象关于点对称

B. 函数的图象最小正周期为

C. 函数的图象在上单调递增

D. 函数的图象关于直线对称

【答案】AC

【解析】

【分析】

先根据函数图像的变换求得的解析式，再求其函数性质即可.

【详解】由题可知，.

因为，故正确；

因为的周期为，故错误；

因为，故可得，故正确；

因为正切函数不是轴对称函数，故错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查函数图像的变换以及正切型函数的性质，属综合基础题.

12.函数的定义域为R，且与都为偶函数，则（    ）

A. 为偶函数 B. 为偶函数

C. 为奇函数 D. 为周期函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据已知条件，结合函数的对称性，即可容易求得结果.

【详解】因为是偶函数，故可得，①

又是偶函数，故可得，②

由①可得：；由②可得；

故可得，则，

故可得是周期为的周期函数，故正确；

又因为均为偶函数，

故可得是偶函数，故正确；

故也偶函数.

综上所述，正确的选项有.

故选：ABD.

【点睛】本题考查函数周期性和对称性的判定，属综合基础题.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，则________.

【答案】.

【解析】

【分析】

先计算，再计算即可.

【详解】因为，故可得.

故答案为：.

【点睛】本题考查求分段函数的函数值，涉及指数和对数运算，属基础题.

14.，，则________.

【答案】.

【解析】

【分析】

利用，将已知代数式转化为的方程，即可求解.

【详解】因为，

整理得，解得或，

因为，故可得，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查由同角三角函数关系，求正切值，属基础题.

15.函数部分图象如图所示，若，且，，满足，则________，此时的单调递减区间是________.

【答案】    (1). .    (2). .

【解析】

【分析】

根据，，即可解得，再求函数的单调区间即可.

【详解】因为的最小正周期，且

故可得，

因为，故可得，则可得

又因为，故可得，则可得

解得，则.

令，故可得.

故答案为：；.

【点睛】本题考查由正弦型三角函数的性质求参数值以及正弦型三角函数单调区间的求解，属中档题.

16.已知是定义在上的偶函数，对任意都有，则________.

【答案】.

【解析】

【分析】

令，为常数，解方程即可容易求得.

【详解】由题可令，为常数，满足函数为偶函数，

则，则原式等价于，

整理得，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查由函数性质求函数值，属中档题；本题中采用的方法是作选择题的巧妙方法，也可用函数性质进行研究.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知，.

（1）求的值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用倍角公式即可容易求得结果；

（2）先求得，再根据余弦的差角公式即可容易求得.

【详解】（1）由得：  

（2），，

..  

又，，

【点睛】本题考查余弦的倍角公式，以及利用余弦的差角公式解决给值求值的问题，属综合基础题.

18.已知集合，.

（1）当时，求，；

（2）当，时，求实数m的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求解指数不等式，即可求得，根据集合的运算，即可容易求得结果；

（2）根据集合之间的包含关系，即可容易求得参数范围.

【详解】（1）当时，

.   

或.

.

（2），    

由，  

， ，，

，  

m的取值范围是.

【点睛】本题考查集合的运算，以及由集合之间的关系求参数的范围，涉及指数不等式的求解，属综合基础题.

19.已知.

（1）求的值；

（2）若的图象关于点对称，且在区间是单调函数，求的所有可能取值..

【答案】（1）；（2）或

【解析】

【分析】

（1）利用降幂扩角公式以及辅助角公式，即可容易化简，则函数值可得；

（2）根据对称中心，即可容易求得的初步范围，结合函数单调性，即可对进行取舍.

【详解】（1）

（2）图象关于点对称，

，

，       

又在是单调函数

，（为的最小正周期）

即，，

经检验，1合题意.综上所述：或

【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，以及根据三角函数的性质求参数的值，属综合中档题.

20.一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，每年砍伐且使森林面积每年比上一年减少的百分比相同，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是20年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的﹐已知到今年为止，森林剩余面积为.

（1）求每年砍伐面积的百分比；

（2）该森林今后最多还能砍伐多少年？

【答案】（1）；（2）今后最多还能砍30年.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，列出关于砍伐面积的百分比的方程，即可容易求得；

（2）根据题意，列出不等式，求解指数不等式即可容易求得结果.

【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为

则即，

解得：.    

（2）设从今年开始，最多可以砍年，

依题意得

即，

可得，，

解得

今后最多还能砍30年.

【点睛】本题考查指数型函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，属综合中档题.

21.已知函数图象关于原点对称，其中a为常数.

（1）求a的值；

（2）设的定义域为M，的定义域为N，对任意的，是否总存在，使得，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据即可容易求得参数值；

（2）根据的单调性，求得函数的值域，根据值域之间的包含关系，即可容易证明.

【详解】（1）依题得，

即

即，

经检验符合题意.           

（2）由（1）得，

令在上递增.

又在上递增，

在上递增.     

又.，的值域为    

，

的值域为.     

.

所以对任意，总存在，使得.

【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数值，以及根据函数单调性求函数值域，涉及三角函数值域的求解，属综合中档题.

22.已知函数.

（1）判断的单调性并写出证明过程；

（2）当时，关于x的方程在区间上有唯一实数解，求a的取值范围.

【答案】（1）在R上递增，证明见解析；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）先判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的定义，作差比较大小即可求证明；

（2）根据（1）中所求单调性，将问题转化为的零点问题，利用之间的关系进行换元，转化为二次函数零点的分布问题即可求得.

【详解】（1）在R上递增.

证明：，恒成立，的定义域为R.

令，，

是奇函数.           

令，，

，

在上递增，又是R上连续不断的奇函数，

在R上递增.         

（2）由（1）得

且在R上递增.

整理得，在上有唯一实数解

构造，，.  

令，则，

，

在内有且只有一个零点，无零点.

又，在上为增函数.         

ⅰ）若在内有且只有一个零点，无零点.

则

ⅱ）若为的零点，无零点，

则，

又，经检验符合题意.

综上所述：或.

【点睛】本题考查函数单调性以及奇偶性的证明，以及由函数的零点个数求参数的范围，涉及对数型函数以及之间的关系，属综合困难题.