第1讲 正弦定理和余弦定理（知识点串讲）（复习讲义）

第1讲　正弦定理和余弦定理一、正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C变形(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin Acos A＝；cos B＝；cos C＝ 考点1：利用正弦定理解三角形例1．(2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)A．2　　　 B．1　　C．　　　 D．【答案】D　[由正弦定理得b＝＝＝.]练习1．(2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A＝________.【答案】　[∵2asin B＝b，∴2sin Asin B＝sin B，得sin A＝，∴A＝或A＝，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝.] 利用正弦定理可解决两类问题基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边，如A，B，a①由A＋B＋C＝180°，求出C；②根据正弦定理，得＝及＝，求出边b，c.已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A①根据正弦定理，经讨论求B；②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；③再根据正弦定理＝，求出边c.  考点2：利用余弦定理解三角形例2．(2019·山东济南期中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝(　　)A． B．－C． D．－【答案】B　[由题意得，b2＝ac＝2a2，即b＝a，∴cos C＝＝＝－.]练习2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.【答案】　[方法一　由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝.方法二　∵在△ABC中，acos C＋ccos A＝b，∴条件等式变为2bcos B＝b，∴cos B＝.又0<B<π，∴B＝.] 利用余弦定理可解决两类问题已知两边和它们的夹角，如a，b，C①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边c；②根据cos A＝，求出A；③根据B＝180°－(A＋C)，求出B.已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角；由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角.  考点3：判断三角形的形状例3、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定【答案】B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A． ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形．][变式探究1]　本题1中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．解　∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，∴sin(A－B)＝0.又A，B为△ABC的内角．∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．[变式探究2]　本题1中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，又0<C<π，∴C＝，又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．  判定三角形形状的2种常用途径  二、三角形中常用的面积公式1.三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bcsin A＝acsinB＝absin C；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．2.在△ABC中常用结论(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin ＝cos ；cos ＝sin.(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.(7)合比定理：＝＝2R.(8)在锐角三角形中①A＋B＞；②若A＝，则＜B，C＜. 考点4 求三角形的面积例4、(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.练习4、(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.【答案】　[∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C>0，∴sin A＝.由余弦定理得cos A＝＝＝>0，∴cos A＝，bc＝＝，∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.]考点5 求解几何计算问题例5、如图，在△ABC中，B＝，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．(1)若△BCD的面积为，求AB的长；(2)若DE＝，求角A的大小．解　(1)∵△BCD的面积为，B＝，BC＝2，∴×2×BD×sin ＝，∴BD＝.在△BCD中，由余弦定理可得CD＝＝＝.∴AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝＋＝.(2)∵DE＝，∴CD＝AD＝＝.在△BCD中，由正弦定理可得＝.∵∠BDC＝2∠A，∴＝，∴cos A＝.∴A＝.练习5、 (2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.(1)求∠A；(2)求AC边上的高．解　(1)在△ABC中，因为cos B＝－，所以sin B＝ ＝.由正弦定理得sin A＝＝.由题设知<∠B<π，所以0<∠A<.所以∠A＝.(2)在△ABC中，因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，所以AC边上的高为asin C＝7×＝. 考点6三角函数求值问题例6、(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.又由bsin A＝acos，得asin B＝acos ，即sin B＝cos ，所以tan B＝.又因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.由bsin A＝acos，可得sin A＝ .因为a<c，所以cos A＝ .因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝.所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.  考点7解三角形综合问题例7、(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.解 (1)在△ABD中，由正弦定理得＝即＝，所以sin∠ADB＝由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25所以BC＝5练习7、(2019·广东惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A＝acos C.(1)求角A的大小；(2)若a＝，b＋c＝5，求△ABC的面积．解　(1)△ABC中，由条件及正弦定理得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin B．∵sin B≠0，∴2cos A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵a＝，b＋c＝5，a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos ＝52－3bc＝13，∴bc＝＝4，∴S△ABC＝bcsin A＝×4×sin ＝.