高考数学一轮复习考点突破讲与练 第3章 第2节　第1课时　必备知识 导数与函数的单调性、极值与最值 (含解析)

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第二节　导数在研究函数中的应用

1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数　的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).
第1课时　必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值


利用导数研究函数的单调性
1.函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是单调递增．
(2)若f′(x)0或f′(x)1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以00.
答案：(0，＋∞)

利用导数研究函数的极值
1.函数的极大值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
2．函数的极小值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
[提醒]　(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．
(3)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．

1.设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
答案：D

2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点．
3.若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D　f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.
4.已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2，当x＝－1时有极值0，则a＋b的值为________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由题意得即解之，得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，所以f(x)在x＝－1处无极值，舍去．所以a＝2，b＝9.所以a＋b＝11.
答案：11
5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1