2025高考数学一轮课时作业第四章三角函数与解三角形4.6正弦定理余弦定理（附解析）

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1. 在中，下列各式恒成立的是（ D ）
A. B.
C. D.
解：对于，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故 错误.
对于，因为，故，原式仅当 时成立,故 错误.
对于，，由余弦定理,得,原式仅当 时成立,故 错误.
对于，由正弦定理,可得，即，故 正确.
故选.
2. 在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角（ C ）
A. B. C. D.
解：由正弦定理，得.因为,所以,所以 .故选.
3. [2021年全国甲卷]在中，已知 ，，，则（ D ）
A. 1B. C. D. 3
解：设内角,,的对边分别为,,.由余弦定理,得.代入数值,得，解得 或（舍去）.故选.
4. [2023年北京卷]在中，，则（ B ）
A. B. C. D.
解：依题意，由正弦定理，得，即，则.故.又 ，所以.故选.
5. 【多选题】在中，内角,,的对边分别为,,，则下列说法正确的是（ BC ）
A. 若,, ，则符合条件的有两个
B. 若，则是钝角三角形
C. 若，则
D. 若，则为等腰三角形
解：由正弦定理,得，显然角 不存在，故 错误.
因为，所以.所以,.所以 是钝角三角形，故 正确.
因为，所以由正弦定理得，所以，故 正确.
因为，所以 或 ，即 或.所以 为等腰三角形或直角三角形，故 错误.
故选.
6. 若两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东 方向上，灯塔在观察站的南偏东 方向上，则灯塔与灯塔的距离为（ D ）
A. B. C. D.
解：依题意,知 .在 中，由余弦定理，知，即灯塔 与灯塔 的距离为.故选.
7. [2021年全国乙卷]记的内角，，的对边分别为，，，面积为， ,,则 .
解：由题意，,所以，.所以，解得（负值舍去）.故填.
8. [2022年浙江卷]在中，角，，所对的边分别为，，.已知,.
（1） 求的值；
解：由题意，知.因为，所以，即.
（2） 若，求的面积.
[答案]因为，所以，即，解得（负值舍去）.而，,所以 的面积.
【综合运用】
9. 在中，角,,所对的边分别为,,，且,若，则的形状是（ C ）
A. 等腰非等边三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
解：由,得.因为 ，所以.又，由正弦定理,得，所以，故.所以 为等边三角形.故选.
10. 【多选题】在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，.则下列结论正确的是（ ABD ）
A. B. C. D.
解：由，得.因为，所以.由余弦定理，得.因为，所以，解得.所以.由，得 ,.由正弦定理,得.故选.
11. [2021年全国甲卷]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位：），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影,,满足 ， .由点测得点的仰角为 ，与的差为100；由点测得点的仰角为 ，则，两点到水平面的高度差约为（ B ）
A. 346B. 373C. 446D. 473
解：如图，过点 作，过点 作.
则.
由题，易知 为等腰直角三角形，所以.
所以.
因为 ，所以.
在 中，由正弦定理,得
.
而，所以.
所以.故选.
12. [2020年新课标Ⅰ卷Ⅱ卷]在,,这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为,,，且,， ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：（方法一）选条件①.
由 和余弦定理,得.由 及正弦定理,得.于是，由此可得.由，解得，.因此,选条件①时问题中的三角形存在，此时.
选条件②.
由 和余弦定理,得.
由 及正弦定理,得.于是，由此可得，，.由，得，.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时.
选条件③.
由 和余弦定理,得.
由 及正弦定理,得.于是，由此可得.由，与 矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
（方法二）因为,,,所以.
所以.
所以,.所以.
若选①，,因为,所以.所以.
则，.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时.
若选②，,则,，，.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时.
若选③,由 知，，与条件 矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
【拓广探索】
13. 【多选题】如图，为了测量障碍物两侧，之间的距离，一定能根据以下数据确定长度的是（ ACD ）
A. ，， B. ， ，C. ， ， D. ， ，
解：（方法一）根据三角形全等的条件,,可以确定，，正确，它们都可以唯一确定三角形.
（方法二）设.对于，由余弦定理，可知 ，可求得，故 正确.
对于，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故 错误.
对于，由正弦定理，可知，即，故 正确.
对于，同上，由正弦定理，得，故 正确.
故选.