2025高考数学一轮课时作业第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算（附解析）

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1. 给出下列命题,其中正确的是（ B ）
A. 两个具有公共终点的向量一定是共线向量
B. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
C. （ 为实数），则 必为零
D. , 为实数，若，则与共线
解：因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则不共线，命题错误.由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题正确.若（ 为实数），则 也可以为，因此命题错误.若 , 为0，尽管有，则 与 也不一定共线，即命题错误.故选.
2. 向量,,，，如图所示，则（ C ）
A. B. C. D.
解：如图，连接向量,的终点并指向 的终点，于是得.观察图形，得.
故选 .
3. 【多选题】如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ AD ）
A. B.
C. D.
解： ， ，，故 正确.
，故 错误.
，故 错误.
，故 正确.
故选.
4. [2020年新课标Ⅱ卷]在中，是边上的中点，则（ C ）
A. B. C. D.
解：.故选.
5. 已知向量，不共线，，.如果，那么（ D ）
A. 且与同向B. 且与反向
C. 且与同向D. 且与反向
解：因为//，所以存在实数 ，使得.即，所以 解得 此时.所以 与 反向.故选.
6. 在中，，，则的形状是（ D ）
A. 正三角形B. 锐角三角形C. 斜三角形D. 等腰直角三角形
解：以，为邻边作平行四边形.因为，，所以 为直角，该四边形为正方形.所以 ，为等腰直角三角形 故选.
7. 为四边形所在平面上一点，，则为（ B ）
A. 四边形对角线的交点B. 的中点
C. 的中点D. 边上一点
解：因为,，所以，即.故，，故 为 的中点.故选.
8. 如图，在已知中，点在线段上，且，延长到，使.设，.
（1） 用，表示向量,;
解：因为 为 的中点，所以，可得.
而.
（2） 若向量与共线，求的值.
[答案]
由（1），得.
因为 与 共线，所以设，
即.
根据平面向量基本定理，得
解得.
【综合运用】
9. 设，是非零向量，则“存在实数 ,使得”是“”的（ B ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：存在实数 ，使得，说明向量,共线，则,同向或反向；，则,同向.故“存在实数 ，使得”是“”的必要不充分条件.故选.
10. 在中，为边上的动点（不含两端），且满足，则 （ A ）
A. 有最小值4B. 有最大值4C. 有最大值2D. 有最小值2
解：由题意，知,,.
所以，
当且仅当 时取等号.故选.
11. 已知和点满足.若存在实数使得成立，则（ C ）
A. 1B. C. D.
解：由,可得，故.所以，故.另解：由,得 为 的重心,则.故选.
12. 【多选题】如图，在梯形中，，，与相交于点，则下列结论正确的是（ ABC ）
A. B.
C. D.
解:对于,，所以 正确.
对于,正确，所以 正确.
对于,，所以，即，所以，所以 正确.
对于,，故 不正确.故选.
【拓广探索】
13. 设点在的内部,且,则的面积与的面积之比为 （ A ）
A. 3B. C. 2D.
解：如图，取 的中点，在 上取点，使，连接，.
则，所以.
因为，所以，即.
所以.故选.