2025高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【含解析】

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A. 12 B. −12 C. 32 D. −32
2.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a=2 ,c=23 ,A=π6 ，且bA. 3 B. 2 C. 22 D. 3
3.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是114 ，110 ，15 ，则该三角形( )
A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C. 是钝角三角形D. 不存在
4.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin C=45 ，c=4 ,B=π4 ，则△ABC 的面积为( )
A. 1 B. 2 C. 1 或7D. 2 或14
5.（多选）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是( )
A. 若acs A=bsin B ，则A=π4
B. 若sin 2A=sin 2B ，则此三角形为等腰三角形
C. 若a=1 ，b=2 ，A=30∘ ，则此三角形必有两解
D. 若△ABC 是锐角三角形，则sin A+sin B>cs A+cs B
6. 在△ABC 中，sin A:sin B:sin C=3:2:4 ，则cs B 的值为 .
7. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,若A=π3 ，c=4 ,△ABC 的面积为23 ，则△ABC 外接圆的半径为 .
8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a+b)⋅cs C=c(cs A+cs B) ，a=4 ,b=6 ,则c= .
9.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,c=3asin C−ccs A .
（1）求角A ；
（2）若a=7 ,b+c=19 ,求△ABC 的面积S .
[B级综合运用]
10. 在△ABC 中，B=π4 ，BC 边上的高等于13BC ，则cs A= ( )
A. 31010 B. 1010 C. −1010 D. −31010
11.（多选）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cacs B=tan A+tan B ，下列结论中正确的是( )
A. A=π6
B. A=π3
C. 当a=4 时，△ABC 面积的最大值为23
D. 当b−c=3a3 时，△ABC 为直角三角形
12. 赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC 中，若AF=1 ，FD=2 ，则AB= .
13. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,从下列四个条件①a=2c ；②C=π6 ；③cs B=−24 ；④b=7 中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是（填写相应的序号），所选三个条件下的c 的值为 .
14. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,且3a−2csin(B+π3)=0 .
（1）求角C ；
（2）设AC=6 ，BC=4 ，若P 为AB 上一点，且满足AP=CP ，求AP 的长.
[C级素养提升]
15. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ,且a=6 ,4sin B=5sin C ,A=2C ，则△ABC 的周长为，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为 .
16.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足①C=2B ;②bcs A=acs B ;③b2−c2=a2−2ac .
（1）从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
（2）若D 为线段AB 上一点，且∠BCD=12B ，CD=4 ，求△BCD 的面积.
注:若（1）中选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
2025高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【解析版】
[A级基础达标]
1. 在△ABC 中，sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C ，则cs A= ( B )
A. 12 B. −12 C. 32 D. −32
[解析]选B.因为sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C ，
所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc ,
则cs A=b2+c2−a22bc=−12 .故选B.
2.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a=2 ,c=23 ,A=π6 ，且bA. 3 B. 2 C. 22 D. 3
[解析]选B.由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccs A⇒4=b2+12−6b ，即b2−6b+8=0 ，解得b=2 或b=4 ，又b3.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是114 ，110 ，15 ，则该三角形( C )
A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C. 是钝角三角形D. 不存在
[解析]选C.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且a ,b ,c 边上的高分别为114 ,110 ,15 ，
则12a⋅114=12b⋅110=12c⋅15 ，
令a=14 ，则b=10 ，c=5 ,
所以cs A=100+25−1962×10×5<0 ，所以A 为钝角，又b+c>a ，所以该三角形是钝角三角形.故选C.
4.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin C=45 ，c=4 ,B=π4 ，则△ABC 的面积为( C )
A. 1 B. 2 C. 1 或7D. 2 或14
[解析]选C.由csin C=bsin B 可得b=522 ，
因为sin C=45 ，所以cs C=−35 或cs C=35 ，
所以sin A=sin(B+C)=sinπ4cs C+csπ4sin C ，故sin A=210 或sin A=7210 ，
所以S△ABC=12bcsin A=12×4×522×210=1 或S△ABC=12bcsin A=12×4×522×7210=7 .故选C.
5.（多选）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是( AD )
A. 若acs A=bsin B ，则A=π4
B. 若sin 2A=sin 2B ，则此三角形为等腰三角形
C. 若a=1 ，b=2 ，A=30∘ ，则此三角形必有两解
D. 若△ABC 是锐角三角形，则sin A+sin B>cs A+cs B
[解析]选AD.由正弦定理可知asin A=bsin B ，又acs A=bsin B ，
所以acs A=asin A ，可得tan A=1 ，因为A∈(0,π) ，所以A=π4 ，A正确；
因为2A∈(0,2π) ，2B∈(0,2π) ，且内角2A ，2B 最多有一个大于π ，
所以由sin 2A=sin 2B 可知，2A=2B 或2A+2B=π ，即A=B 或A+B=π2 ，
所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，B错误；
由正弦定理可得sin B=bsin Aa=2×121=1 ，
因为B∈(0,π) ，所以B=π2 ，故此三角形有唯一解，C错误；
因为△ABC 是锐角三角形，所以A+B>π2 ，
即π2>A>π2−B>0 ，
又y=sin x 在(0,π2) 上单调递增，
所以sin A>sin(π2−B)=cs B ，同理sin B>
sin(π2−A)=cs A ，所以sin A+sin B>cs A+cs B ，D正确.故选AD.
6. 在△ABC 中，sin A:sin B:sin C=3:2:4 ，则cs B 的值为78 .
[解析]设内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,因为sinA:sin B:sin C=3:2:4 ，所以a:b:c=3:2:4 ，设a=3k ,b=2k ,c=4k ,k>0 ,则cs B=c2+a2−b22ac=16k2+9k2−4k22×3k×4k=2124=78 .
7. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,若A=π3 ，c=4 ,△ABC 的面积为23 ，则△ABC 外接圆的半径为2.
[解析]由S△ABC=12bcsin A ,得12b×4sinπ3=23 ,解得b=2 .
由余弦定理a2=b2+c2−2bccs A ,得a2=22+42−2×2×4csπ3=12 ,
所以a=23 ,由正弦定理，得△ABC 外接圆的半径R=a2sin A=232×32=2 .
8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a+b)⋅cs C=c(cs A+cs B) ，a=4 ,b=6 ,则c= 27 .
[解析]由正弦定理得(sin A+sin B)cs C=sin C(cs A+cs B) ，
所以sin Acs C+sin Bcs C=sin Ccs A+sin Ccs B ，
所以sin Acs C−sin Ccs A=sin Ccs B−sin Bcs C ，即sin(A−C)=sin(C−B) .
又A ，B ，C 是三角形的内角，A−C+C−B=A−B∈(−π,π) ，
所以A−C=C−B ，所以A+B=2C ，
所以C=π3 ，由余弦定理得c2=a2+b2−2abcs C=42+62−2×4×6×12=28 ，所以c=27 .
9.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,c=3asin C−ccs A .
（1）求角A ；
[答案]解：因为c=3asin C−ccs A ,所以sin C=3sin Asin C−sin Ccs A ,
又sin C≠0 ,所以1=3sin A−cs A ,即sin(A−π6)=12 .
又A∈(0,π) ，所以A=π3 .
（2）若a=7 ,b+c=19 ,求△ABC 的面积S .
[答案]因为a=7 ,b+c=19 ,A=π3 ,
所以由a2=b2+c2−2bccs A ,得7=b2+c2−bc ,即7=(b+c)2−3bc ,解得bc=4 .
所以S=12bcsin A=3 .
[B级综合运用]
10. 在△ABC 中，B=π4 ，BC 边上的高等于13BC ，则cs A= ( C )
A. 31010 B. 1010 C. −1010 D. −31010
[解析]选C.设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，由题意可得13a=csinπ4=22c ,则a=322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac=92c2+c2−3c2=52c2 ,则b=102c .由余弦定理，可得cs A=b2+c2−a22bc=52c2+c2−92c22×102c×c=−1010 .故选C.
11.（多选）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cacs B=tan A+tan B ，下列结论中正确的是( BD )
A. A=π6
B. A=π3
C. 当a=4 时，△ABC 面积的最大值为23
D. 当b−c=3a3 时，△ABC 为直角三角形
[解析]选BD.由3cacs B=tan A+tan B 及正弦定理得3sin Csin Acs B=tan A+tan B ,即3sin(A+B)sin Acs B=tan A+tan B⇒3(sin Acs B+cs Asin B)sin Acs B=tan A+tan B ,
即3(tan A+tan B)tan A=tan A+tan B ,因为在三角形中tan A+tan B≠0 ，
所以tan A=3 ,又A∈(0,π) ，所以A=π3 ，故A错误，B正确；
若a=4 ，由b2+c2−a2=bc 得16=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc ，
即bc≤16 ，当且仅当b=c=4 时，等号成立，
所以S△ABC=12bcsin A≤12×16×32=43 ，
即△ABC 面积的最大值为43 ，故C错误；
由b−c=3a3 得b=c+3a3 ，将其代入b2+c2−a2=bc 中得3c2+3ac−2a2=0 ，
所以(3c−a)(3c+2a)=0 ，因为a>0 ，c>0 ,所以3c−a=0⇒a=3c ，
即b=2c ，所以满足b2=a2+c2 ，故△ABC 为直角三角形，故D正确.故选BD.
12. 赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC 中，若AF=1 ，FD=2 ，则AB= 13 .
[解析]由题意△EFD 为等边三角形，则∠EDA=π3 ，所以∠BDA=2π3 ，根据条件△AFC 与△BDA 全等，所以AF=BD=1 .在△ABD 中，AD=3 ，BD=1 ，所以AB2=AD2+BD2−2×AD×BD×cs∠BDA=32+12−2×1×3×(−12)=13 ，所以AB=13 .
13. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,从下列四个条件①a=2c ；②C=π6 ；③cs B=−24 ；④b=7 中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是①③④（填写相应的序号），所选三个条件下的c 的值为72 （或②③④ 2 ）.
[解析]选①②④或①②③，由a=2c 及正弦定理，得sin A=2sin C=2×12=22 ,所以A=π4 或A=3π4 ，不满足题意；选①③④，由余弦定理，得cs B=a2+c2−b22ac=(2c)2+c2−72×2c×c=−24 ,解得c=72 ,此时△ABC 存在且唯一；选②③④，由C=π6 ，cs B=−24 ，得此时△ABC 存在且唯一，sin B=1−cs2B=144 ,由正弦定理bsin B=csin C ,得c=bsin Csin B=7×12144=2 .
14. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,且3a−2csin(B+π3)=0 .
（1）求角C ；
[答案]解：因为3a−2csin(B+π3)=0 ,
所以由正弦定理可得sin C(12sin B+32cs B)=32sin A ,即sin C(12sin B+32cs B)=32sin(B+C)=32sin Bcs C+32cs Bsin C ,可得sin Bsin C=3sin Bcs C ，因为B∈(0,π) ，所以sin B>0 ,
所以sin C=3cs C ,即tan C=3 ,
又因为C∈(0,π) ,所以C=π3 .
（2）设AC=6 ，BC=4 ，若P 为AB 上一点，且满足AP=CP ，求AP 的长.
[答案]因为AC=6 ，BC=4 ，所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cs∠ACB ，即AB2=62+42−2×6×4×12=28 ,
解得AB=27 （负值舍去），所以cs A=(27)2+62−422×27×6=277 .
设AP=x ,则cs A=62+x2−x22×6×x=277 ,解得x=372 ,
故AP 的长为372 .
[C级素养提升]
15. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ,且a=6 ,4sin B=5sin C ,A=2C ，则△ABC 的周长为15 ，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为7 .
[解析]由4sin B=5sin C ,得4sin(A+C)=5sin C ,即4(sin Acs C+cs Asin C)=5sin C .又A=2C ，所以4(sin 2Ccs C+cs 2Csin C)=5sin C ，即4[2sin Ccs2C+(2cs2C−1)sin C]=5sin C .因为A=2C ，所以0设△ABC 内切圆的半径为r ,则有12absin C=12(a+b+c)⋅r ,即12×6×5×74=12×(6+5+4)r ,解得r=72 ,所以S△AOB=12cr=7 .
16.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足①C=2B ;②bcs A=acs B ;③b2−c2=a2−2ac .
（1）从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
[答案]解：①③⇒ ②.
由③及余弦定理的推论，得cs B=a2+c2−b22ac=22 ,
因为B∈(0,π) ，所以B=π4 .
由①C=2B ，可得C=π2 ，
所以A=π4=B ，则有a=b ,
所以bcs A=acs B ,故②成立.
①②⇒ ③.
由②及正弦定理，得sin Bcs A=sin Acs B ,
所以sin(A−B)=0 ,
因为A ，B∈(0,π) ，所以A−B=0 ，即A=B .
由①C=2B 及A+B+C=π ，得C=π2 ，A=B=π4 .
由余弦定理，得a2+c2−b2=2accs B=2ac ,即b2−c2=a2−2ac ,故③成立.
②③⇒ ①.
由③及余弦定理的推论，得cs B=a2+c2−b22ac=22 ,
因为B∈(0,π) ，所以B=π4 .
由②及正弦定理，得sin Bcs A=sin Acs B ，
所以sin(A−B)=0 ,
又A ，B∈(0,π) ，所以A−B=0 ，即A=B=π4 ，
所以C=π2=2B ，故①成立.
（2）若D 为线段AB 上一点，且∠BCD=12B ，CD=4 ，求△BCD 的面积.
注:若（1）中选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
[答案]由（1）可知，B=π4 ，所以∠BCD=12B=π8 ，则∠BDC=5π8 .
所以S△BCD=12BC⋅CDsin∠BCD=2BCsinπ8=2CDsin∠BDCsin B⋅sinπ8=82sinπ8sin5π8=82sinπ8⋅csπ8=42sinπ4=4 .