2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【含解析】，共9页。
1.(5分)在△ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C ,则cs A= ( )
A.12B. -12 C. 32D. - 32
2.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cs A=23,则b=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cs B=74,则A=( )
A.π6B.π3
C.5π6D.π6或5π6
4.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cs (π2+B),则C=( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
5.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且bcs C=asin B,则△ABC是( )
A.等腰直角三角形B.等边三角形
C.等腰三角形D.直角三角形
6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是( )
A.cs B=2c3aB.tan A=2tan B
C.tan B=-12D.B=45°
7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a= .
8.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为 .
9.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为 .
10.(10分)已知△ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c= 3asin C-ccs A.
(1)求角A;
(2)若a= 7,b+c= 19,求△ABC的面积S.
11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cs2(π2+A)+cs A=54.
(1)求A;
(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.
【能力提升练】
12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cs C=-45中,所有可以选择的条件的序号为( )
A.①B.①②
C.②③D.①②③
13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是( )
A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2
C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'
D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍
14.(10分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3.
(1)若a=22,求角A;
(2)求△ABC面积的最大值.
2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理 【解析版】(时间:45分钟 分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)在△ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C ,则cs A= ( )
A.12B. -12 C. 32D. - 32
【解析】选B.因为sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C ,
所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc ,则cs A=b2+c2-a22bc=-12 .
2.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cs A=23,则b=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.由余弦定理可得,
a2=b2+c2-2bccs A=b2+9-4b=5,
即b2-4b+4=0,解得b=2.
3.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cs B=74,则A=( )
A.π6B.π3
C.5π6D.π6或5π6
【解析】选A.因为a=2,b=3,cs B=74,
所以sin B=1-cs2B=34,
因为由正弦定理可得asinA=bsinB,
所以sin A=a·sinBb=2×343=12,
又b>a,可得A为锐角,所以A=π6.
4.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cs (π2+B),则C=( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
【解析】选C.在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cs(π2+B),
则(a-c)(sin A+sin C)=-(a+b)sin B,
由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2=-ab,
则cs C=a2+b2-c22ab=-12,由于C∈(0,π),故C=2π3.
5.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且bcs C=asin B,则△ABC是( )
A.等腰直角三角形B.等边三角形
C.等腰三角形D.直角三角形
【解析】选A.因为a2-b2=c2-2bc,即b2+c2-a2=2bc,
所以cs A=b2+c2-a22bc=2bc2bc=22,
又A∈(0,π),所以A=π4,
因为bcs C=asin B,利用正弦定理可得sin Bcs C=sin Asin B,
由sin B≠0,可得cs C=sin A=22,
又C∈(0,π),所以C=π4,B=π-A-C=π2,
则△ABC是等腰直角三角形.
6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是( )
A.cs B=2c3aB.tan A=2tan B
C.tan B=-12D.B=45°
【解析】选ABD.因为c2=3(a2-b2),所以b2=a2-c23,
所以cs B=a2+c2-b22ac=a2+c2-(a2-c23)2ac=2c3a,故A正确;
由cs B=2c3a可得3acs B=2c,
所以3sin Acs B=2sin(A+B),3sin Acs B
=2sin Acs B+2cs Asin B,sin Acs B=2cs Asin B,
所以tan A=2tan B,故B正确;
因为tan C=3,所以tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=2tanB+tanB1-2tan2B=3tanB1-2tan2B=-3,
得tan B=-12或tan B=1.
因为cs B=2c3a>0,所以B为锐角,tan B=1,B=45°,故C错误,D正确.
7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a= .
【解析】因为A=2B,所以sin A=sin 2B,故sin A=2sin Bcs B,
由正弦定理得a=2bcs B,
又由余弦定理得a=2b·a2+c2-b22ac,
代入b=2,c=3,可得a2=10,故a=10.
答案:10
8.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为 .
【解析】在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,
利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cs A,整理得BC=7,所以BCsinA=2R,解得R=213.
答案:213
9.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为 .
【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,
因为b=3,a-c=2,A=2π3,
所以(c+2)2=32+c2-2×3c×(-12),解得c=5,
则△ABC的面积为S=12bcsin A=12×3×5×32=1534.
答案:1534
10.(10分)已知△ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c= 3asin C-ccs A.
(1)求角A;
(2)若a= 7,b+c= 19,求△ABC的面积S.
【解析】(1)因为c= 3asin C-ccs A,
所以sin C= 3sin Asin C-sin Ccs A,
又sin C≠0,所以1= 3sin A-cs A,
即sin(A-π6)=12.
又A∈(0,π),所以A=π3.
(2)因为a= 7,b+c= 19,A=π3,
所以由a2=b2+c2-2bccs A,得7=b2+c2-bc,即7=(b+c)2-3bc,解得bc=4.
所以S=12bcsin A= 3.
11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cs2(π2+A)+cs A=54.
(1)求A;
(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.
【解析】(1)因为cs2(π2+A)+cs A=54,所以sin2A+cs A=54,
即1-cs2A+cs A=54,解得cs A=12.
又045°+135°=180°,即△ABC不存在,
即可以选择的条件的序号为①②.
13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是( )
A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2
C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'
D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍
【解析】选ABD.由图可知AA'=BB',所以BB'