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2021版新高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理课件新人教B版202011231181
展开这是一份2021版新高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理课件新人教B版202011231181，共52页。PPT课件主要包含了内容索引，易错点索引，解题导思等内容，欢迎下载使用。
必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评
【教材·知识梳理】1.正弦定理与余弦定理
2.三角形的面积公式S△ABC= aha= bhb= chc=__________=__________=______________.
【常用结论】三角形中的必备结论(1)a>b⇔A>B(大边对大角).(2)A+B+C=π(三角形内角和定理).(3)sin(A+B)=sin C，cs(A+B)=-cs C，
(4)射影定理：bcs C+ccs B=a，bcs A+acs B=c，acs C+ccs A=b.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.( )(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.( )(3)在△ABC中,sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.( )提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2)是正确的,所以(1)√,(2)√,(3)×.
【教材·基础自测】1.(必修5P7例2改编 )在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=( ) 【解析】选C.在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cs∠BAC=由A∈(0,π),得A= ,即∠BAC= .
2.(必修5 P6练习BT3改编 )在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c
3.(必修5P5练习AT1(1)改编 )已知在△ABC中,A= B= a=1,则b等于( )A.2 B.1 C. D. 【解析】选D.由正弦定理
考点一 正弦定理 【题组练透】1.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对边的边长.若cs C+sin C- =0,则 的值是( )A. -1 B. +1C. +1 D.2
2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则 的取值范围是( )3.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acs B=0,则B=________.世纪金榜导学号
【解析】1.选B.在△ABC中,由cs C+sin C- =0,由两角和的正弦公式得 =2,所以 解得C=B= ,所以A= .由正弦定理得 2.选D.因为B=2A,所以sin B=sin 2A=2sin Acs A,由正弦定理得b=2acs A,所以 因为△ABC是锐角三角形,
所以 解得 所以
【变式训练】1.(2020·武汉模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,b= ,A=30°,若B为锐角,则A∶B∶C=( )A.1∶1∶3 B.1∶2∶3 C.1∶3∶2 D.1∶4∶1【解析】选B.因为a=1,b= ,A=30°,B为锐角,所以由正弦定理得sin B= ,则B=60°,所以C=90°,则A∶B∶C=1∶2∶3.
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2ccs A, sin A=1,则sin C的值为( ) 【解析】选B.因为 sin A=1,即sin A= ,又a=2ccs A,cs A= >0,所以cs A= .由条件及正弦定理得sin A=2sin Ccs A,即 =2× sin C,所以sin C= .
考点二 余弦定理 【典例】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c= b,sin B= sin C.(1)求cs A的值.(2)求 的值.
【解析】(1)在△ABC中,由 及sin B= sin C,可得b= c,又由a-c= b,得a=2c,所以cs A= (2)在△ABC中,由cs A= ,可得sin A= .于是,cs 2A=2cs2A-1=- ,sin 2A=2sin A·cs A= .所以cs =cs 2A cs +sin 2Asin
【规律方法】用正、余弦定理求解三角形基本量的方法第一步:选定理.两角两边用正弦定理,三边一角用余弦定理.第二步:求解.将已知代入定理求解.
【变式训练】1.(2019·长沙模拟)已知在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD,BD= AD,BC=2AD,则sin C的值为( )【解析】选A.设AB=AD=2a,则BD= a,则BC=4a,所以cs∠ADB= 所以cs∠BDC= 整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=-5a(舍去).所以cs C= 而C∈ ,所以sin C= .
2.(2020·晋城模拟)如图,在锐角三角形ABC中,sin∠BAC= ,sin∠ABC= ,BC=6,点D在边BC上,且BD=2DC,点E在边AC上,且BE⊥AC,BE交AD于点F.(1)求AC的长.(2)求cs∠DAC及AF的长.
【解析】(1)在锐角三角形ABC中,sin∠BAC= ,sin∠ABC= ,BC=6,由正弦定理得 所以 (2)由sin∠BAC= ,sin∠ABC= ,得cs∠BAC= ,cs∠ABC= ,所以cs C=-cs (∠BAC+∠ABC)=-cs∠BACcs ∠ABC+sin∠BACsin∠ABC
因为BE⊥AC,所以CE=BCcs C=6× AE=AC-CE= .在△ACD中,AC=5,CD= BC=2,cs C= ,由余弦定理得AD= 所以cs∠DAC= 由BE⊥AC,得AFcs∠DAC=AE,所以AF=
考点三 正、余弦定理的综合应用
【命题角度1】 判断三角形个数、形状【典例】1.在△ABC中,已知a=2,b= ,A=45°,则满足条件的三角形有( )A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 则△ABC的形状是( )世纪金榜导学号A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【解析】1.选B.因为bsin A= 所以bsin A
【解后反思】1.三角形解的个数如何判断?提示:(1)已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.(3)数形结合,作图,与相应的直角三角形比较.
2.三角形形状如何判定?提示:(1)角化边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.(2)边化角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.
【命题角度2】面积问题【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B= ,则△ABC的面积为________. 【解析】因为cs B= ,又因为b=6,a=2c,B= ,可得c2=12,解得c=2 ,a=4 ,则△ABC的面积S= 答案:
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且 acs C=(2b- c)cs A.(1)求角A的大小.(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理可得: sin Acs C=2sin Bcs A- sin Ccs A,从而可得: sin(A+C)=2sin Bcs A,即 sin B=2sin Bcs A,又B为三角形的内角,所以sin B≠0,于是cs A= ,又A为三角形的内角,所以A= .
(2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccs A得4=b2+c2-2bc· ≥2bc- bc,当且仅当b=c时取等号,所以bc≤4(2+ ),所以S= bcsin A≤2+ .所以△ABC面积的最大值为2+ .
【解后反思】与三角形面积有关的问题如何求解?提示:
【命题角度3】 解三角形与三角恒等变换交汇问题【典例】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cs C)=0,a=2,c= ,则C=世纪金榜导学号( ) 【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sin A(sin C-cs C)=0,sin Acs C+cs Asin C+sin Asin C-sin Acs C=0,即sin C(sin A+cs A)= =0,所以A= .由正弦定理 得 即sin C= ,得C= .
【解后反思】三角形与三角恒等变换交汇问题如何求解?提示:
【题组通关】 【变式巩固·练】1.在△ABC中,cs2 (a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D.钝角三角形【解析】选A.已知等式变形得cs B+1= +1,即cs B= .由余弦定理得cs B= ,代入得 整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.
2.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是( ) 【解析】选C.由正弦定理及sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C得a2≤b2+c2-bc,即b2+c2-a2≥bc,由余弦定理得cs A= 又0
【综合创新·练】1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin C-cs C=1-cs ,若△ABC的面积S= (a+b)sin C= ,则△ABC的周长为( )A.2 +5 B. +5C.2 +3 D. +3
【解析】选D.由sin C-cs C=1-cs ⇒2sin cs - =1-cs ⇒ =0,因为cs ≠0,所以sin -cs =- ,两边平方得sin C= ,由sin -cs =- 得sin
【解析】设∠ABC=α,∠ACB=β,在△ABC中,由余弦定理得AC2=4-2 cs α.由正弦定理得 ,所以sin β= 又CD= AC,在△BCD中,由余弦定理得BD2=3+3(4-2 cs α)- 即BD2=15-6 cs α+6sin α=15+12sin .当α= 时,BD取得最大值3 .答案:3
核心素养 数学运算——正余弦定理结合三角变换 【素养诠释】数学运算是在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.
【典例】 (2019·西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac= (a2-b2-c2).(1)求cs A的值.(2)求sin (2B-A)的值.
【素养立意】与三角恒等变换相结合,考查正弦定理、余弦定理.【解析】(1)由asin A=4bsin B及 得a=2b.由ac= (a2-b2-c2),及余弦定理得cs A=
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