2025高考数学一轮考点突破训练第四章三角函数与解三角形4.6正弦定理余弦定理

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第四章三角函数与解三角形4.6正弦定理余弦定理，共8页。试卷主要包含了利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，利用正、余弦定理解决实际问题，与三角形面积有关的问题等内容，欢迎下载使用。

例1
（1） 【多选题】的内角,,的对边分别为,,，则下列命题正确的是（ ACD ）
A.
B. 若，则
C. 若，，则是等边三角形
D. “”是“”的充要条件
解：对于，由正弦定理知正确.
对于，若 且,，易得,,，则,.由正弦定理,得，即，有，错误.
对于，若，则由正弦定理，得 又，所以，化简得.因为,，所以，即.故，所以 是等边三角形，正确.
对于，由 及正弦定理，得.再由大边对大角，得，必要性成立.由大角对大边及正弦定理，得充分性成立，正确.
故选.
（2） [2020年全国Ⅲ卷]在中，，，，则（ A ）
A. B. C. D.
解：依题意，由余弦定理，得 ，即，所以.故选.
【点拨】①在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角时，首先必须判断是否有解（例如在中，已知，， ，则，问题就无解），如果有解，是一解，还是两解．②正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角（三角函数）的关系转化为边的关系．③在三角形形状的判断中注意应用“大边对大角”．④正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．⑤条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现齐次式，一般要考虑正弦定理．
变式1
（1） [2023年全国乙卷]在中,内角,,的对边分别是,,,若,且,则（ C ）
A. B. C. D.
解：（方法一）由正弦定理及，得,即.因为,所以 ,则,所以.
（方法二）由题意结合正弦定理，可得,即,整理可得.
由于,故,可得,则,.故选.
（2） 在中，若，，则（ C ）
A. B. C. D.
解：由 和正弦定理，可得.又，由余弦定理，可得.故选．
例2 [2023年天津卷]在中，内角,,所对的边分别是,,．已知,, ．
（1） 求的值；
解：由正弦定理，可得.解得.
（2） 求的值；
[答案]由余弦定理，可得.解得 或（舍去）．
（3） 求．
[答案]
由正弦定理，可得，解得.因为 ，所以,都为锐角.因此，.
故．
【点拨】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，根据三角形内角 的隐含条件，结合诱导公式及正、余弦定理，将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角函数与几何产生联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆与内切圆半径和面积等）提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.其主要方法有：化角法、化边法、面积法、运用初等几何法等.
变式2 [2022年全国乙卷]记的内角,,的对边分别为,,，已知.
（1） 证明：.
解：证明：因为，所以.
所以.
所以,即,所以.
（2） 若,，求的周长.
[答案]
因为,所以由（1）得.
由余弦定理，得，
则，所以.
故，
所以.所以 的周长为.
考点二 判断三角形的形状
例3 对于，有如下命题：
①若，则为等腰三角形；
②若，则为直角三角形；
③若，则为钝角三角形.
其中所有正确命题的序号是③.
解：对于①，因为，所以 或 ，.因为,,，所以 或.故 为等腰三角形或直角三角形，故①错误.对于②，因为，所以.所以 或 ，.因为,,，故 或，故 可为钝角三角形，故②错误.对于③,因为,由正弦定理，得.由余弦定理,有，故 为钝角.所以 为钝角三角形，故③正确.故填③.
【点拨】在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系（注意应用 这个结论）或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形（如因式分解、配方等）求解.注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状.
变式3 在中，已知，且，则的形状是（ C ）
A. 等腰非直角三角形B. 直角非等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
解：由 及正弦定理，得，故 为直角三角形.
又，所以，即.由于,为三角形的内角，故有.所以 为等腰三角形.综上,为等腰直角三角形.故选.
考点三 利用正、余弦定理解决实际问题
例4 一艘故障渔船在点处正以的速度向正西方向行驶，救援船从位于点北偏西 方向相距的点出发，需在内（含）接应到故障船，则救援船的速度最小应为 （ A ）
A. B. C. D.
解：设救援船的速度最小为，则 后两船相遇，作图如图所示.有，，， .在 中，由余弦定理，得，即.又，所以故选.
【点拨】此类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理.在解题时，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．此类题有两处易错点：①图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错；②对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错．
变式4 某数学兴趣小组在探测某建筑物高度的实践活动中，选取与该建筑物底端在同一水平面的，两处作为观测点，测得， ， ，在处测得该建筑物顶端的仰角为 ，则他们测得该建筑物的高度约为（精确到，，）（ C ）
A. B. C. D.
解：在 中， .
因为，
所以.
在 中， , ，则 为等腰直角三角形，所以.故选.
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 [2023年全国甲卷]记的内角,,的对边分别为,,，已知．
（1） 求；
解：因为，
所以，解得．
（2） 若，求的面积．
[答案]
由正弦定理,可得
，
即，
即.
因为，所以.
又 ，所以.
故 的面积为．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
变式5 [2022年新课标Ⅱ卷]记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为,,，已知,.
（1） 求的面积；
解：由题意，得,,，则，即.由余弦定理，得，整理得，则.又，则，.则.
（2） 若，求.
[答案]由正弦定理，得，则，.