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数学八年级上册第三章 勾股定理3.1 勾股定理同步达标检测题
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这是一份数学八年级上册第三章 勾股定理3.1 勾股定理同步达标检测题，文件包含第01讲勾股定理知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第01讲勾股定理知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法；
会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系；
3.能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。
知识点 1 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
理解勾股定理的一些变式：
，， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为的线段
知识点2 勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
【题型1已知直角的两边长，求第三边长】
【典例1】（2022八下·灌阳期末）在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解答】解：在直角三角形中，若勾为6，股为8，
则弦为62+82=10.
故答案为：D.
【变式1-1】（2022八下·福州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，b＝8，则c的值是（ ）
A．10B．2 34C．2 7D．4.8
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，
由勾股定理得：c＝ a2+b2=62+82 ＝10.
故答案为：A.
【变式1-2】（2022八下·兴仁月考）在一个直角三角形中，斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，则另一条直角边的长为（ ）
A．234B．12C．9D．8
【答案】D
【解答】解：在直角三角形中，
∵斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，
∴另一条直角边的长为：102−62=8.
故答案为：D.
【变式1-3】（2022秋•雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（ ）
A．13B．119C．169D．119或169
【答案】D
【解答】解：当m为直角边时，m2＝122﹣52＝119；
当m为斜边时，m2＝52+122＝169．
故选：D．
【题型2 直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】
【典例2】（2022秋•南关区校级期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（ ）
A．7B．5C．25D．1
【答案】A
【解答】解：∵正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，
∴正方形C的面积＝3+4＝7．
故选：A．
【变式2-1】（2022秋•浑南区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3的值为（ ）
A．13B．17C．7D．169
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
则AC2+BC2＝AB2，
∴S1+S2＝S3，
∵S1＝5，S2＝12，
∴S3＝5+12＝17．
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•兴庆区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（ ）
A．18B．48C．65D．72
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝AC2﹣BC2＝82﹣42＝48，
∴正方形ABDE的面积为48，
故选：B．
【变式2-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
【答案】256
【解答】解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
S正方形2+S正方形3＝S正方形1，
S正方形C+S正方形D＝S正方形3，
S正方形A+S正方形B＝S正方形2，
∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝162＝256（cm2）．
故答案为：256．
【题型3 等面积法求直角三角形斜边上的高】
【典例3】（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，
解得，CD＝，
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•杭州期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6B．8C．13D．
【答案】D
【解答】解：根据勾股定理可得：斜边长2＝52+122，
则斜边长＝13，
直角三角形面积S＝×5×12＝×13×斜边的高，
解得：斜边的高＝；
故选：D．
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）AD的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝＝＝25，
∵CD⊥AB，
∴S，
∴CD＝＝12；
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，
BD＝＝＝9，
AD＝25﹣9＝16．
【题型4 作无理数的线段】
【典例4】（2022八上·兴平期中）如图，△ABC是直角三角形，点C在数轴上对应的数为−2，目AC=3，AB=1，若以点C为圆心，CB为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（ ）
A．0.4B．10−2C．10−3D．5−1
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB=1，AC=3，OA=1
∴BC=CM=12+32=10，
∵AC=1-（-2）=3，
∴A，M之间的距离为10−3.
故答案为：C
【变式4-1】（2022八上·历城期中）如图，点A表示的数为x，则x=（ ）
A．2−1B．-1C．1−2D．−2
【答案】D
【解答】解：根据题意得，如图所示，
∵Rt△BCD是等腰直角三角形，且BC=BD=1，
∴CD=BC2+BD2=12+12=2，
又∵弧AD是以CD长为半径的圆的一部分，
∴CA=CD=2，
∵是在数轴上原点的坐标，
∴点A表示的数是−2，即x=−2，
故答案为：D．
【变式4-2】（2022八上·薛城期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ）
A．13B．3C．5−2D．2−3
【答案】D
【解答】解：如图所示：
∵AD=AB=2，
∴DE=22−12=3，
∴CD=2−3；
故答案为：D．
【变式4-3】（2022八上·埇桥期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（ ）
A．−5B．﹣1−5C．1−5D．﹣1+5
【答案】B
【解答】解：∵BD=22+12=5，
∴BA=5，
∴a＝﹣1−5，
故答案为：B．
【题型5 勾股定理的证明】
【典例5】勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．
【解答】证明：方法一：由（1）图可知：S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，
又∵S正方形ABCD＝，
∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，
方法二：由（2）图可知：S正方形ABCD＝c2，
又∵S正方形ABCD＝＝2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，
方法三：由（3）图可知：S梯形ABCD＝＝+ab，
又∵s梯形ABCD＝，
∴，
∴a2+b2＝c2．
【变式5-1】（2022八上·历城期中）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，若AE=5，AB=13，则中间小正方形EFGH的面积是 ．
【答案】49
【解答】解：根据题意得，在Rt△ABF中，AE=5，AB=13，且AE=BF=CG=DH=5，
∴AF=AB2−BF2=132−52=12，
又∵EF=FG=GH=GE=AF−AE，
∴EF=12−5=7，即小正方形EFGH的边长是7，
∴小正方形EFGH的面积为7×7=49，
故答案是：49．
【变式5-2】（2021秋•东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【解答】证明：∵两个全等的直角三角形如图摆放，
∴∠EBA＝∠CED，
∵∠EBA+∠BEA＝90°，
∴∠BEA+∠CED＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BCE是直角三角形，
用两种方法求梯形的面积：
S梯形ABCD＝2×ab+c2，
S梯形ABCD＝（a+b）2，
∴2×ab+c2＝（a+b）2，
化简得a2+b2＝c2．
1．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（ ）
A．120mB．60mC．60mD．120m
【答案】B
【解答】解：如图，
∵底部是边长为120m的正方形，
∴BC＝×120＝60m，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝120m，
∴AC＝＝m．
故选：B
2．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ ．
【答案】3
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，
即×6•CD+×10•CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案为：3．
3．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝ ．
【答案】1
【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，
又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，
∴1＝AC×PF+AB×PE，
即1＝×2×PF+×2×PE，
∴PE+PF＝1，
故答案为：1．
4．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝ ．
【答案】3
【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，
根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，
则AE＝x﹣1，
在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，
∴（x﹣1）2+x2＝52，
解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），
∴x﹣1＝3，
故答案为：3．
5．（2022•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ ；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．
【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；
（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案为：，；
（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，
故答案为：．
1．（2023春•临澧县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则BC＝（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解答】解：根据含30°角的直角三角形的性质可知：，
故选：A．
2．（2023春•罗定市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝5，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．25B．30C．35D．40
【答案】A
【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2＝25，
则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和＝AC2+BC2＝25，
故选：A．
3．（2023春•花垣县期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，那么AB边上的高CD为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵S△ABC＝＝，
∴＝，
解得CD＝，
故选：B．
4．（2023春•肇源县月考）在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，那么△ABC的周长为（ ）
A．32或33B．42或33C．32或42D．33或31
【答案】C
【解答】解：∵AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，
∴AD＝＝＝9，
BD＝＝＝5，
如图1，CD在△ABC内部时，AB＝AD+BD＝9+5＝14，
此时，△ABC的周长＝14+13+15＝42，
如图2，CD在△ABC外部时，AB＝AD﹣BD＝9﹣5＝4，
此时，△ABC的周长＝4+13+15＝32，
综上所述，△ABC的周长为32或42．
故选：C．
5．（2023春•茶陵县期中）在Rt△ABC，两条直角边长分别为6和8，则斜边长为（ ）
A．6B．7C．10D．5
【答案】C
【解答】解：根据勾股定理可知：斜边＝，
故选：C．
6．（2023春•中山市期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【解答】解：设大正方形的边长为c，则c2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4，
∵a2+b2＝c2＝20，（a﹣b）2＝4，
∴a2+b2﹣2ab＝4，即20﹣2ab＝4．
∴ab＝8．
故选：C．
7．（2023春•渝北区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，
∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
8．（2023春•东阿县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝6，BC＝3时，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．9πD．9
【答案】D
【解答】解：根据勾股定理可得，
∴S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB
＝
＝
＝
＝9．
故选：D．
9．（2023春•大同期中）毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是（ ）
A．8B．C．D．5
【答案】C
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝22+32＝13；
y2＝12+22＝5；
z2＝x2+y2＝18；
即最大正方形E的面积为：z2＝18，
∴最大正方形E的边长为．
故选：C．
10．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A、B、C、D，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的线段长度为的是（ ）
A．线段ABB．线段BCC．线段CDD．线段AD
【答案】B
【解答】解：由图可得，
AB＝＝，
BC＝＝，
CD＝＝，
AD＝＝，
故选：B．
11．（2023春•和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．8B．16C．18D．20
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC＝AC2＝20．
故选：D．
二．解答题（共5小题）
12．（2023春•昆明期中）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四边形ABCD的面积．
【答案】+24．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6，
由勾股定理得：BC＝＝＝3，
∵AC2+CD2＝62+82＝100，AD2＝102＝100，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝×3×3+×6×8
＝+24．
13．（2023春•新城区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，根据图中所标数据求阴影部分（长方形）的面积．
【答案】5cm2．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴．
∴阴影部分的面积为5×1＝5cm2．
14．（2023春•临朐县期中）阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．
（1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为 （a+b）2 ，正方形PQMN的面积可表示为 （a﹣b）2 ．（用含a，b的式子表示）
（2）请结合图2用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系．
（3）已知a+b＝5，ab＝4，求正方形EFGH的面积．
【答案】（1）（a+b）2，（a﹣b）2；（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）17．
【解答】解：（1）正方形ABCD的面积可表示为（a+b）2，正方形PQMN的面积可表示为（a﹣b）2．
故答案为：（a+b）2，（a﹣b）2．
（2）∵正方形ABCD的面积＝正方形MNPQ的面积+直角三角形的面积×8，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+ab×8，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣直角三角形的面积×4，
∴正方形EFGH的面积＝（a+b）2﹣ab×4＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
15．（2023春•安丘市期中）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点（网格线的交点）上，求点A到边BC的距离．
【答案】．
【解答】解：由图可得，
BC＝＝2，AB＝4，点C到AB的距离为4，
设点A到边BC的距离为h，
则，
即＝，
解得h＝，
即点A到边BC的距离是．
16．（2023春•涡阳县期中）（1）如图，作直角边为1的等腰Rt△OA1A2，则其面积S1＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt△OA2A3，则其面积S2＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt△OA3A4，则其面积S3＝，……则 S4＝ 1 ；
（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示Sn，并求 +++...+的值．
【答案】（1）1；
（2）Sn＝（n是正整数），．
【解答】解：（1）∵S1＝，S2＝，S3＝，
∴S4＝＝1，
故答案为：1．
（2）由（1）知Sn＝（n是正整数），
+++…+
＝+++…+
掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法；
会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系；
3.能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。
知识点 1 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
理解勾股定理的一些变式：
，， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为的线段
知识点2 勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
【题型1已知直角的两边长，求第三边长】
【典例1】（2022八下·灌阳期末）在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解答】解：在直角三角形中，若勾为6，股为8，
则弦为62+82=10.
故答案为：D.
【变式1-1】（2022八下·福州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，b＝8，则c的值是（ ）
A．10B．2 34C．2 7D．4.8
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，
由勾股定理得：c＝ a2+b2=62+82 ＝10.
故答案为：A.
【变式1-2】（2022八下·兴仁月考）在一个直角三角形中，斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，则另一条直角边的长为（ ）
A．234B．12C．9D．8
【答案】D
【解答】解：在直角三角形中，
∵斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，
∴另一条直角边的长为：102−62=8.
故答案为：D.
【变式1-3】（2022秋•雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（ ）
A．13B．119C．169D．119或169
【答案】D
【解答】解：当m为直角边时，m2＝122﹣52＝119；
当m为斜边时，m2＝52+122＝169．
故选：D．
【题型2 直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】
【典例2】（2022秋•南关区校级期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（ ）
A．7B．5C．25D．1
【答案】A
【解答】解：∵正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，
∴正方形C的面积＝3+4＝7．
故选：A．
【变式2-1】（2022秋•浑南区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3的值为（ ）
A．13B．17C．7D．169
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
则AC2+BC2＝AB2，
∴S1+S2＝S3，
∵S1＝5，S2＝12，
∴S3＝5+12＝17．
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•兴庆区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（ ）
A．18B．48C．65D．72
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝AC2﹣BC2＝82﹣42＝48，
∴正方形ABDE的面积为48，
故选：B．
【变式2-3】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为16cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
【答案】256
【解答】解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
S正方形2+S正方形3＝S正方形1，
S正方形C+S正方形D＝S正方形3，
S正方形A+S正方形B＝S正方形2，
∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1＝162＝256（cm2）．
故答案为：256．
【题型3 等面积法求直角三角形斜边上的高】
【典例3】（2020秋•南关区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，
解得，CD＝，
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•杭州期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6B．8C．13D．
【答案】D
【解答】解：根据勾股定理可得：斜边长2＝52+122，
则斜边长＝13，
直角三角形面积S＝×5×12＝×13×斜边的高，
解得：斜边的高＝；
故选：D．
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）AD的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝＝＝25，
∵CD⊥AB，
∴S，
∴CD＝＝12；
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，
BD＝＝＝9，
AD＝25﹣9＝16．
【题型4 作无理数的线段】
【典例4】（2022八上·兴平期中）如图，△ABC是直角三角形，点C在数轴上对应的数为−2，目AC=3，AB=1，若以点C为圆心，CB为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（ ）
A．0.4B．10−2C．10−3D．5−1
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB=1，AC=3，OA=1
∴BC=CM=12+32=10，
∵AC=1-（-2）=3，
∴A，M之间的距离为10−3.
故答案为：C
【变式4-1】（2022八上·历城期中）如图，点A表示的数为x，则x=（ ）
A．2−1B．-1C．1−2D．−2
【答案】D
【解答】解：根据题意得，如图所示，
∵Rt△BCD是等腰直角三角形，且BC=BD=1，
∴CD=BC2+BD2=12+12=2，
又∵弧AD是以CD长为半径的圆的一部分，
∴CA=CD=2，
∵是在数轴上原点的坐标，
∴点A表示的数是−2，即x=−2，
故答案为：D．
【变式4-2】（2022八上·薛城期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（ ）
A．13B．3C．5−2D．2−3
【答案】D
【解答】解：如图所示：
∵AD=AB=2，
∴DE=22−12=3，
∴CD=2−3；
故答案为：D．
【变式4-3】（2022八上·埇桥期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，CD＝1，则a的值为（ ）
A．−5B．﹣1−5C．1−5D．﹣1+5
【答案】B
【解答】解：∵BD=22+12=5，
∴BA=5，
∴a＝﹣1−5，
故答案为：B．
【题型5 勾股定理的证明】
【典例5】勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．
【解答】证明：方法一：由（1）图可知：S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，
又∵S正方形ABCD＝，
∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，
方法二：由（2）图可知：S正方形ABCD＝c2，
又∵S正方形ABCD＝＝2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，
方法三：由（3）图可知：S梯形ABCD＝＝+ab，
又∵s梯形ABCD＝，
∴，
∴a2+b2＝c2．
【变式5-1】（2022八上·历城期中）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，若AE=5，AB=13，则中间小正方形EFGH的面积是 ．
【答案】49
【解答】解：根据题意得，在Rt△ABF中，AE=5，AB=13，且AE=BF=CG=DH=5，
∴AF=AB2−BF2=132−52=12，
又∵EF=FG=GH=GE=AF−AE，
∴EF=12−5=7，即小正方形EFGH的边长是7，
∴小正方形EFGH的面积为7×7=49，
故答案是：49．
【变式5-2】（2021秋•东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【解答】证明：∵两个全等的直角三角形如图摆放，
∴∠EBA＝∠CED，
∵∠EBA+∠BEA＝90°，
∴∠BEA+∠CED＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BCE是直角三角形，
用两种方法求梯形的面积：
S梯形ABCD＝2×ab+c2，
S梯形ABCD＝（a+b）2，
∴2×ab+c2＝（a+b）2，
化简得a2+b2＝c2．
1．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（ ）
A．120mB．60mC．60mD．120m
【答案】B
【解答】解：如图，
∵底部是边长为120m的正方形，
∴BC＝×120＝60m，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝120m，
∴AC＝＝m．
故选：B
2．（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝ ．
【答案】3
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，
即×6•CD+×10•CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案为：3．
3．（2021•娄底）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝ ．
【答案】1
【解答】解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，
又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，
∴1＝AC×PF+AB×PE，
即1＝×2×PF+×2×PE，
∴PE+PF＝1，
故答案为：1．
4．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝ ．
【答案】3
【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，
根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，
则AE＝x﹣1，
在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，
∴（x﹣1）2+x2＝52，
解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），
∴x﹣1＝3，
故答案为：3．
5．（2022•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ ；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．
【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；
（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案为：，；
（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，
故答案为：．
1．（2023春•临澧县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则BC＝（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解答】解：根据含30°角的直角三角形的性质可知：，
故选：A．
2．（2023春•罗定市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝5，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．25B．30C．35D．40
【答案】A
【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2＝25，
则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和＝AC2+BC2＝25，
故选：A．
3．（2023春•花垣县期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，那么AB边上的高CD为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵S△ABC＝＝，
∴＝，
解得CD＝，
故选：B．
4．（2023春•肇源县月考）在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，那么△ABC的周长为（ ）
A．32或33B．42或33C．32或42D．33或31
【答案】C
【解答】解：∵AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，
∴AD＝＝＝9，
BD＝＝＝5，
如图1，CD在△ABC内部时，AB＝AD+BD＝9+5＝14，
此时，△ABC的周长＝14+13+15＝42，
如图2，CD在△ABC外部时，AB＝AD﹣BD＝9﹣5＝4，
此时，△ABC的周长＝4+13+15＝32，
综上所述，△ABC的周长为32或42．
故选：C．
5．（2023春•茶陵县期中）在Rt△ABC，两条直角边长分别为6和8，则斜边长为（ ）
A．6B．7C．10D．5
【答案】C
【解答】解：根据勾股定理可知：斜边＝，
故选：C．
6．（2023春•中山市期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【解答】解：设大正方形的边长为c，则c2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4，
∵a2+b2＝c2＝20，（a﹣b）2＝4，
∴a2+b2﹣2ab＝4，即20﹣2ab＝4．
∴ab＝8．
故选：C．
7．（2023春•渝北区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，
∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
8．（2023春•东阿县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝6，BC＝3时，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．9πD．9
【答案】D
【解答】解：根据勾股定理可得，
∴S阴影＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB
＝
＝
＝
＝9．
故选：D．
9．（2023春•大同期中）毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是（ ）
A．8B．C．D．5
【答案】C
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝22+32＝13；
y2＝12+22＝5；
z2＝x2+y2＝18；
即最大正方形E的面积为：z2＝18，
∴最大正方形E的边长为．
故选：C．
10．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A、B、C、D，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的线段长度为的是（ ）
A．线段ABB．线段BCC．线段CDD．线段AD
【答案】B
【解答】解：由图可得，
AB＝＝，
BC＝＝，
CD＝＝，
AD＝＝，
故选：B．
11．（2023春•和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．8B．16C．18D．20
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC＝AC2＝20．
故选：D．
二．解答题（共5小题）
12．（2023春•昆明期中）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四边形ABCD的面积．
【答案】+24．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6，
由勾股定理得：BC＝＝＝3，
∵AC2+CD2＝62+82＝100，AD2＝102＝100，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝×3×3+×6×8
＝+24．
13．（2023春•新城区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，根据图中所标数据求阴影部分（长方形）的面积．
【答案】5cm2．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴．
∴阴影部分的面积为5×1＝5cm2．
14．（2023春•临朐县期中）阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．
（1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为 （a+b）2 ，正方形PQMN的面积可表示为 （a﹣b）2 ．（用含a，b的式子表示）
（2）请结合图2用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系．
（3）已知a+b＝5，ab＝4，求正方形EFGH的面积．
【答案】（1）（a+b）2，（a﹣b）2；（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）17．
【解答】解：（1）正方形ABCD的面积可表示为（a+b）2，正方形PQMN的面积可表示为（a﹣b）2．
故答案为：（a+b）2，（a﹣b）2．
（2）∵正方形ABCD的面积＝正方形MNPQ的面积+直角三角形的面积×8，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+ab×8，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣直角三角形的面积×4，
∴正方形EFGH的面积＝（a+b）2﹣ab×4＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
15．（2023春•安丘市期中）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点（网格线的交点）上，求点A到边BC的距离．
【答案】．
【解答】解：由图可得，
BC＝＝2，AB＝4，点C到AB的距离为4，
设点A到边BC的距离为h，
则，
即＝，
解得h＝，
即点A到边BC的距离是．
16．（2023春•涡阳县期中）（1）如图，作直角边为1的等腰Rt△OA1A2，则其面积S1＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt△OA2A3，则其面积S2＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt△OA3A4，则其面积S3＝，……则 S4＝ 1 ；
（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示Sn，并求 +++...+的值．
【答案】（1）1；
（2）Sn＝（n是正整数），．
【解答】解：（1）∵S1＝，S2＝，S3＝，
∴S4＝＝1，
故答案为：1．
（2）由（1）知Sn＝（n是正整数），
+++…+
＝+++…+
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