八年级下册17.1 勾股定理练习

这是一份八年级下册17.1 勾股定理练习，共62页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1232" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1232 \h 1
\l "_Tc8068" 【考点一 用勾股定理构造图形解决问题】 PAGEREF _Tc8068 \h 1
\l "_Tc12303" 【考点二 求梯子滑落高度】 PAGEREF _Tc12303 \h 4
\l "_Tc8427" 【考点三 求旗杆高度问题】 PAGEREF _Tc8427 \h 7
\l "_Tc22927" 【考点四 求小鸟飞行距离】 PAGEREF _Tc22927 \h 11
\l "_Tc30185" 【考点五 求大树折断前的高度】 PAGEREF _Tc30185 \h 13
\l "_Tc22077" 【考点六 解决水杯中筷子问题航海问题】 PAGEREF _Tc22077 \h 15
\l "_Tc15496" 【考点七 解决航海问题】 PAGEREF _Tc15496 \h 18
\l "_Tc15747" 【考点八 求河宽问题】 PAGEREF _Tc15747 \h 20
\l "_Tc494" 【考点九 求台阶上地毯长度】 PAGEREF _Tc494 \h 22
\l "_Tc30154" 【考点十 判断汽车是否超速】 PAGEREF _Tc30154 \h 24
\l "_Tc20817" 【考点十一 判断是否受台风影响】 PAGEREF _Tc20817 \h 27
\l "_Tc27158" 【考点十二 选址使到两地距离相等】 PAGEREF _Tc27158 \h 32
\l "_Tc27559" 【考点十三 求最短路径问题】 PAGEREF _Tc27559 \h 35
【典型例题】
【考点一 用勾股定理构造图形解决问题】
例题：（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）木工师傅为了让直尺经久耐用，常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条，如左图所示，右图为其示意图．若，线段的长为15cm，线段的长为20cm，试求出小木条的最短长度．
【变式训练】
1．（2022秋·福建漳州·八年级统考期中）现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人．
(1)_________米，_________米；
(2)①求消防车在处离楼房的距离（的长度）；
②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，）
2．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向 ，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B（点A，B，C，D，E在同一平面内），其中米，米，米，米．
(1)求A，B两点的距离；
(2)为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长．
【考点二 求梯子滑落高度】
例题：（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为米，梯子的顶端下滑米后到达点，底端也水平滑动米吗？试说明理由．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
2．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）一架梯子长5.2米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端的距离为5.1米．
(1)求梯子的顶端与地面的距离；
(2)如果梯子的顶端上升了4.0米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了4.0米？为什么？
3．（2022秋·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，长为10m的梯子AB斜靠在竖直于地面的墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m．
(1)求水平地面上梯子底端B与墙壁的距离BC的长度；
(2)当梯子的顶端A下滑2m到点时，底端B向外滑动到点，求此时的长．
【考点三 求旗杆高度问题】
例题：（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．
【变式训练】
1．（2022秋·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期中）学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．
2．（2022秋·江西南昌·九年级深圳市南山外国语学校校联考阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
3．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米．
(1)求风筝的高度；
(2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点M（即米），则他往回收线多少米？
【考点四 求小鸟飞行距离】
例题：（2021春·四川泸州·八年级统考期末）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？
【变式训练】
1．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
【考点五 求大树折断前的高度】
例题：（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少米？
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部6尺远．问：折处离地还有多高的竹子？（1丈=10尺）
2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．
(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长．
【考点六 解决水杯中筷子问题航海问题】
例题：（2022秋·山东东营·八年级校考期中）《九章算术》是我国古代的一部数学专著，在第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何（葭即芦苇，一丈等于十尺）．这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺？
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．
2．（2022·八年级单元测试）如图是长、宽、高的长方体容器．
(1)求底面矩形的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
【考点七 解决航海问题】
例题：（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．
(1)求M点与小岛P的距离；
(2)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
【变式训练】
1．（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？
2．（2022秋·陕西西安·八年级统考阶段练习）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
(1)根据题意可知：AC ．（填“”“ ”或“”）
(2)若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．
【考点八 求河宽问题】
例题：（2022春·云南昭通·八年级校考阶段练习）为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B＝90°），如图所示，通过测量得AC长为160m，BC长为128m，请求出图中A、B两点之间的距离．
【变式训练】
1．（2021秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，小明和小方分别在C处同时出发，小明以每小时2千米的速度向南走，小方以每小时1.5千米的速度向西走，2小时后，小明在A处，小方在B处，请求出AB的距离．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．
【考点九 求台阶上地毯长度】
例题：（2022春·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯．
（1）求地毯的长是多少米？
（2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？
【考点十 判断汽车是否超速】
例题：（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方24米的处，过了1.5秒后到达处（），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．
【变式训练】
1．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，，
(1)求AP的长？
(2)试判断此车是否超过了/的限制速度？（）
2．（2022春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在到迎泽大街（直线AO）的距离（线段PO）为120米的点P处.这时，一辆小轿车由点A向点O匀速行驶，测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
(1)求点A，B之间的距离；（精确到0.1米）
(2)请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度，并说明理由．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【考点十一 判断是否受台风影响】
例题：（2022·全国·八年级专题练习）今年9月，第十五号台风登陆广东，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125km的B处，正以15km/h的速度沿方向移动，已知A市到的距离．
(1)台风中心从B点移到D点经过多长时间？
(2)如果在距台风中心40km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
【变式训练】
1．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
2．（2022秋·四川眉山·八年级校考阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
(1)求监测点A与监测点B之间的距离；
(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．
3．（2023秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路的一侧点处有一学校，学校到公路的距离米，若宣讲车周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上延到的方向行驶时．
(1)请问学校能否听到宣传，请说明理由．
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是256米分，求学校总共能听到多长时间的宣传．
【考点十二 选址使到两地距离相等】
例题：（2022秋·山东东营·七年级统考期中）如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个村庄到的距离相等．已知于点，于点，，，，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？
【变式训练】
1．（2022秋·江苏·八年级统考期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由．
2．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）站应建在距站多少千米处？
（2）和垂直吗？说明理由．
【考点十三 求最短路径问题】
例题：（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？
【变式训练】
1．（2022秋·宁夏银川·八年级校考阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，请你求出最短路线长．
2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？
(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
3．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．
(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．
专题06 勾股定理及逆定理的实际应用问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1232" 【典型例题】 PAGEREF _Tc1232 \h 1
\l "_Tc8068" 【考点一 用勾股定理构造图形解决问题】 PAGEREF _Tc8068 \h 1
\l "_Tc12303" 【考点二 求梯子滑落高度】 PAGEREF _Tc12303 \h 4
\l "_Tc8427" 【考点三 求旗杆高度问题】 PAGEREF _Tc8427 \h 7
\l "_Tc22927" 【考点四 求小鸟飞行距离】 PAGEREF _Tc22927 \h 11
\l "_Tc30185" 【考点五 求大树折断前的高度】 PAGEREF _Tc30185 \h 13
\l "_Tc22077" 【考点六 解决水杯中筷子问题航海问题】 PAGEREF _Tc22077 \h 15
\l "_Tc15496" 【考点七 解决航海问题】 PAGEREF _Tc15496 \h 18
\l "_Tc15747" 【考点八 求河宽问题】 PAGEREF _Tc15747 \h 20
\l "_Tc494" 【考点九 求台阶上地毯长度】 PAGEREF _Tc494 \h 22
\l "_Tc30154" 【考点十 判断汽车是否超速】 PAGEREF _Tc30154 \h 24
\l "_Tc20817" 【考点十一 判断是否受台风影响】 PAGEREF _Tc20817 \h 27
\l "_Tc27158" 【考点十二 选址使到两地距离相等】 PAGEREF _Tc27158 \h 32
\l "_Tc27559" 【考点十三 求最短路径问题】 PAGEREF _Tc27559 \h 35
【典型例题】
【考点一 用勾股定理构造图形解决问题】
例题：（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）木工师傅为了让直尺经久耐用，常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条，如左图所示，右图为其示意图．若，线段的长为15cm，线段的长为20cm，试求出小木条的最短长度．
【答案】12cm
【分析】根据垂线段最短，所以当时，最短，利用勾股定理和等积法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
要使得小木条AD最短，则此时，
，
即，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握垂线段最短，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·福建漳州·八年级统考期中）现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人．
(1)_________米，_________米；
(2)①求消防车在处离楼房的距离（的长度）；
②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，）
【答案】(1)米，米
(2)①消防车在处离楼房的距离为；②消防车两次救援移动的距离约为
【分析】（1）根据题意，可得消防车的高为的长，再根据题中图形，可得云梯的长为的长．
（2）①根据题意，可得的长，再根据勾股定理，即可得到消防车在处离楼房的距离．②根据题意，可得的长，再根据勾股定理，可得到的长，然后根据，即可算出消防车两次救援移动的距离．
【详解】（1）根据题意，可得消防车的高为的长，
∴m；
根据题中图形，可得云梯的长为的长，
∴m．
故答案为：3；10．
（2）①由题意得，，，
∴，
在中，，
即消防车在处离楼房的距离为；
②由题意得，，，
∴
在中，
，
∴．
即消防车两次救援移动的距离约为．
【点睛】本题考查了数形结合思想，勾股定理等知识点，熟练运用数形结合思想是解本题的关键．
2．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向 ，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B（点A，B，C，D，E在同一平面内），其中米，米，米，米．
(1)求A，B两点的距离；
(2)为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长．
【答案】(1)两点的距离为米
(2)玻璃廊桥的长为米
【分析】(1)在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AB的长；
(2)在Rt△ADE中，首先利用勾股定理求出DE的长，再根据面积法求出AF的长即可．
【详解】（1）解：由题意，，
∴在中，．
∵米，米，
∴（米）．
答：两点的距离为米．
（2）∵米，
∴（米）．
∴在中，．
∵米，
∴（米）．
∵，
∴．
∴ （米）．
答：玻璃廊桥的长为米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，面积法求垂线段的长，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【考点二 求梯子滑落高度】
例题：（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为米，梯子的顶端下滑米后到达点，底端也水平滑动米吗？试说明理由．
【答案】梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米，理由见解析．
【分析】根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答．
【详解】解：由题意可知，，，，
在 中，由勾股定理得：
，
当 滑到 时，，
；
在 中，
，
．
答：梯子的顶端下滑 米后，底端将水平滑动 米．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
【答案】(1)米
(2)不是4米，是米，见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）先求出的长度，再利用勾股定理求出的长度即可得到．
【详解】（1）解：由题意得：米，米，
∴（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）梯子底部不是水平方向滑动了4米，
由题意得：米，
∴米，
∴（米），
则：（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意确定直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
2．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）一架梯子长5.2米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端的距离为5.1米．
(1)求梯子的顶端与地面的距离；
(2)如果梯子的顶端上升了4.0米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了4.0米？为什么？
【答案】(1)梯子的顶端与地面的距离为1.0米
(2)梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了4.0米；理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理求出的长即可；
（2）根据梯子的顶端上升4.0米后，梯子底部在水平方向移动的距离，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据勾股定理可得，梯子的顶端与地面的距离为：
（米），
答：梯子的顶端与地面的距离为1.0米．
（2）解：梯子的顶端上升4.0米后，梯子的顶端与地面的距离为：
（米），
此时梯子的底部离墙的底端的距离为：
（米），
梯子底部在水平方向移动的距离为：
（米），
∵，
∴梯子底部在水平方向不是也向墙的底端靠近了4.0米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
3．（2022秋·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，长为10m的梯子AB斜靠在竖直于地面的墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m．
(1)求水平地面上梯子底端B与墙壁的距离BC的长度；
(2)当梯子的顶端A下滑2m到点时，底端B向外滑动到点，求此时的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意直接利用勾股定理求解即可；
（2）先在中求出，即可通过作差求出结论．
【详解】（1）解：由题意，为直角三角形，
在中，，
∴的长度为；
（2）解：梯子的顶端下滑2m到点时，，，
在中，，
∴，
∴此时的长为．
【点睛】本题考查勾股定理的实际运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键．
【考点三 求旗杆高度问题】
例题：（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．
【答案】m
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x米，可得，，而，在中利用勾股定理可求出x即可．
【详解】解：如图，设旗杆高度为x米，则，，而，
在中，，即，
解得：，
即旗杆的高度为17m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
【变式训练】
1．（2022秋·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期中）学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为13米．
【分析】设，在中根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设，根据题意得：
在中，，
即：，
解得：．
答：旗杆的高度为13米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．
2．（2022秋·江西南昌·九年级深圳市南山外国语学校校联考阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度为米；
(2)他应该往回收线7米
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：如图，由题意得，，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
3．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米．
(1)求风筝的高度；
(2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点M（即米），则他往回收线多少米？
【答案】(1)米
(2)4米
【分析】（1）根据勾股定理求得CD的长即可求解；
（2）根据勾股定理求得MB的长即可求解．
【详解】（1）解：（1）由题意，，，
在中，由勾股定理得，，
∴（取正），
∴（米），
答：风筝的高度为米．
（2）解：如图示，连接，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴（取正），
∴往回收线的长度是（米）．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
【考点四 求小鸟飞行距离】
例题：（2021春·四川泸州·八年级统考期末）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？
【答案】小鸟至少飞行了10米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米，
过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB，
∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），
∴AE=AC-EC=10-4=6（米），
在中，（米），
答：小鸟至少飞行了10米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
【答案】17米
【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度．
【详解】解：由勾股定理得；，
∴（米），
∵（米），
∴在中，由勾股定理得，
∴此时小鸟到地面C点的距离17米．
答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．
【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．
过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24，
∴在Rt△AEC中，
AC2=CE2+AE2=102+242．
∴AC=26，26÷5=5.2（s）．
答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．
【考点五 求大树折断前的高度】
例题：（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少米？
【答案】
【分析】先根据大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形利用勾股定理求出折断部分的长，进而可得出结论．
【详解】解：根据题意：大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，且折断部分是斜边，
∴折断部分的长度为：（米），
∴大树在折断之前高为：（米），
答：大树在折断之前高米
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是熟练掌握勾股定理．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部6尺远．问：折处离地还有多高的竹子？（1丈=10尺）
【答案】尺
【分析】设原处还有尺高的竹子，由题意得到折后竹子竖直高度+斜倒部分的长度=18尺，再运用勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：设折处离地还有尺高的竹子,
如图，在中，AC=x尺，
则AB=一丈八- AC =(18-x)尺
由勾股定理得，
所以，
解得：．
答：折处离地还有尺高的竹子．
【点睛】此题考查勾股定理解决实际问题．此题中的直角三角形只知道一直角边，另两边未知往往要列方程求解．
2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．
(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长，
（3）先求出D点距地米，米，再根据勾股定理可以求得米．
【详解】（1）解：由题意可知：米，
∵，
∴，
又∵米，
∴，
∴米；
（2）解：∵D点距地面米，
∴米，
∴米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图
【考点六 解决水杯中筷子问题航海问题】
例题：（2022秋·山东东营·八年级校考期中）《九章算术》是我国古代的一部数学专著，在第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何（葭即芦苇，一丈等于十尺）．这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺？
【答案】水深和芦苇的长度分别是，尺．
【分析】由题意可得，尺，设尺，则尺，由勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可得，尺，设尺，则尺
由勾股定理可得：，即
解得
答：水深和芦苇的长度分别是，尺．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，找到直角三角形，正确列出方程．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．
【答案】26cm
【分析】设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．
【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，
∵杯子的直径为20cm，
∴杯子半径为10cm，
∴x2+102＝（x+2）2，
即x2+100＝x2+4x+4，
解得：x＝24，
24+2＝26（cm）．
答：小木棍长26cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长．
2．（2022·八年级单元测试）如图是长、宽、高的长方体容器．
(1)求底面矩形的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
【答案】(1)5cm
(2)13cm
【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果．
（2）根据题意连接BD、ED，两次运用勾股定理即可得出结果．
（1）
解：∵、，∠ABC=90°，
∴对角线的长=cm；
（2）
解：如图所示：
连接BD、ED，
在Rt△BCD中，
∵、，∠ABC=90°，
∴BD=cm；
在Rt△EBD中，ED＝cm．
故这个盒子最长能放13cm的棍子．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
【考点七 解决航海问题】
例题：（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．
(1)求M点与小岛P的距离；
(2)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．
【答案】(1)海里
(2)不会有触礁危险，理由见解析
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，利用所对的直角边是斜边的一半，以及勾股定理，进行求解即可；
（2）求出的长，与12海里比较大小，即可进行判断．
【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，
由题意，得：，，
∴，
设：，
则：，，
∵，
∴，
在中，，
即：，
解得：（不合题意，舍去）；
∴；
∴M点与小岛P的距离：海里；
（2）不会有触礁危险，理由如下：
由（1）知：，
∵，
∴，
∴渔船不改变航线继续向东航行，不会有触礁危险．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？
【答案】此时游船移动的距离的长是
【分析】在中用勾股定理求出，在中用勾股定理求出，再根据的出结果．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，
∴，
∴，
∴．
答：此时游船移动的距离的长是．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
2．（2022秋·陕西西安·八年级统考阶段练习）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
(1)根据题意可知：AC ．（填“”“ ”或“”）
(2)若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．
【答案】(1)
(2)小男孩需向右移动的距离为7米
【分析】（1）根据绳长始终保持不变即可解答；
（2）首先理解题意，明确小男孩需向右移动的距离是哪条线段的长，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴，
故答案为：；
（2）∵米，米，
∴在中，由勾股定理得：（米），
∵（米），
∴在中，由勾股定理得：（米），
由（1）得：，
∴（米），
∴小男孩需向右移动的距离为7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题的关键．
【考点八 求河宽问题】
例题：（2022春·云南昭通·八年级校考阶段练习）为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B＝90°），如图所示，通过测量得AC长为160m，BC长为128m，请求出图中A、B两点之间的距离．
【答案】96m
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，，，，
∴
∴，
∴（m）
答：A、B两点之间的距离为96m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的形式．
【变式训练】
1．（2021秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，小明和小方分别在C处同时出发，小明以每小时2千米的速度向南走，小方以每小时1.5千米的速度向西走，2小时后，小明在A处，小方在B处，请求出AB的距离．
【答案】5千米
【分析】根据题意得出AC，BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．
【详解】解：由题意可得：AC=2×2=4(km)，BC=1.5×2=3(km)，
则：
∴AB的距离为5km．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意得出AC，BC的长．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．
【答案】60m
【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．
【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：
AB＝（m）．
∴该河流的宽度为60 m．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
【考点九 求台阶上地毯长度】
例题：（2022春·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【答案】25cm
【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
【详解】解：如图，将台阶展开，
由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．
所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，
即AB＝25（cm），
答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm．
【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．
(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论；
（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米，
根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一级台阶的高为2分米；
（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米，
则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝（分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯．
（1）求地毯的长是多少米？
（2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？
【答案】（1）7米；（2）140元
【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC的长度，然后利用平移的知识即可得出地毯的长；
（2）首先计算出地毯的面积，然后用面积乘以10即可得出答案．
【详解】（1），
，
，
∴地毯的长为7m；
（2）地毯的面积为，
∴铺这个楼梯所需的花费为（元）．
【点睛】本题主要考查勾股定理及平移的相关知识，根据勾股定理求出AC的长度是关键．
【考点十 判断汽车是否超速】
例题：（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方24米的处，过了1.5秒后到达处（），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．
【答案】超速，超速千米时
【分析】根据勾股定理得出的长，进而得出小汽车1小时行驶76.8千米，进而得出答案．
【详解】解：小汽车已超速，理由如下：
根据题意得：米，米，，
在中，根据勾股定理得：（米），
小汽车1.5秒行驶32米，
小汽车行驶速度为76.8千米时，
，
小汽车已超速，超速（千米时）．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出的长是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，，
(1)求AP的长？
(2)试判断此车是否超过了/的限制速度？（）
【答案】(1)AP的长为200m
(2)此车超过了80/的限制速度
【分析】（1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解．
（1）
解：，
；
（2）
解：在中，，
，
在中， ，
∴，
∴，
，
∴此车超过的限制速度．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在到迎泽大街（直线AO）的距离（线段PO）为120米的点P处.这时，一辆小轿车由点A向点O匀速行驶，测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
(1)求点A，B之间的距离；（精确到0.1米）
(2)请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度，并说明理由．
【答案】(1)87.8米
(2)此车超过迎泽大街每小时60千米的限制速度，理由见解析
【分析】（1）根据解直角三角形求得AO、BO即可；
（2）根据速度=路程÷时间求出车速即可判断．
(1)
解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，∴∠PAO＝30°，
∵PO＝120米，∴AP＝2PO＝240米，
根据勾股定理，得AO＝＝120米 ，
在Rt△BPO中，∠BPO＝45°，∴∠PBO＝45°，
∴BO＝PO＝120米，
∴AB＝AO－BO＝120－120≈87.8(米)；
(2)
解：超过了．
理由：车速为＝17.56(米/秒)，
限速为≈16.67(米/秒).
∵17.56>16.67，
∴此车超过迎泽大街每小时60千米的限制速度．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形边角关系、等腰直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解答的关键．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【答案】(1)120米
(2)72千米小时，小汽车超速了
【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度路程时间，即可判断．
【详解】（1）解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示：
由题意可得：米，米，
在中，
（米，
答：小汽车6秒走的路程为120米；
（2）解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时），
，
小汽车超速了．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
【考点十一 判断是否受台风影响】
例题：（2022·全国·八年级专题练习）今年9月，第十五号台风登陆广东，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125km的B处，正以15km/h的速度沿方向移动，已知A市到的距离．
(1)台风中心从B点移到D点经过多长时间？
(2)如果在距台风中心40km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要8小时；
(2)A市受台风影响的时间为小时．
【分析】（1）在中，已知斜边和一直角边，即可得出第三边，台风的速度已知，即可得出台风中心从B点移到D点所经过长时间；
（2）假设A市从P点开始受到台风的影响，到Q点结束，根据题意在图中画出图形，可知，和全等，A市在台风从P点到Q点均受影响，即得出两点的距离，便可求出A市受台风影响的时间．
【详解】（1）解：由题意得，在中，
，
∴，
∴时间为小时，
即台风中心从B点移到D点需要8小时；
（2）解：以A为圆心，以40km为半径画弧，交于P、Q，
则A市在P点开始受到影响，Q点恰好不受影响（如图），
由题意，，在中，
，
∵，
∴，
∴，
时间为(小时)．
即A市受台风影响的时间为小时．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
【答案】(1)学校会受噪声影响，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，即可得出结论；
（2）利用勾股定理得出以及的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：学校会受噪声影响，理由如下：
如图，过点作于，
，，，
．
是直角三角形，．
，
，
即，
，
环卫车周围以内为受噪声影响区域，
学校会受噪声影响．
（2）解：如图，当，时，正好影响学校，
，
，
环卫车噪声影响该学校持续的时间有，
环卫车的行驶速度为：，
答：环卫车的行驶速度为．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
2．（2022秋·四川眉山·八年级校考阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
(1)求监测点A与监测点B之间的距离；
(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．
【答案】(1)500km
(2)受影响，台风影响该海港持续的时间为8小时
【分析】（1）利用勾股定理求出即可；
（2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
（1）
解：在中，km，km，
（km），
答：监测点与监测点之间的距离为500km；
（2）
解：海港受台风影响，
理由：，，
，
，
km，
以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
海港会受到此次台风的影响，
以为圆心，260km长为半径画弧，交于，，
则km时，正好影响港口，
在中，
（km），
km，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
3．（2023秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路的一侧点处有一学校，学校到公路的距离米，若宣讲车周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上延到的方向行驶时．
(1)请问学校能否听到宣传，请说明理由．
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是256米分，求学校总共能听到多长时间的宣传．
【答案】(1)学校能听到宣传，见解析
(2)分钟
【分析】（1）根据学校到公路的距离为480米米，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到米，求得米，于是得到结论．
（1）
解：学校能听到宣传，
理由：学校到公路的距离为480米米，
学校能听到宣传；
（2）
如图：假设当宣讲车行驶到点开始影响学校，行驶点结束对学校的影响，
则米，米，
（米），
米，
影响学校的时间为：（分钟），
学校总共能听到分钟的宣传．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【考点十二 选址使到两地距离相等】
例题：（2022秋·山东东营·七年级统考期中）如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个村庄到的距离相等．已知于点，于点，，，，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？
【答案】
【分析】设，则，根据勾股定理可得，，，结合得到关于x的方程，求解即可．
【详解】解：设，则，
∵，，
∴和都是直角三角形，
在中，
，
在中，
，
∵，，，
∴，
解得，
答：信号塔应该建在距离A乡镇的地方．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏·八年级统考期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由．
【答案】市场应建在距的20千米处；是等腰直角三角形，理由见解析．
【分析】可以设，则，在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据可以求得x的值，即可求得的值．
【详解】解：设，则，
在直角中，，
在直角中，，
，
解得：，
即；
市场应建在距的20千米处；
，，
在和中，

可得，
∴，
又 ，
∴，
∴
又，
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中根据和求x的值是解题的关键．
2．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）站应建在距站多少千米处？
（2）和垂直吗？说明理由．
【答案】（1）E站应建在距A站6千米处；（2）DE和EC垂直，理由见解析
【分析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=6km；
（2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，进而可以证明．
【详解】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x），
∵DA=8km，CB=6km，
∴x2+82=（14-x）2+62，
解得：x=6，
∴AE=6km．
答：E站应建在距A站6千米处；
（2）DE和EC垂直，理由如下：
在△DAE与△EBC中，
，
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB，
∵∠DEA+∠D=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEC=90°，
即DE⊥EC．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，证明线段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解决问题的关键．
【考点十三 求最短路径问题】
例题：（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？
【答案】
【分析】将长方体展开成平面图形，分三种情况，利用勾股定理进行求解，确定最短路径即可．
【详解】解：如图1，当爬的长方体的长是，宽是3时，．
如图2，当爬的长方体的长是，宽是4时，．
如图3，爬的长方体的长是，宽是6时，．
，
它需要爬行的最短路径是．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将长方体展开成平面图形，利用勾股定理求出最短路径．
【变式训练】
1．（2022秋·宁夏银川·八年级校考阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，请你求出最短路线长．
【答案】
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：①如图，连接，
在中，，，
由勾股定理得：，此时；
①如图，连接，
在中，，，
由勾股定理得：；
∵，
∴从处爬到处的最短路程是．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．
2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？
(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
【答案】(1)50cm
(2)300cm
【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为 的长，圆柱的高即为 的长，求出 的长即为葛藤绕树的最短路程．
（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高．
【详解】（1）解：如图，
树干的周长即底面圆的周长为30cm
cm
葛藤升高40cm
cm
由勾股定理得 cm
所以，葛藤爬行的路程是50cm
（2）解： 树干的周长即底面圆的周长为40cm
cm
葛藤绕一圈爬行50cm
cm
由勾股定理得绕行1圈的高度
爬行10圈到达树顶
树干高 cm
所以，树干高为300cm
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，解题关键是要弄清底面圆的周长即为矩形的边 的长．
3．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．
(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．
【答案】(1)见解析；
(2)两点之间线段最短；
(3)120cm，50cm；
(4)130cm
【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可；
（2）根据题（1）即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽；
（4）根据勾股定理计算的长即可求解．
【详解】（1）如图所示即为所求：
（2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的cm，cm．
故答案为：120cm，50cm；
（4）由题（1）可得：在Rt中，
由勾股定理可得：cm，
故答案为：130cm．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．