人教版八年级下册17.1 勾股定理精品当堂检测题

第十七章 勾股定理

【题型一】利用勾股定理解三角形

典例1．（2022秋·浙江·八年级期中）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．

（1）求证：△ABC≌△DCE；

（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．

变式1-1．（2022秋·吉林长春·八年级期末）如图，在△ABC和△DEB中，AC∥BE，∠C＝90°，AB＝DE，点D为BC的中点，．

（1）求证：△ABC≌△DEB．

（2）连结AE，若BC＝4，直接写出AE的长．

变式1-2．（2022秋·上海松江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．

变式1-3．（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．

(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；

(2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；

(3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．

【题型二】利用勾股定理解决折叠问题

典例2．（2022秋·广东佛山·八年级佛山市南海石门实验中学校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，试求的长．

变式2-1．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在长方形纸片中，，，将其折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕交于点E，交于点F．

(1)求线段的长．

(2)线段的长为______．

变式2-2．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且．

(1)求证：；

(2)求证：；

(3)求的长．

变式2-3．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．

(1)若，求的值．

(2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？

【题型三】勾股定理的证明方法

典例3．（2022秋·四川眉山·八年级统考期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．

变式3-1．（2022秋·广东广州·八年级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．

（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 　 　；

（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系；

（3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜边c的值．

变式3-2．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容．

(1)请结合图①，写出完整的证明过程；

(2)如图②，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，AB=2，P是射线BC上一点，以AP为直角边在AP边的右侧作△APD，使∠APD=90°，AP=PD．过点D，作DE⊥BC于点E，当DE=4时，则BD=______．

变式3-3．（2022春·广西南宁·八年级南宁三中校考期末）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

【实践操作】勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，图1、图2、图3是三种常见的证明方法，请你从中任选一种证明勾股定理（图中出现的直角三角形大小形状均相同）．

【探索发现】如图4，以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形，请判断、、的数量关系并说明理由．

【题型四】勾股定理与实际问题

典例4（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．

(1)求风筝的垂直高度CE；

(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

变式4-1．（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期中）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

(1)这个梯子的顶端距地面有多高？

(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

变式4-2．（2022春·广东肇庆·八年级肇庆市端州中学校考期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．

(1)海港C会受台风影响吗？为什么？

(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？

变式4-3．（2022春·福建福州·八年级校联考期末）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？

变式4-4．（2022春·河南新乡·八年级统考期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．

变式4-5．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考期中）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为3km，与公路上另一停靠站B的距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．

（1）求修建的公路CD的长；

（2）若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？

变式4-6．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离．

【题型五】判断三边能否构成直角三角形

典例5．（2022秋·河南南阳·八年级南阳市第十三中学校校考期末）阅读下列题目的解题过程：

已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．

解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）

∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）

∴c2=a2+b2 （C）

∴△ABC是直角三角形

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　   　；

（2）错误的原因为：　   　；

（3）本题正确的结论为：　   　．

变式5-1．（2022春·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．

（1）求△ABC的周长．

（2）判断△ABC的形状并加以证明．

变式5-2．（2022春·江西抚州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．

(1)求AB的长；

(2)求△ACB的面积．

变式5-3．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．

(1)线段AB的长度是       ，线段CD的长度是     ．

(2)若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

变式5-4．（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．试判定△ABC的形状．

【题型六】勾股定理逆定理的实际应用

典例6．（2022秋·四川雅安·八年级雅安中学校考期中）如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积．

变式6-1．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？

变式6-2．（2022秋·内蒙古包头·八年级统考期末）如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）．

(1)若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；

(2)请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．

变式6-3．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．

(1)求修建的公路CD的长；

(2)若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？