人教版17.1 勾股定理课后测评

这是一份人教版17.1 勾股定理课后测评，共43页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16083" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16083 \h 1
\l "_Tc20765" 【考点一 勾股定理的证明方法】 PAGEREF _Tc20765 \h 1
\l "_Tc23183" 【考点二 勾股树(数)问题】 PAGEREF _Tc23183 \h 4
\l "_Tc2298" 【考点三 勾股定理与无理数】 PAGEREF _Tc2298 \h 5
\l "_Tc14946" 【考点四 用勾股定理解三角形】 PAGEREF _Tc14946 \h 6
\l "_Tc22882" 【考点五 以直角三角形三边为边长的图形面积】 PAGEREF _Tc22882 \h 9
\l "_Tc26413" 【考点六 利用勾股定理求两条线段平方和(差)】 PAGEREF _Tc26413 \h 10
\l "_Tc12309" 【考点七 利用勾股定理证明线段平方关系】 PAGEREF _Tc12309 \h 12
\l "_Tc9842" 【过关检测】 PAGEREF _Tc9842 \h 15
【典型例题】
【考点一 勾股定理的证明方法】
例题：（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，．
(1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______．
(2)求证：．
【变式训练】
1．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
【考点二 勾股树(数)问题】
例题：（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．5，12，13D．，，
【变式训练】
1．（2022秋·河南洛阳·八年级统考阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·八年级单元测试）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【考点三 勾股定理与无理数】
例题：（2023秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，数轴上点C所表示的数是___________
【变式训练】
1．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是__________．
2．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）小刚学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数的点，然后过点作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴负半轴于点，那么数轴上点所表示的数是________．
【考点四 用勾股定理解三角形】
例题：（2022秋·山东济南·八年级校考期末）如图，在中，，平分，垂直平分，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）直角三角形的两直角边分别为和，则斜边上的高为___________cm．
2．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）长方形中，长，宽，点为直线上一点，当为等腰三角形时，_______．
【考点五 以直角三角形三边为边长的图形面积】
例题：（2022秋·辽宁·八年级校考期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为___________．
【变式训练】
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．
2．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为，，，已知，，则______．
【考点六 利用勾股定理求两条线段平方和(差)】
例题：（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则______．
【变式训练】
1．（2022秋·宁夏中卫·八年级校考期中）在中，斜边长，的值为___________
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____．
【考点七 利用勾股定理证明线段平方关系】
例题：（2022秋·八年级统考阶段练习）如图，已知和中，，，，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接，，求证．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，过点作交的外角平分线于点，连接，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·八年级单元测试）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．3，4，5
C．2，8，10D．1，，
2．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为，，，已知，，则的值为（ ）
A．13B．17C．7D．169
3．（2022秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）如图所示，，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（ ）
A．29B．32C．36D．45
5．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，在中，，，，线段的垂直平分线交于点P和点Q，则的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
二、填空题
6．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在中，，，分别为和的中点，，，则______．
7．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为___________．
8．（2023春·八年级单元测试）如图，矩形中，，，在数轴上，且点表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为_________．
9．（2022秋·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在中，，则的面积为 _____．
10．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，，均在格点上，为上任意一点，则的值为________．
三、解答题
11．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，已知在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，求的长．
12．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）如图，在中，，是中点，，是中点，于点．求的长．
13．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，连接AE．
(1)求证：△CEA≌△CDB；
(2)求证：．
14．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，动点P从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．
(1)填空：的长为 ；
(2)若为直角三角形，求t的值；
(3)若为等腰三角形，求t的值．
15．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
(1)如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______．
(2)如图2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系为______．
(3)如图3，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．
16．（2022秋·安徽宿州·七年级统考期中）（1）如图，三个正方形围成了一个直角三角形，三个正方形的面积分别为，若，则___________
（2）如图，在中，，分别以为边在外侧作等边三角形，则之间的关系为___________
（3）①如图，在中，，分别以为边在外侧作等腰直角三角形，则（2）中的关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
②如图，在五边形中，，连接．求五边形的面积．
专题04 勾股定理
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16083" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16083 \h 1
\l "_Tc20765" 【考点一 勾股定理的证明方法】 PAGEREF _Tc20765 \h 1
\l "_Tc23183" 【考点二 勾股树(数)问题】 PAGEREF _Tc23183 \h 4
\l "_Tc2298" 【考点三 勾股定理与无理数】 PAGEREF _Tc2298 \h 5
\l "_Tc14946" 【考点四 用勾股定理解三角形】 PAGEREF _Tc14946 \h 6
\l "_Tc22882" 【考点五 以直角三角形三边为边长的图形面积】 PAGEREF _Tc22882 \h 9
\l "_Tc26413" 【考点六 利用勾股定理求两条线段平方和(差)】 PAGEREF _Tc26413 \h 10
\l "_Tc12309" 【考点七 利用勾股定理证明线段平方关系】 PAGEREF _Tc12309 \h 12
\l "_Tc9842" 【过关检测】 PAGEREF _Tc9842 \h 15
【典型例题】
【考点一 勾股定理的证明方法】
例题：（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，．
(1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______．
(2)求证：．
【答案】(1)，，
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论；
（2）用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出．
【详解】（1）解：，，，
，
，
，
，
，
的面积，
由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积，
故答案为：，，；
（2）证明：，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
．
【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，，，，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；
（2）由四边形的面积两种计算方式列出等式，即可求解；
（3）分别求出a，b，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积，大正方形的面积，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴；
（3）解：由题意可得：，，
∴，，
∴，，
∴，
∴正方形的面积为．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【考点二 勾股树(数)问题】
例题：（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．5，12，13D．，，
【答案】C
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不合题意；
B、，不能构成直角三角形，不合题意；
C、，能构成直角三角形，符合题意；
D、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
【变式训练】
1．（2022秋·河南洛阳·八年级统考阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数．
2．（2023春·八年级单元测试）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【详解】解：A、，，都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股数的定义：满足且a、b、c为整数，则a、b、c为勾股数．
【考点三 勾股定理与无理数】
例题：（2023秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，数轴上点C所表示的数是___________
【答案】
【分析】根据勾股定定理，求得，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，，，，
由勾股定理可得：．
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理以及实数与数轴，解题的关键是求得．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是__________．
【答案】或，
【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出点表示的实数．
【详解】四边形是长方形，
，，，
在中，由勾股定理可得：
点在数轴上对应的数是，
点表示的实数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，解题的关键是勾股定理得出的长．
2．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）小刚学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数的点，然后过点作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴负半轴于点，那么数轴上点所表示的数是________．
【答案】
【分析】根据勾股定理可计算出的长度，即点在数轴负半轴表示的数．
【详解】解：在中，，
∴，
∴数轴上点所表示的数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算的长度是解题的关键．
【考点四 用勾股定理解三角形】
例题：（2022秋·山东济南·八年级校考期末）如图，在中，，平分，垂直平分，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可得，最后可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用角平分线的性质可得，即可解答．
【详解】解：，
，
平分，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
∴，
在中，，
∴，
∴，
，
平分，，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）直角三角形的两直角边分别为和，则斜边上的高为___________cm．
【答案】4.8##
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
【详解】解∶直角三角形的两条直角边分别为，
斜边为，
设斜边上的高为，
则直角三角形的面积为，
解得∶，
这个直角三角形斜边上的高为．
故答案为∶．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及直角三角形的面积的求法，正确利用三角形面积得出其高的长是解题关键．
2．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）长方形中，长，宽，点为直线上一点，当为等腰三角形时，_______．
【答案】13或或
【分析】分三种情况画图，①当时，②当时，③当时，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：分三种情况画图，如图，
在长方形中，
，，，
，
①当时，
；
②当时，
，
，
；
③当时，
，
．
综上所述：当为等腰三角形时，或或．
故答案为：13或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
【考点五 以直角三角形三边为边长的图形面积】
例题：（2022秋·辽宁·八年级校考期末）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】7
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：，进而可将阴影部分的面积求出．
【详解】解：，
，
，
，
故答案是：7．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
【变式训练】
1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．
【答案】10
【分析】根据阴影部分面积等于以为直径的半圆面积之和加上的面积减去以为直径的半圆面积进行求解即可 ．
【详解】解；∵直角三角形的周长为24，
∴，,
∴，
∵阴影部分的面积为24，
∴，
∴
∴
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键．
2．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为，，，已知，，则______．
【答案】8
【分析】由勾股定理得出，得出，得出，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系是解决问题的关键．
【考点六 利用勾股定理求两条线段平方和(差)】
例题：（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则______．
【答案】
【分析】在与中，由勾股定理可推出，，在与中，由勾股定理得，，，继而可得出结果．
【详解】解：在与中，由勾股定理得，
， ，
，
在与中，由勾股定理得，
， ，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·宁夏中卫·八年级校考期中）在中，斜边长，的值为___________
【答案】
【分析】结合题意，根据勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵中，斜边长，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用，从而完成求解．
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____．
【答案】69
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，
CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，
MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2），
＝132−102，
＝69．
故答案为：69．
【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2．
【考点七 利用勾股定理证明线段平方关系】
例题：（2022秋·八年级统考阶段练习）如图，已知和中，，，，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接，，求证．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据证明即可．
（2）设交于点，利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）连接，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】（1）证明：，
，即：，
，，
．
（2）解：设交于点．
，
，
，，
，
，
．
（3）证明：连接．
，
，，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，过点作交的外角平分线于点，连接，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）先证明，再证明，问题即可得证；
（2）根据，，，可得；再证明是等边三角形，即有，，进而有，在中，有：，结合，，问题得证．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
∴，．
∴．
又∵平分，
∴．
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴；
（2）∵在（1）中已证明．
∴；，
∵，，，
∴．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，有：，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·八年级单元测试）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．3，4，5
C．2，8，10D．1，，
【答案】B
【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．
【详解】解：A．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；
B．，
、4、5是勾股数，符合题意；
C．，
，8，10不是勾股数，不符合题意；
D．，，均不是整数，
，，不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．
2．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，在中，，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为，，，已知，，则的值为（ ）
A．13B．17C．7D．169
【答案】B
【分析】由，，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，熟练的利用勾股定理模型解决问题是解题的关键．
3．（2022秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）如图所示，，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图示，可得：点A是以B为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以B为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴和实数及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．
4．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（ ）
A．29B．32C．36D．45
【答案】D
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）
＝AC2−AB2
＝45．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．
5．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，在中，，，，线段的垂直平分线交于点P和点Q，则的长度为（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再由勾股定理求出，然后设，则，在中，由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：．
故选：D
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在中，，，分别为和的中点，，，则______．
【答案】6
【分析】先利用中点定义求出，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，分别为和的中点，，，
∴，，
∴，，
∵在中，，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了中点的定义与勾股定理，解题关键是牢记勾股定理．
7．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为___________．
【答案】4
【分析】由勾股定理得，解得，结合计算解答即可．
【详解】解：由勾股定理得，
∴
故答案为：4．
【点睛】本题考查勾股定理、半圆面积的求法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8．（2023春·八年级单元测试）如图，矩形中，，，在数轴上，且点表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为_________．
【答案】##
【分析】先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，
点表示点数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理求出的长，属于中考常考题型．
9．（2022秋·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在中，，则的面积为 _____．
【答案】84
【分析】过C作于D，根据勾股定理和三角形的面积即可得到结论．
【详解】解：过C作于D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积，
故答案为：84．
【点睛】本题考查了用勾股定理的应用，能够根据得到是解题的关键．
10．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，，均在格点上，为上任意一点，则的值为________．
【答案】12
【分析】根据勾股定理表示出，，代入即可解得．
【详解】∵，
，
∴，
故答案为：12．
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是用勾股定理表示出边长．
三、解答题
11．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，已知在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，求的长．
【答案】
【分析】连接AE，由垂直平分线的性质可得，设，则，在中利用勾股定理可得的长，即得的长．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
设，
，
，
，
，
即，
解得
故
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的关键．
12．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）如图，在中，，是中点，，是中点，于点．求的长．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质，得出，，根据勾股定理求出，得出，求出，根据是中点，得出，根据三角形面积公式，即可求出．
【详解】解：∵在中，，是中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质，求出．
13．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，连接AE．
(1)求证：△CEA≌△CDB；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，CD＝EC，根据等角的余角相等可得∠ACE＝∠BCD，即可证明△CDB≌△CEA（SAS）；
（2）根据（1）中的结论以及全等三角形的性质证明∠EAD＝90°，，根据勾股定理可得，等量代换即可得证．
【详解】（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△CDB与△CEA中，
，
∴△CDB≌△CEA（SAS）；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠BAC＝45°，
由（1）得△CDB≌△CEA，
∴∠EAC＝∠B＝45°，
∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝45°+45°＝90°，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
14．（2022秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，动点P从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．
(1)填空：的长为 ；
(2)若为直角三角形，求t的值；
(3)若为等腰三角形，求t的值．
【答案】(1)3；
(2)或；
(3)或或．
【分析】（1）利用勾股定理即可得到答案；
（2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的值即可得到答案；
（3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，即可求得值．
【详解】（1）解：在中，，，
，
故答案为：3；
（2）解：若为直角三角形，由题意知 ，
①当为直角时，如图（1），点P与点C重合，
，
；
②当为直角时，如图（2），，；
在中，，
在中，，
即 ，
解得：，
综上所述，当直角三角形时，或；
（3）解：若为等腰三角形，由题意知，
①当时，如图（3），
，
；
②当时，如图（4），
，
，
；
③当时，如图（5），，，
在中，，即，
解得：，
综上所述，当为等腰三角形时， 或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题关键，注意分情况讨论，不要漏解．
15．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．
(1)如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式______．
(2)如图2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系为______．
(3)如图3，如果以的三边长，，为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)成立，理由见解析
【分析】（1）通过整体和部分求和两种方法对该正方形面积求解可得此题结果；
（2）先根据正方形的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得；
（3）先根据半圆的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得．
【详解】（1）解：从整体看，正方形的面积为，
从部分看，正方形的面积为，
∴；
故答案为：；
（2）解：在中，，
∴，
由题意得，，，
∴；
故答案为：；
（3）解：成立，
在中，，
∴，即，
∴，，，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了运用勾股定理解决几何问题的能力，关键是能准确理解题意并列式，运用勾股定理进行推理、求解．
16．（2022秋·安徽宿州·七年级统考期中）（1）如图，三个正方形围成了一个直角三角形，三个正方形的面积分别为，若，则___________
（2）如图，在中，，分别以为边在外侧作等边三角形，则之间的关系为___________
（3）①如图，在中，，分别以为边在外侧作等腰直角三角形，则（2）中的关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
②如图，在五边形中，，连接．求五边形的面积．
【答案】（1）625；（2）；（3）①成立，见解析，②19
【分析】（1）根据勾股定理，即可求解；
（2）分别过点A，E，F作，垂足分别为M，H，N，设，根据勾股定理，可得，再由等边三角形和勾股定理可得，，即可求解；
（3）在上截取，连接，可得，根据勾股定理，可得，再由，可得，，，再由勾股定理，可得，进而得到，再分别求出，，即可求解．
【详解】解：（1）如图，
∵三个正方形围成了一个直角三角形，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
（2）如图，分别过点A，E，F作，垂足分别为M，H，N，
设，
∵，
∴，即，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
（3）如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴五边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，二次根式的乘法，熟练掌握勾股定理的应用，等边三角形的性质是解题的关键．