初中沪科版18.2 勾股定理的逆定理优秀巩固练习

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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题18.2勾股定理的逆定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•邗江区期末）以下列各组数为边长能组成直角三角形的是（　　）
A．2、3、4 B．、、 C．32、42、52 D．6、8、10
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解析】A、22+32≠42，故不能组成直角三角形；
B、（）2+（）2≠（）2，故不能组成直角三角形；
C、（32）2+（42）2≠（52）2，故不能组成直角三角形；
D、62+82＝102，故能组成直角三角形．
故选：D．
2．（2020秋•昌图县期末）下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．4，9，11 B．6，8，10 C．7，24，25 D．8，15，17
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解析】A．∵42+92≠112，
∴以4，9，11为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵62+82＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵72+242＝252，
∴以7，24，25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵82+152＝172，
∴以8，15，17为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．（2021秋•市中区期末）下列不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a2+b2﹣c2＝0 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【解析】A、由a2+b2﹣c2＝0，可得a2+b2＝c2，故是直角三角形，不符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝180°×＝75°，故不是直角三角形，符合题意；
D、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
4．（2021秋•碑林区校级月考）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13
C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项B、C、D是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选项B是否符合题意，本题得以解决．
【解析】a＝32，b＝42，c＝52，则a2+b2≠c2，故选项A符合题意；
当a：b：c＝5：12：13时，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则a2+b2＝（5x）2+（12x）2＝c2，故选项B不符合题意；
由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；
由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故选项D不符合题意；
故选：A．
5．（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）

A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【分析】先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+2）尺，根据勾股定理可得方程x2+82＝（x+2）2，再解即可．
【解析】设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
6．（2021春•辛集市期末）如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　）

A．9m B．14m C．11m D．10m
【分析】作BD⊥OC于点D，首先由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，然后根据OC＝6米，得到DC＝4米，最后利用勾股定理得BC的长度即可．
【解析】如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，
∵OC＝6m，
∴DC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），
故选：D．

7．（2021秋•长春期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定
【分析】由勾股逆定理即可得到答案．
【解析】∵AC2﹣BC2＝AB2，
∴AC2＝BC2+AB2，
∴∠B＝90°．
故选：B．
8．（2020春•大冶市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
【解析】如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
则x+3x+2x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
9．（2020•巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）

A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
10．（2020秋•滦南县期末）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】如图，先设平板手推车的长度为x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N，利用△CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
【解析】设平板手推车的长度为x米，
当x为最大值，且此时平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．
连接PO，与BC交于点N．
∵直角通道的宽为2m，
∴PO＝4m，
∴NP＝PO﹣ON＝4﹣2＝2（m）．
又∵△CBP为等腰直角三角形，
∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4（m）．
故选：C．

二．填空题（共8小题）
11．（2020秋•通州区期末）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，那么∠ABC的度数是　45°　．

【分析】根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长，由勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状，进而可得答案．
【解析】根据勾股定理即可得到：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
∵BC2+AC2＝10+10＝20＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
12．在△ABC中，如果AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，则△ABC是　直角　三角形，其中∠　BAC　＝90°．
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断△ABC的形状，然后即可写出哪个角等于90°，本题得以解决．
【解析】∵AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，
∴AB2+AC2
＝（m2﹣n2）2+（2mn）2
＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2
＝m4+2m2n2+n4
＝（m2+n2）2，
BC2＝（m2+n2）2，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
故答案为：直角、BAC．
13．（2021秋•卧龙区期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 　2.7　m．

【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．
【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，
∴AD2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+1.52＝6.25，
∴AB2＝4．
∵AB＞0，
∴AB＝2米．
∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7米．
答：小巷的宽度BE为2.7米，
故答案为：2.7．
14．（2021秋•市北区期末）如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为300米，到公交车站（D点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（C点），使之到学校A及到车站D的距离相等，则商店C与车站D之间的距离是 　312.5　米．

【分析】过点A作AB⊥l于B，根据勾股定理解答即可．
【解析】过点A作AB⊥l于B，则AB＝300m，AD＝500m．
∴BD＝＝400m，
设CD＝xm，则CB＝（400﹣x）m，
根据勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，
x2＝160000+x2﹣800x+3002，
800x＝250000，
x＝312.5．
答：商店与车站之间的距离为312.5米，
故答案为：312.5．

15．（2021•昭通模拟）在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝　25或7　．
【分析】分两种情况进行讨论：点D在线段BC上或点D在CB的延长线上．依据勾股定理的逆定理即可得到∠ADC为直角，再根据勾股定理即可得到CD的长，进而利用线段的和差关系得出BC的长．
【解析】如图1所示，当点D在线段BC上时，
∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝9+16＝25；
如图2所示，当点D在CB的延长线上时，
同理可得，DC＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣9＝7；
由于AC＞AB，所以点D不在BC的延长线上．
综上所述，BC的长度为25或7．
故答案为：25或7．


16．（2020春•东丽区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AC＝　　．

【分析】根据BC＝2，DB＝1，CD＝，利用勾股定理的逆定理可以判断△CDB的形状，然后根据勾股定理即可得到AC的长，本题得以解决．
【解析】∵BC＝2，DB＝1，CD＝，
∴DB2+CD2＝1+3＝4＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴∠CDA＝90°，
∵AB＝4，BD＝1，
∴AD＝3，
∴AC＝＝＝2，
故答案为：2．
17．（2021秋•大埔县期末）如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为　36　．

【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．
【解析】如图，连接BD，
∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，
根据勾股定理得，BD＝5，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB•AD+BC•BD
＝×3×4+×12×5
＝36．
故答案为：36．

18．（2019秋•市南区期末）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是　0.48　分钟．

【分析】（1）作AD⊥ON于D，以A为圆心50m为半径画圆，交ON于B、C两点，求出BC的长，利用时间＝计算即可．
【解析】作AD⊥ON于D，
∵∠MON＝30°，AO＝160m，
∴AD＝OA＝80m，
以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝60m，
∴BC＝120m，
∵卡车的速度为250米/分钟，
∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，
故答案为：0.48．

三．解答题（共6小题）
19．（2020秋•郫都区期末）如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求图中阴影部分土地的面积．

【分析】（1）先由勾股定理求出AC＝5米，再由勾股定理的逆定理证出∠ADC＝90°即可；
（2）由三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米，
∴AC＝＝＝5（米），
∵CD＝3米，AD＝4米，
∴AD2+CD2＝AC2＝25，
∴∠ADC＝90°；
（2）解：图中阴影部分土地的面积＝A×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24（平方米）．
20．（2021秋•高新区月考）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）△ABC的面积；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

【分析】（1）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可作出判断．
【解析】（1）S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×3×4﹣×1×2＝5，
（2）∵AC2＝22+12＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝42+32＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
21．（2021秋•丹阳市期中）如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．
（1）判断△ACD的形状；
（2）求这块绿地ABCD的面积．

【分析】（1）由勾股定理求出AC，根据AC2+CD2＝AD2即可判定△ACD为直角三角形；
（2）由直角三角形面积即可计算该绿地的面积．
【解析】（1）∵∠B＝90°，
在直角△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝5（m），
∵52+122＝132，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD，
∴S四边形ABCD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36（m2），
答：该绿地ABCD的面积为36m2．
22．（2020•庐江县一模）英雄的武汉人民在新冠肺炎疫情来临时，遵照党中央指示：武汉封城．经过76天封城于4月8日解封．小红同学与小颖同学相约在公园一角相距200m放风筝．已知小红的风筝线和水平线成30°，小颖的风筝线和水平线成45°，在某一时刻他们风筝正好在空中相遇（如图所示），求风筝的高度．即在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，AD⊥BC，D为垂足，BC＝200m，求AD．

【分析】根据直角三角形的边长关系和解直角三角形的应用解答即可．
【解析】设AD＝xcm，在Rt△ADC中，∠ACB＝45°，
∴CD＝x，BD＝200﹣x，
在Rt△ADB中，∠ABC＝30°，tanB＝，
即tan30°＝，
，
解得：x＝100（﹣1）米，
答：AD约为100（﹣1）米．
23．（2020秋•太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．

【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；
（2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．
【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；

（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
24．（2021秋•兰考县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．

【分析】（1）由勾股定理求解即可；
（2）①由题意得：BP＝tcm，分两种情况：①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，则BP＝BC＝4cm，得t＝4；
②当∠BAP＝90°时，CP＝（t﹣4）cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，求解即可．
【解析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm）；
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图1所示：
点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP＝90°时，如图2所示：
则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，
∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，
即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，
解得：t＝；
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或s．