初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形习题

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【题型1 腰和底不明时需分类】
【题型2 顶角和底角不明时需讨论】
【题型3 涉及中线、高位置的讨论】
【题型4 等腰三角形个数的讨论】
【题型5 动点引起的分类】
【题型1 腰和底不明时需分类】
【典例1】（2023春•连州市期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．6或12
【答案】C
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，它的周长是10．
故选：C．
【变式1-1】（2023春•牡丹区期末）已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】B
【解答】解：6+5+5＝16，
故选：B．
【变式1-2】（2023春•东昌府区期末）等腰三角形的周长为21cm，如果它的一边长为5cm，那么其另两边长为（ ）
A．5，8B．8，8C．5，11D．11，11
【答案】B
【解答】解：（1）当5是腰长时，底边为21﹣5×2＝11，
此时11、5、5三边不能够组成三角形，
（2）当5为底边长时，腰长为×（21﹣5）＝8，
此时8、8、5能够组成三角形，
所以另两边长为8，8．
故选：B．
【变式1-3】（2023春•巴中期末）等腰三角形的周长为32cm，一边长为8cm，则其它两边长是（ ）
A．8cm，16cmB．12cm，12cm
C．8cm，16cm或12cm，12cmD．12cm，8cm
【答案】B
【解答】解：∵等腰三角形的周长为32cm，一边长为8cm，
∴当底边长为8cm时，其它两边长是，
当腰长为8cm时，其它两边长是8cm或32﹣2×8＝16（cm），
8+8＝16，此时三边不能构成三角形，
综上，其它两边长是12cm，12cm．
故选：B．
【变式1-4】（2023春•埇桥区月考）已知等腰三角形的两边a，b满足，则等腰三角形的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．16或20
【答案】C
【解答】解：∵+|b﹣8|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣8＝0，
∴a＝4，b＝8．
当a＝4为底时，腰长为8，8，4+8＞8，能组成三角形，故周长为4+8+8＝20．
当b＝8为底时，腰长为4，4，4+4＝8，不能组成三角形．
所以等腰三角形的周长为20．
故选：C．
【题型2 顶角和底角不明时需讨论】
【典例2】（2023春•绥棱县期末）等腰三角形一个角为30°，其它两个角的度数是（ ）
A．75°，75°或30°，120°B．30°，75°或30°，45°
C．30°，65°或30°，45°D．30°，55°或30°，75°
【答案】A
【解答】解：（1）当30°的内角为这个等腰三角形的顶角，
则另外两个内角均为底角，它们的度数为，
∴其它两个角的度数是75°，75°；
（2）当30°的内角为这个等腰三角形的底角，
则另两个内角一个为底角，一个为顶角，
底角为30°，顶角为180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴其它两个角的度数是30°，120°；
综上，另外两个内角的度数分别是75°，75°或30°，120°．
故选：A．
【变式2-1】（2023春•渠县校级期末）若等腰三角形一个外角等于100°，则它的顶角度数为（ ）
A．20°B．80°C．20°或80°D．无法确定
【答案】C
【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角＝180°﹣100°＝80°；
②若100°是底角的外角，则底角＝180°﹣100°＝80°，那么顶角＝180°﹣2×80°＝20°．
故选：C．
【变式2-2】（2023春•宽甸县期末）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°
【答案】B
【解答】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为（180°﹣80°）＝50°；
②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：B．
【变式2-3】（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40°B．100°C．40°或100°D．50°或70°
【答案】C
【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，
当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：C．
【题型3 涉及中线、高位置的讨论】
【典例3】（2023春•莲池区校级期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为32°，则它的顶角的度数是（ ）
A．32°B．58°C．122°D．58°或122°
【答案】D
【解答】解：如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝32°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝58°，
此时顶角的度数为58°．
如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝32°，
∴∠BAC＝90°+∠ABD＝122°．
此时顶角的度数为122°，
故选：D．
【变式3-1】（2023春•菏泽月考）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．50°B．130°C．50°或130°D．65°或130°
【答案】C
【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故选：C．
【变式3-2】（2022秋•硚口区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角的大小是（ ）
A．25°B．20°C．25°或65°D．20°或70°
【答案】D
【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，
故选：D．
【变式3-3】（2022秋•聊城期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．20°B．50°或70°C．70°D．20°或70°
【答案】D
【解答】解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝（90°﹣50°）＝20°，
②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．
故选：D．
【题型4 等腰三角形个数的讨论】
【典例4】（2021秋•越秀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解答】解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故选：B．
【变式4-1】（武汉模拟）平面直角坐标系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【答案】D
【解答】解：当AC＝CB时，
作AB的垂直平分线，交x轴于C1，交y轴于点C2
当AB＝AC时，
以点A为圆心，AB为半径作圆A，交y轴于C3，交x轴于C4、C5，
当AB＝BC时，
以点B为圆心，AB为半径作圆B，交y轴于点C6、C7
故选：D．
【变式4-2】（2023春•莲池区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABP的底边时，符合条件的P点有4个；
②AB为等腰△ABP其中的一条腰时，符合条件的P点有4个．
故选：D．
【变式4-3】（2022秋•香洲区期中）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB＝2，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（4，0），
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．
故选：A．
【变式4-4】（2022秋•佛山校级期中）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标分别为（0，3）、（4，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】C
【解答】解：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；
②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；
③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，
∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥x轴，
∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有7个．
故选：C．
【变式4-5】（2021秋•东安区校级期中）如图，坐标平面内一点A（﹣1，1），O为原点，P是坐标轴上一点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点P的个数是（ ）个．
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解答】解：如图所示，满足条件的点P有8个：
故选：D．
【题型5 动点引起的分类】
【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；
（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∵AB＝10cm，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；
（2）∵△AMN是以MN为底的等腰三角形，
∴AM＝AN，即10﹣2t＝t，
∴当t＝时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形；
（3）当MN⊥AC时，MN∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵MN∥BC，
∴∠NMA＝30°
∴AN＝AM，
∴t＝（10﹣2t），解得t＝，
∴当t＝时，MN∥BC，
CN＝5﹣×1＝．
【变式5-1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠DEC＝ 115 °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【变式5-2】如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 直角三角形 ；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝＝＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
又∵∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝30°+30°＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，
∴∠ECD＝∠CDE＝30°，
∵∠AED＝∠ECD+∠CDE，
∴∠AED＝60°，
②当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，
∴∠CED＝＝＝75°，
∴∠AED＝180°﹣∠CED＝105°，
③当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，
∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠ACB＝120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°．