人教B版 (2019)第十章 复数10.2 复数的运算10.2.1 复数的加法与减法课后复习题

这是一份人教B版 (2019)第十章 复数10.2 复数的运算10.2.1 复数的加法与减法课后复习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))，则复数z1－z2＝( )
A．－1＋2i B．－2－2i C．1＋2i D．1－2i
B [由题意知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i，故选B．]
2．已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋eq \x\t(z)＝4，则复数z的共轭复数eq \x\t(z)＝( )
A．2＋i B．2－i C．－2＋i D．－2－i
B [因为z＝a＋i，所以z＋eq \x\t(z)＝2a＝4，得a＝2．
所以复数z的共轭复数eq \x\t(z)＝2－i．
故选B．]
3．(多选题)对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i为虚数单位，则下列结论中正确的是( )
A．z－eq \x\t(z)＝2a B．|z|＝|eq \x\t(z)|
C．z＋eq \x\t(z)＝2a D．z＋eq \x\t(z)＝2bi
BC [因为z＝a＋bi(a，b∈R)，
所以eq \x\t(z)＝a－bi，故z－eq \x\t(z)＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，所以A错误；|z|＝eq \r(a2＋b2)，|eq \x\t(z)|＝eq \r(a2＋(－b)2)＝eq \r(a2＋b2)．
所以B正确；z＋eq \x\t(z)＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a，所以C正确，D错误．]
4．复平面内正方形三个顶点分别对应复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，则另一个顶点对应的复数为( )
A．2－i B．5i
C．－4－3i D．2－i,5i或－4－3i
A [如图所示，利用eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))，或者eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(DC,\s\up7(→))，求另一顶点对应的复数．设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，因为eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(OD,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))，所以eq \(AD,\s\up7(→))表示的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，因为eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))，所以eq \(BC,\s\up7(→))表示的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i．
因为eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))，所以(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝1，,y－2＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
故D点对应的复数为2－i．]
5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
B [复数z1对应向量Oeq \(A,\s\up7(→))，复数z2对应向量Oeq \(B,\s\up7(→))．
则|z1＋z2|＝|Oeq \(A,\s\up7(→))＋Oeq \(B,\s\up7(→))|，|z1－z2|＝|Oeq \(A,\s\up7(→))－Oeq \(B,\s\up7(→))|，
依题意有|Oeq \(A,\s\up7(→))＋Oeq \(B,\s\up7(→))|＝|Oeq \(A,\s\up7(→))－Oeq \(B,\s\up7(→))|，
所以以Oeq \(A,\s\up7(→))，Oeq \(B,\s\up7(→))为邻边所作的平行四边形是矩形．
所以△AOB是直角三角形．]
二、填空题
6．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝____________________，z2＝____________________．
5－9i －8－7i [z＝z1－z2
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((3x＋y)＋(y－4x)i))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((4y－2x)－(5x＋3y)i))
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x－3y＝13，,x＋4y＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))
所以z1＝5－9i，z2＝－8－7i．]
7．设z1＝1－i，z2＝a＋2ai(a∈R)，其中i是虚数单位，若复数z1＋z2是纯虚数，则a＝____________________．
－1 [因为z1＝1－i，z2＝a＋2ai，所以z1＋z2＝a＋1＋(2a－1)i，因为复数z1＋z2是纯虚数，所以a＋1＝0,2a－1≠0，所以a＝－1．]
8．已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________________．
2eq \r(2)＋1 [如图所示，因为|z|＝1，所以z所对应点的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|的最大值为2eq \r(2)＋1．]
三、解答题
9．设m∈R，复数z1＝eq \f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
[解] 因为z1＝eq \f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，
z2＝－2＋m(m－3)i，所以z1＋z2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2＋m,m＋2)－2))＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝eq \f(m2－m－4,m＋2)＋(m2－2m－15)i．
因为z1＋z2是虚数，所以m2－2m－15≠0且m≠－2，所以m≠5且m≠－3且m≠－2，所以m的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．
10．已知复数|z|＝2，求复数1＋eq \r(3)i＋z的模的最大值、最小值．
[解] 由已知，复数z对应的点Z在复平面内以原点为圆心，半径为2的圆上，设w＝1＋eq \r(3)i＋z，所以z＝w－1－eq \r(3)i，所以|z|＝|w－(1＋eq \r(3)i)|＝2．
于是复数w对应的点在复平面内以(1，eq \r(3))为圆心，半径为2的圆上，如图所示，此时圆上的点A对应的复数wA的模有最大值，圆上的点B对应的复数wB的模有最小值，故|1＋eq \r(3)i＋z|max＝4，|1＋eq \r(3)i＋z|min＝0．
11．(多选题)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是( )
A．若复数z满足|z－i|＝eq \r(5)，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心，eq \r(5)为半径的圆上
B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数z1对应的向量为eq \(OZ1,\s\up7(→))，复数z2对应的向量为eq \(OZ2,\s\up7(→))，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则eq \(OZ1,\s\up7(→))⊥eq \(OZ2,\s\up7(→))
CD [满足|z－i|＝eq \r(5)的复数z对应的点在以(0,1)为圆心，eq \r(5)为半径的圆上，A错误；
在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq \r(a2＋b2)．由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝2＋8i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－15，,b＝8，))所以z＝－15＋8i，B错误；
由复数的模的定义知C正确；
由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．]
12．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．4eq \r(2) D．16
C [由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
所以x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，
所以2x＋4y＝2x＋22y≥2eq \r(2x＋2y)＝2eq \r(23)＝4eq \r(2)，
当且仅当x＝2y＝eq \f(3,2)时，2x＋4y取得最小值4eq \r(2)．]
13．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝____________________．
3＋3eq \r(2) [因为z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，
所以f(z1＋z2)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|
＝3＋eq \r(32＋32)＝3＋3eq \r(2)．]
14．已知复数z1＝cs α＋isin α，z2＝cs β＋isin β，|z1－z2|＝eq \f(2\r(5),5)，则cs(α－β)＝________________．
eq \f(3,5) [因为z1＝cs α＋isin α，z2＝cs β＋isin β，
所以z1－z2＝(cs α－cs β)＋i(sin α－sin β)．
因为|z1－z2|＝eq \f(2\r(5),5)，
所以eq \r((cs α－cs β)2＋(sin α－sin β)2)＝eq \f(2\r(5),5)，
两边平方后整理得cs(α－β)＝eq \f(3,5)．]
15．已知在复平面内，O为坐标原点，向量eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))分别对应复数z1，z2，且z1＝eq \f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq \f(2,1－a)＋(2a－5)i，eq \x\t(z1)＋z2是实数．
(1)求实数a的值；
(2)求以eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))为邻边的平行四边形的面积S．
[解] (1)因为eq \x\t(z1)＋z2＝eq \f(3,a＋5)－(10－a2)i＋eq \f(2,1－a)＋(2a－5)i＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋(a2＋2a－15)i是实数，
所以a2＋2a－15＝0，
所以a＝3或a＝－5(舍去)，
所以a＝3．
(2)由(1)知z1＝eq \f(3,8)＋i，z2＝－1＋i，
所以eq \(OZ1,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，1))，eq \(OZ2,\s\up7(→))＝(－1,1)，
所以|eq \(OZ1,\s\up7(→))|＝eq \f(\r(73),8)，|eq \(OZ2,\s\up7(→))|＝eq \r(2)，
所以cs〈eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))〉
＝eq \f(\(OZ1,\s\up7(→))·\(OZ2,\s\up7(→)),\(|\(OZ1,\s\up7(→))||\(OZ2,\s\up7(→))|))
＝eq \f(－\f(3,8)＋1,\f(\r(73),8)×\r(2))
＝eq \f(5,\r(146))，
所以sin〈eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))〉＝eq \r(1－\f(25,146))＝eq \f(11,\r(146))，
所以S＝|eq \(OZ1,\s\up7(→))||eq \(OZ2,\s\up7(→))|sin〈eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))〉
＝eq \f(\r(73),8)×eq \r(2)×eq \f(11,\r(146))
＝eq \f(11,8)．