高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.2 复数的运算10.2.1 复数的加法与减法课文内容课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.2 复数的运算10.2.1 复数的加法与减法课文内容课件ppt，共33页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，微练习1，答案B，微练习2，答案-1-7i，探究一，探究二，探究三，素养形成等内容，欢迎下载使用。

随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学技术的进步,逐步建立起来的复变函数理论在研究堤坝渗水问题、建设大型水电站等领域也有广泛的应用.而复变函数理论中离不开复数的加、减、乘、除运算.1747年,法国著名的数学家达朗贝尔(1717—1783)指出,如果按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算,那么运算的结果总是a+bi的形式,其中a,b都是实数.他开创了复数四则运算的先河.
知识点一:复数的加法与减法的运算法则1.复数的加、减法法则一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称 z1+z2为z1与z2的和,并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,由复数和的定义可知,两个共轭复数的和一定是实数.一般地,复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z,并规定-z=-(a+bi)=-a-bi.复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2).一般地,如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
2.复数加法运算律复数的加法运算满足交换律与结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).名师点析 1.复数加(减)法的规定:实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减),两个复数的和(差)仍然是一个复数,复数的加(减)法可以推广到多个复数相加(减),即几个复数相加(减),只需把复数的所有实部相加(减),所有的虚部相加(减).2.若z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),当b=d=0时,与实数的加减法一致.
微判断(1)复数加法运算符合实数加法的运算律.(　　)(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.(　　)(3)一个复数减去另一个复数等于这个复数加上另一个复数的相反数.(　　)答案:(1)√　(2)×　(3)√
微练习1已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于(　　)A.8i　　　　　　B.6C.6+8i D.6-8i答案:B微练习2已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于(　　)A.0B.2iC.6D.6-2i答案:D
知识点二:复数加法、减法的几何意义1.复数加法、减法的几何意义
2.性质由复数加法、减法的几何意义可以得出||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
微思考复平面内两点间距离公式及复数形式的基本图形有哪些?请举例说明.提示: ①设复数z1,z2对应的两点Z1,Z2的距离为d,由复数减法的几何意义,可得复平面内两点间的距离公式d=|z1-z2|.②|z-z1|=r(r>0)表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,半径为r的圆.③|z-z1|=|z-z2|,表示以复数z1,z2的对应点为端点的线段的垂直平分线.
复数的加法、减法运算例1计算:(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i);(2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i);(3)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a,b∈R).
解:(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i.(2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i.(3)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i.
反思感悟 复数的加法、减法运算(1)复数的加法、减法运算类似于合并同类项,实部与实部合并,虚部与虚部合并,注意符号是易错点;(2)复数的加法、减法运算的结果仍是复数;(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算;(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.
复数加法、减法运算的几何意义例2已知平行四边形ABCD的顶点A,B,D对应的复数分别为1+i,4+3i,-1+3i.试求:
反思感悟 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量 对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减起点对应的复数).
变式训练 2在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.
复数模的最值问题例3(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(　　)
(1)答案:A解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.
(2)解:如图所示,
反思感悟 (1)|z1-z2|表示复平面内复数z1,z2对应的点Z1与Z2之间的距离.在应用时,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式;(2)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.
延伸探究 已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.
解:因为|z|=1且z∈C,作图如下:
所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,
变式训练 3设z1,z2∈C,|z1|=1,|z2|=2,求|z1+2z2|的最大值.
|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是将模长问题转化为距离问题,将看上去抽象的有关复数模的表达式,转化为直观形象的图形问题,体现了“数学探索”的核心素养.
典例已知z∈C,指出下列等式所表示的几何图形:(1)|z+1+i|=1;(2)|z-1|=|z+2i|.
解:(1)表示以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆.(2)以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.
方法点睛1.|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义设复数z,z0在复平面内分别对应点A,B,则|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是点A到点B的距离.2.|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用(1)判断点的集合.(2)利用几何知识解决代数问题.
1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　　)A.-2B.4C.3D.-4答案:B解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,z的虚部是4,故选B.2.已知复数z满足z-2i=1(其中i为虚数单位),则|z|=(　　)
3.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x=　　　　　,y=　　　　　.