高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.2.1 复数的加法与减法教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.2.1 复数的加法与减法教学设计，共6页。教案主要包含了教学过程，教师小结等内容，欢迎下载使用。
复数的加法与减法 教 学 目 标核 心 素 养1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．（重点）2.理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．（难点、易混点）通过复数的加法与减法的学习，提升学生的数学运算素养.【教学过程】一、问题导入我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律，即时，必定有，.那么，复数中的加法应该如何规定，才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？二、新知探究1.复数的加减法运算【例1】（1）________.（2）已知复数z满足，求z.（3）已知复数z满足，求z.[解析]（1）.[答案]（2）解：法一：设，因为，所以，即且，解得，，所以.法二：因为，所以.（3）解：设，则，又，所以，由复数相等得，解得，所以.【教师小结】复数加减运算法则的记忆：（1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．（2）把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有与z时，一般要用待定系数法，设．2.复数加减法的几何意义【例2】（1）在复平面内，平行四边形ABCD（顶点顺序为ABCD）的三个顶点A，B，C对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为__________．（2）已知，，，求.[思路探究]（1）先写出点A，B，C的坐标，利用向量列方程求解．（2）由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．（1）[解析]设，类比向量的运算知，所以有复数，得，，所以D对应的复数为.[答案]（2）解：设复数，，在复平面上对应的点分别为，，Z，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，在中，由余弦定理，得，所以，所以，因此是正三角形，所以．若把上例（2）中的条件“”改为“”，则等于多少？[解]设复数，在复平面上对应的点分别为，，由，知，以，为邻边的平行四边形是菱形，OZ为对角线，为正三角形，由余弦定理，得，因为，所以，所以.【教师小结】利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论（一）技巧（1）形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．（2）数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．（二）常见结论在复平面内，，对应的点分别为A，B，对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：（1）为平行四边形；（2）若，则四边形OACB为矩形；（3）若，则四边形OACB为菱形；（4）若且，则四边形OACB为正方形．3.复数加减法的几何意义的应用[探究问题]（1）在实数范围内恒成立，在复数范围内是否有恒成立呢？提示：若，则成立．否则.如果，，虽然，但不能说大于i.（2）复数的几何意义是什么？提示：复数表示复数，对应两点与间的距离．【例3】复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,，由A→B→C→D按逆时针顺序作，求.[思路探究]首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．[解]如图，设，F为的对角线的交点，则点F的坐标为，所以，即．所以点D对应的复数为，所以，所以.【教师小结】（1）解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．（2）复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量）、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．三、课堂总结（一）复数代数形式的加减法1．运算法则设，，则，.2．加法运算律设，有，．（二）复数加减法的几何意义若复数，对应的向量分别为，.复数加法的几何意义复数是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数四、课堂检测1．（2019·全国卷Ⅰ）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ）A． B．C． D．[答案]C2．设复数对应的点在虚轴右侧，则（    ）A．， B．，C．， D．，[解析]复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．[答案]D3．已知，且是纯虚数，则________.[解析]设，，且是纯虚数，则，由①可得..[答案]3i4．若，则的最小值是________ .[解析]由，知z对应点的轨迹是到与到点距离相等的点即虚轴，表示z对应的点到点的距离，．[答案]15．集合，，集合.（1）指出集合P在复平面内所表示的图形；（2）求集合P中复数模的最大值和最小值． [解]（1）由可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点和为端点的线段的垂直平分线l，因此，集合P在复平面内所表示的图形是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图．（2）由（1）知，圆的方程为，直线l的方程为．解方程组，得，.所以，.因为点O到直线l的距离为，且过点O向l作垂线，垂足在线段BE上，，所以集合P中复数模的最大值为，最小值为.