人教B版 (2019)必修 第四册11.1.1 空间几何体与斜二测画法综合训练题

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册11.1.1 空间几何体与斜二测画法综合训练题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．关于斜二测画法所得直观图的说法，正确的是( )
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
D [由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]
2．如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则梯形O′A′B′C′的高为( )
A．eq \f(\r(2),4) B．eq \f(\r(2),3) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \r(2)
A [因为四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高为1，面积S＝eq \f(1,2)×(1＋3)×1＝2，所以等腰梯形OABC的直观图的面积S′＝2×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2)．设梯形O′A′B′C′的高为h，则eq \f(1,2)×(1＋3)×h＝eq \f(\r(2),2)，解得h＝eq \f(\r(2),4)．故选A．]
3．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
B [由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB．]
4．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm
D [圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm．故选D．]
5．如图，△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′，其中A′B′＝2，则△ABC的面积为( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
D [因为等腰Rt△A′B′C′是一平面图形的直观图，直角边长为A′B′＝2，
所以直观图的面积是eq \f(1,2)×2×2＝2，
因为平面图形与直观图的面积的比为2eq \r(2)，
所以原平面图形的面积是2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)．]
二、填空题
6．在棱长为4 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为 cm，棱A′A1′的长为 cm．
2 4 [在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4 cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2 cm．]
7．有一个长为5，宽为4的矩形，则其直观图的面积为 ．
5eq \r(2) [由于该矩形的面积S＝5×4＝20，所以由公式S′＝eq \f(\r(2),4)S，得其直观图的面积为S′＝eq \f(\r(2),4)S＝5eq \r(2)．]
8．如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为 ．
6 [由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，所以S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB＝6．]
三、解答题
9．如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
[解] 由已知中四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：这是一个底边长为2，高为eq \r(2)的平行四边形．故原图形的面积为2eq \r(2)．
10．如图所示，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图．其中A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq \f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1．
(1)如何利用斜二测画法法则画出原四边形？
(2)如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积？
[解] (1)如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2，
在过点D与y轴平行的线上截取DA＝2D1A1＝2．在过点A与x轴平行的线上截取AB＝A1B1＝2．连接BC，擦去作图过程中的辅助线，即得到了原四边形．
(2)由图可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底边长度分别为2,3，直角腰的长度AD＝2，所以面积S＝eq \f(2＋3,2)×2＝5．
易得直观图中梯形的高为eq \f(\r(2),2)，因此其面积S′＝eq \f(1,2)×(2＋3)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(5\r(2),4)．
11．(多选题)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原三角形ABC中( )
A．AB与AC相等
B．AD的长度大于AC的长度
C．AB的长度大于AD的长度
D．BC的长度大于AD的长度
AC [根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，如图．首先建立平面直角坐标系xOy，BC∥x轴，并且BC＝B′C′，D是BC的中点，并且作AD∥y轴，即AD⊥BC，且AD＝2A′D′，连接AB，AC，所以△ABC是等腰三角形，即AB＝AC，所以AB＝AC>AD，BC的长度与AD的长度不定，故选AC．]
12．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A．8 cm
B．6 cm
C．2(1＋eq \r(3))cm
D．2(1＋eq \r(2))cm
A [原图形OABC为平行四边形，如图．
OA＝1，AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝3，
所以四边形OABC周长为8 cm．]
13．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为 ．
2＋eq \f(\r(2),2) [过A作AE⊥BC，垂足为E．
又因为DC⊥BC且AD∥BC，
所以四边形ADCE是矩形．
所以EC＝AD＝1．由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝eq \f(\r(2),2)．所以原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋eq \f(\r(2),2)，高为2．所以原平面图形的面积为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq \f(\r(2),2)．]
14．已知△ABC的面积为2eq \r(2)，用斜二测法画出其水平放置的直观图△A′B′C′如图所示，若O′A′＝O′B′＝1，则B′C′的长为 ．
1 [△ABC的面积为S＝2eq \r(2)，则用斜二测画法画出其水平放置的直观图△A′B′C′的面积为S′＝eq \f(S,2\r(2))＝1，即eq \f(1,2)A′B′·O′C′sin 45°＝eq \f(1,2)×2×O′C′×eq \f(\r(2),2)＝1，解得O′C′＝eq \r(2)，在△O′B′C′中，由余弦定理得，B′C′2＝O′B′2＋O′C′2－2O′B′·O′C′cs 45°＝1＋2－2×1×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1，所以B′C′＝1．]
15．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．
[解] 由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．