人教版八年级数学上学期期中模拟卷02（学生版+教师版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（3分）（2021秋•天门月考）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（3分）（2020秋•阜南县期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，1B．4，11，6C．5，5，5D．4，4，8
解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A、1+2＝3，不能组成三角形；
B、4+6＜11，不能组成三角形；
C、5+5＞5，能够组成三角形；
D、4+4＝8，不能组成三角形．
故选：C．
3．（3分）（2020秋•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A．ABB．BDC．AED．BE
解：根据三角形的高的定义，AE为△ABC中BC边上的高．
故选：C．
4．（3分）（2022秋•新化县期末）将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ ）
A．75°B．105°C．135°D．165°
解：∠AOC＝∠DAB﹣∠C＝15°，
∴∠α＝180°﹣15°＝165°，
故选：D．
5．（3分）（2021春•江津区校级月考）已知点P关于x轴的对称点P′的坐标是（5，﹣1），则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：∵点P关于x轴的对称点P′的坐标是（5，﹣1），
∴P（5，1），
则P点所在象限是第一象限．
故选：A．
6．（3分）（2018秋•南通期末）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC．下列条件中不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．BD＝CEB．BE＝CDC．AD＝AED．∠B＝∠C
解：若BD＝CE，则依据AB＝AC，可得AD＝AE，
由AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD，可得△ABE≌△ACD（SAS），
故A选项能判断△ABE≌△ACD；
若BE＝CD，则不能得到△ABE≌△ACD，
故B选项不能判断△ABE≌△ACD；
若AD＝AE，则可得△ABE≌△ACD（SAS），
故C选项能判断△ABE≌△ACD；
若∠B＝∠C，则由∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，可得△ABE≌△ACD（ASA），
故D选项能判断△ABE≌△ACD；
故选：B．
7．（3分）（2020秋•太原期末）已知点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）关于某条直线对称，则这条直线是（ ）
A．x轴
B．y轴
C．过点（4，0）且垂直于x轴的直线
D．过点（0，﹣4）且平行于x轴的直线
解：点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是关于直线x＝4对称，
故选：C．
8．（3分）（2020秋•平房区期末）到△ABC的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
9．（3分）（2021秋•杭锦后旗期中）在以BC为底边的等腰三角形ABC中，两底角为75°，AC＝8，则△ACB的面积是（ ）
A．12B．24C．18D．16
解：过点B作BD⊥AC于D，
∵BC为等腰三角形ABC的底边，两底角为75°，AC＝8，
∴AB＝AC＝8，∠A＝30°，
∵BD⊥AC，
∴BD＝AB＝4，
∴S△ACB＝AC•BD＝×8×4＝16．
故选：D．
10．（3分）（2020秋•东湖区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论：
①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等；
③∠BOC＝；
④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn；
⑤AD＝．
其中正确的结论是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故③正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④错误；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．
∴AM＝AD，BM＝BN，CD＝CN，
∵AM+BN＝AB，AD+CD＝AC，BN+CN＝BC，
∴AD＝（AB+AC﹣BC）．故⑤正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（3分）（2021秋•句容市期末）如图，∠AOB是一角度为α的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件EF、FG、GH…，且OE＝EF＝FG＝GH…，在OA、OB足够长的情况下，一直摆放木条，直到6根为止，则锐角α的范围为 （）°≤α＜15° ．
解：∵OE＝EF，∠AOB＝α，
∴∠EFO＝α，
∵∠GEF是△OEF的外角，
∴∠GEF＝2α，
∵EF＝FG，
∴∠EGF＝∠GEF＝2α，
∵∠GFH是△OGF的外角，
∴∠GFH＝∠O+∠EGF＝3α，
综上所述，添加一根木件，三角形的外角为2α；
添加两根木件，三角形的外角为3α；
……
∴添加6根木件，三角形的外角为7α，
∵等腰三角形的底角必须是锐角，
∴，
∴（）°≤α＜15°．
故答案为：（）°≤α＜15°．
12．（3分）（2022春•宿州期末）等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为 9 cm．
解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，
∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
所以三角形的第三边为9cm，
故答案为：9．
13．（3分）（2022•莱芜区二模）一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大20°，则这个正多边形的边数为 9 ．
解：设每个外角为x°，则内角为（3x+20）°，
∴x+3x+20＝180，
解得x＝40，
∴边数＝360°÷40°＝9．
故答案为：9．
14．（3分）（2021秋•平阳县期中）当三角形中一个内角β是另一个内角α的2倍时，我们称此三角形为“幸运三角形”，其中角α称为“幸运角”．如果一个“幸运三角形”中有一个内角为48°，那么这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为 48°或24°或44° ．
解：设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、α．
当α＝48°，则∠1＝24°．
当∠1＝48°，则α＝2∠1＝96°．
当∠2＝48°，则∠1+α＝180°﹣∠2＝132°．
∴3∠1＝132°．
∴∠1＝44°．
综上：“幸运角”α可能为48°或24°或44°．
故答案为：48°或24°或44°．
15．（3分）（2021春•威宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝4cm，则D到AB的距离是 4 cm．
解：∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴D到AB的距离是＝CD，
∵CD＝4cm，
∴D到AB的距离是4cm．
故答案为：4．
16．（3分）（2021春•历城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，以点B为圆心、以BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为 109° ．
解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣52°＝38°，
∵BC＝BD，∠BCD+∠BDC+∠B＝180°，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣38°）＝71°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝71°+38°＝109°，
故答案为：109°．
三、解答题（本大题8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2020秋•江夏区校级月考）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AB∥DE，AC∥DF．求证：AB＝DE，AC＝DF．
证明：∵BF＝EC，
∴BC＝EF，
∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE，AC＝DF．
18．（10分）（2023春•河南期中）如图，在△ABC中，以A点为圆心，AB的长为半径画弧交AC于D点，分别以B，D点为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于E点，作射线AE，交BC于点F，连接DF．
（1）求证：△ABF≌△ADF；
（2）若∠B＝110°，∠C＝40°，求∠DFC的度数．
（1）证明：由题意可知，∠BAF＝∠DAF，AB＝AD，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS）；
（2）解：由（1）可知，△ABF≌△ADF，
∴∠B＝∠ADF＝110°，
∵∠ADF＝∠DFC+∠C，
∴∠DFC＝∠ADF﹣∠C＝110°﹣40°＝70°，
即∠DFC的度数为70°．
19．（8分）（2023•绥德县校级开学）如图，在△ABC中，AD为△ABC的高，点E为AC上一点，BE交AD于点F，BF＝AC，FD＝CD．求证：BD＝AD．
证明：∵AD为△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．
∴BD＝AD，
20．（8分）（2022秋•孝昌县期中）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．若∠ACE＝20°
（1）求∠CED的度数；
（2）若AB＝，CE＝4．求AD的长．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，CB＝CA，
∵∠ACE＝20°，
∴∠ECB＝60°﹣20°＝40°，
由翻折的性质可知，CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝40°，
∴CA＝CD，∠ACD＝40°﹣20°＝20°，
∴∠CAD＝∠D＝80°，
∵∠DAC＝∠CED+∠ACE，
∴∠CED＝80°﹣20°＝60°．
（2）设∠ACE＝x，由（1）已得：∠DCE＝60°−x，∠D＝60°+x，
∴∠CED＝180°−∠DCE−∠D＝180°−（60°−x）−（60°+x）＝60°，
如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵在Rt△CEF中，CE＝4，∠CED＝60°，∠ECF＝30°，
∴EF＝12CE＝2，CF＝＝2，
∵AC＝AB＝，
∴在Rt△ACF中，AF＝＝，
又∵AC＝CD，CF⊥DE，
∴AD＝2AF＝2×＝1（等腰三角形的三线合一）．
21．（10分）（2021秋•锡山区校级月考）平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为（﹣4，0）、（0，2），以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
①AB的长为 2 ； ②点C的坐标为 （﹣2，6） ；
②你能否在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小？如果能，请画出M点，并求出M的坐标，并直接写出△MDB周长的最小值；如果不能，说明理由．
解：①过C点作CE⊥y轴于E点，如图，
∵A、B两点坐标分别为（﹣4，0）、（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝＝2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ABO，
在△BCE和△ABO中，
，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴CE＝OB＝2，BE＝OA＝4，
∴C（﹣2，6）；
故答案为：2；（﹣2，6）；
②作B点关于x轴的对称点F，则F（0，﹣2），连接DF交x轴于M，此时MD+MB的值最小，△MBD的周长最小，
过DH⊥x轴于H点，如图，
与①中的证明方法一样证明△ADH≌△BAO，
∴DH＝OA＝4，AH＝OB＝2，
∴D（﹣6，4），
设直线DF的解析式为y＝kx+b，
把D（﹣6，4），F（0，﹣2）分别代入得，
解得，
∴直线DF的解析式为y＝﹣x﹣2，
当y＝0时，﹣x﹣2＝0，解得x＝2，
∴M点的坐标为（﹣2，0），
∵DF＝＝6，DB＝AB＝×2＝2，
∴△MDB周长的最小值为6+2．
22．（8分）（2021秋•西平县期末）如图，等边△ABC的边长为12cm，点P，Q分别是边BC，CA上的动点，点P，Q分别从顶点B，C同时出发，且它们的速度都为3cm/s，设运动时间为t秒．
（1）如图1，在P，Q运动的过程中，△PCQ能否成为直角三角形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时t的值．
（2）如图2，连接AP，交BQ于点M，在点P，Q运动的过程中，∠AMQ的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
解：（1）由题意得：BP＝CQ＝3tcm，
所以PC＝（12﹣3t）cm，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
①若∠PQC＝90°时，∠CPQ＝30°，
∴PC＝2CQ，
即12﹣3t＝2×3t，
解得：t＝；
②若∠CPQ＝90°，
∴∠CQP＝30°，
∴CQ＝2PC，
即3t＝2（12﹣3t），
解得：t＝，
所以当t＝或时，△PCQ是直角三角形；
（2）∠AMQ＝60°不变，
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴∠AMQ＝∠ABM+∠BAP
＝∠ABM+∠CBQ
＝∠ABC
＝60°．
23．（10分）（2022秋•清河区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．
（1）求证：OC＝AD；
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；
（3）当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？
解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
∵，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC＝AD；
（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA＝∠OAB＝60°，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；
（3）∵△OBC≌△ABD，
∴∠BOC＝∠BAD＝60°，
又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，
∴AE＝2，
∴AC＝AE＝2，
∴OC＝1+2＝3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
24．（10分）（2023春•朝阳区校级期末）【问题提出】
如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
【问题解决】
经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，经过推理可知△ADC≌△EDB…
（1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB的理由是 B ．
A．边边边
B．边角边
C．角边角
D．斜边直角边
（2）AD的取值范围为 1＜DA＜5 ．
【方法总结】
解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”．
【应用】
如图②，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E在AB边上，AD与CE相交于点F，EA＝EF，求证：AB＝CF．
【拓展】
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，点E为BC边的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，若AF＝1.5，CF＝4.5，则△ABC的面积为 9 ．
【问题解决】解：（1）由作图的过程知，AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
则△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（2）解：∵△ADC≌△EDB，则AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB+BE＞AE＝2AD＞AB﹣BE，
即10＞2AD＞2，
即1＜DA＜5，
故答案为：1＜DA＜5；
【方法总结】
【应用】证明：如图2，延长AD至H，使AD＝DH，
同理可得：△ADB≌△HDC（SAS），
∴AB＝CH，∠BDA＝∠H，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠FAE＝∠H，
∴CF＝CH＝AB，
即AB＝CF；
【拓展】解：如图3，
过点B作BM∥AC交GE于点M，
∴∠C＝∠MBC，
∵∠BEM＝∠CEF，BE＝CE，
∴△BEM≌△CEF（SAS），
∴∠M＝∠MFC＝∠AFC，BM＝FC＝4.5，
∵AD平分∠BAC，BM∥AC，
则∠BAD＝∠DAC＝45°＝∠G＝∠AFG，∠M＝∠AFG＝45°，
∴∠G＝∠M，
∴BM＝4.5＝AG，
则AB＝4.5﹣1.5＝3，
∵∠G＝45°，
则△AFG为等腰直角三角形，
则AF＝AG＝1.5，
则AC＝AF+FC＝1.5+4.5＝6，
则△ABC的面积＝AB×AC＝＝9，
故答案为：9