人教B版高中数学选择性必修第二册第4章4-1-2第1课时乘法公式学案

这是一份人教B版高中数学选择性必修第二册第4章4-1-2第1课时乘法公式学案，共6页。

4.1.2　乘法公式与全概率公式第1课时　乘法公式小明在登录电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9中的任意一个．问题：他在尝试登录时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？[提示]　eq \f(9,10)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,10)．知识点　乘法公式及其推广(1)乘法公式：P(BA)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0．(2)乘法公式的推广：设Ai表示事件，i＝1，2，3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率．　P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之间存在怎样的等量关系？[提示]　P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0．1．已知P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,5)，则P(AB)等于(　　)A．eq \f(5,6) B．eq \f(9,10) C．eq \f(2,15) D．eq \f(1,15)C　[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,15)，故选C．]2．若P(B|A)＝eq \f(1,3)，则P(eq \o(B,\s\up6(－))|A)＝________．eq \f(2,3)　[P(eq \o(B,\s\up6(－))|A)＝1－P(B|A)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)．] 类型1　乘法公式及其应用利用乘法公式解决实际问题的一般步骤是什么？[提示]　(1)判断该应用题是否可应用乘法公式求解；(2)根据已知条件表示出各事件的概率；(3)代入乘法公式求出所要求的概率．【例1】　一袋中装10个球， 其中3个黑球、7个白球， 先后两次从中随意各取一球(不放回)， 求两次取到的均为黑球的概率．[解]　设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1，2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”． 由题设知P(A1)＝eq \f(3,10)，P(A2|A1)＝eq \f(2,9)，于是根据乘法公式， 有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(3,10)×eq \f(2,9)＝eq \f(1,15)．[母题探究]1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率．[解]　用A表示第一次取得黑球，则P(A)＝eq \f(3,10)，用B表示第二次取得白球，则P(B|A)＝eq \f(7,9)．故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(3,10)×eq \f(7,9)＝eq \f(7,30)．2．(变结论)在本例条件不变的情况下，两次均取得白球的概率．[解]　用Bi表示第i次取得白球，i＝1，2，则B1B2表示事件“两次取到的均是白球”．由题意得P(B1)＝eq \f(7,10)，P(B2|B1)＝eq \f(2,3)．∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝eq \f(7,10)×eq \f(2,3)＝eq \f(7,15)．乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解即可．[跟进训练]1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为________．0.72　[设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”．因为P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))＝96%，P(B|A)＝75%，且事件B发生时事件A一定发生，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72．] 类型2　乘法公式的推广及应用【例2】　设某光学仪器厂制造的透镜， 第一次落下时打破的概率为eq \f(1,2)， 若第一次落下未打破， 第二次落下打破的概率为eq \f(7,10)， 若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为eq \f(9,10)． 试求透镜落下三次而未打破的概率．[解]　以Ai(i＝1，2，3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2eq \o(A,\s\up6(－))3，故有P(B)＝P(eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2eq \o(A,\s\up6(－))3)＝P(eq \o(A,\s\up6(－))1)·P(eq \o(A,\s\up6(－))2|eq \o(A,\s\up6(－))1)P(eq \o(A,\s\up6(－))3|eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))＝eq \f(3,200)．该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1) P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)求解．[跟进训练]2．在100件产品中有5件是次品，从中连续不放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率．(结果保留两位有效数字)[解]　设Ai表示“第i次取得次品”(i＝1，2，3)，B表示“第三次才取到次品”，则B＝eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2A3，∴P(B)＝P(eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2A3)＝P(eq \o(A,\s\up6(－))1)P(eq \o(A,\s\up6(－))2|eq \o(A,\s\up6(－))1)P(A3|eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2)＝eq \f(95,100)×eq \f(94,99)×eq \f(5,98)≈0.046． 类型3　乘法公式的综合应用1．P(B|A)与P(eq \o(B,\s\up6(－))|A)存在怎样的等量关系？[提示]　P(B|A)＋P(eq \o(B,\s\up6(－))|A)＝1．2．若A1，A2，A3是互斥事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，则A1∪A2∪A3的对立事件与eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2eq \o(A,\s\up6(－))3相同吗？[提示]　相同．【例3】　把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．[思路点拨]　本题可借助互斥事件及乘法公式进行求解．[解]　设A表示从第一个盒子中取得标有字母A的球，B表示从第一个盒子中取得标有字母B的球，R表示第二次取出的球是红球，则容易求得P(A)＝eq \f(7,10)，P(B)＝eq \f(3,10)，P(R|A)＝eq \f(1,2)，P(R|B)＝eq \f(4,5)，事件“试验成功”表示为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(7,10)＋eq \f(4,5)×eq \f(3,10)＝0.59．分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．[跟进训练]3．某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率．[解]　设A1＝“第一次患病心肌受损害”，A2＝“第二次患病心肌受损害”， 则所求概率为P(eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2)．由题意可知：P(A1)＝0.3，P(A2|eq \o(A,\s\up6(－))1)＝0.6．又P(eq \o(A,\s\up6(－))1)＝1－P(A1)＝0.7，P(eq \o(A,\s\up6(－))2|eq \o(A,\s\up6(－))1)＝1－P(A2|eq \o(A,\s\up6(－))1)＝0.4，所以P(eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2)＝P(eq \o(A,\s\up6(－))1)P(eq \o(A,\s\up6(－))2|eq \o(A,\s\up6(－))1)＝0.7×0.4＝0.28．1．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是eq \f(1,2)，在第一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯的概率是eq \f(1,3)，则两次闭合都出现红灯的概率为(　　)A．eq \f(1,6)　　　B．eq \f(5,6)　　　C．eq \f(1,3)　　　D．eq \f(2,3)A　[记第一次闭合出现红灯为事件A，第二次闭合出现红灯为事件B，则P(A)＝eq \f(1,2)，P(B|A)＝eq \f(1,3)，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)．]2．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________．0.72　[设“种子发芽”为事件A，“幼苗成活”为事件B，则“种子成长为幼苗”为事件A∩B，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.72．]3．已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为________．0.15　[设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15，即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15．]回顾本节内容，自主完成以下问题：你是如何理解乘法公式的？[提示]　(1)乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)进一步揭示了P(A)，P(B|A)及P(AB)三者之间的内在联系，体现了“知二求一”的转化与化归思想．(2)该公式同时也给出了“积事件”概率的另一种求解方式，即在事件A，B不相互独立的前提下可考虑条件概率的变形公式，即乘法公式．1．掌握乘法公式及其推广．(重点)2．会用乘法公式求相应事件的概率．(难点)1．通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养．2．借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养．