人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.2 乘法公式与全概率公式学案设计

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若P(B)>0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)，或P(AB)＝P(A)P(B|A)
知识点二 全概率公式
设事件A1，A2，…，An 两两互斥， A1＋A2＋…＋ An＝Ω，且P(Ai)>0(i＝1,2, …，n)，则对任意事件B，有我们把事件A1，A2，…，An 看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B 能且只能在原有A1，A2，…，An 之一发生的条件下发生，求事件B 的概率就是上面的全概率公式P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．
知识点三 贝叶斯公式
1．与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因．
2．一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有P(A|B)＝eq \f(PAPB|A,PB)＝eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\(A,\s\up6(－))PB|\(A,\s\up6(－))).这称为贝叶斯公式．
[基础自测]
1．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为
2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．
2．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率．
3．将3颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于( )
A.eq \f(91,216) B.eq \f(5,18)
C.eq \f(60,91) D.eq \f(1,2)
4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．求下列事件的概率：
(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
(2)合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球．
题型一 概率乘法公式的应用
例1 设有1 000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？
方法归纳
已知事件A的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A、B同时发生的概率．跟踪训练1 已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )
A．0.665 B．0.56
C．0.24 D．0.028 5
题型二 全概率公式的应用
例2 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率．
方法归纳
全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分或几部分后，再根据互斥事件的概率加法公式而得到．
跟踪训练2 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%.若用事件A，eq \(A,\s\up6(－))分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品．求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格灯泡是甲厂生产的概率．
题型三 贝叶斯公式的应用
例3 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，并随机取一件，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率．
方法归纳
贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，看看这一结果有各种可能原因导致的概率是多少．跟踪训练3 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
4．1.2 乘法公式与全概率公式
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}
Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1,2
则有分解B＝A1B∪A2B
由题意P(A1)＝eq \f(2,5)，P(A2)＝eq \f(3,5)，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88
由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
2．解析：设A＝{第一次抽出的是黑球}，B＝{第二次抽出的是黑球}，则B＝AB＋eq \(A,\s\up6(－))B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))，
由题意P(A)＝eq \f(b,a＋b)，P(B|A)＝eq \f(b＋c,a＋b＋c)，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(a,a＋b)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(b,a＋b＋c)，
所以P(B)＝eq \f(bb＋c,a＋ba＋b＋c)＋eq \f(ab,a＋ba＋b＋c)＝eq \f(b,a＋b).
3．解析：事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(A∩B)＝3×5×4＝60.
所以P(A|B)＝eq \f(nA∩B,nB)＝eq \f(60,91).
答案：C
4．解析：(1)记B＝{该球是红球}，A1＝{取自甲袋}，A2＝{取自乙袋}，已知P(B|A1)＝eq \f(6,10)，P(B|A2)＝eq \f(8,14)，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq \f(1,2)×eq \f(6,10)＋eq \f(1,2)×eq \f(8,14)＝eq \f(41,70)
(2)P(B)＝eq \f(14,24)＝eq \f(7,12)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i＝1,2)，所求概率为P(A1A2) ＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(150,1 000)·eq \f(149,999)＝0.022 4.
跟踪训练1 解析：记A为“甲厂产品”，B为“合格产品”，
则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
答案：A
例2 【解析】 设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据全概率公式有P(B)＝eq \i\su(i＝1,3,p)(Ai)P(B|Ai)＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.40×0.02＝0.0345.
跟踪训练2 解析：B＝AB＋eq \(A,\s\up6(－))B且AB与eq \(A,\s\up6(－))B互不相容．
P(B)＝P(AB＋eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(AB)＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)
＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))
＝0.7×0.95＋0.3×0.8＝0.905
P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\(A,\s\up6(－))PB|\(A,\s\up6(－)))
＝eq \f(0.7×0.95,0.7×0.95＋0.3×0.8)≈0.735.
例3 【解析】 设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据贝叶斯公式有：
P(A1|B)＝eq \f(0.25×0.05,0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02)＝0.362 3
P(A2|B)＝eq \f(0.35×0.04,0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02)＝0.406
P(A3|B)＝eq \f(0.4×0.02,0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02)＝0.232.
跟踪训练3 解析：设B＝{中途停车修理}，A1＝{经过的是货车}，A2＝{经过的是客车}，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有：
P(A1|B)＝eq \f(PA1PB|A1,PA1PB|A1＋PA2PB|A2)
＝eq \f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01)＝0.80.
最新课程标准
1.掌握以条件概率的定义为基础用来计算两事件交的概率乘法公式；
2．了解全概率公式与贝叶斯公式，并会应用这两个公式解决一些实际的概率问题.