人教B版 (2019)3.1.3 组合与组合数第二课时练习

第二课时　组合数的应用

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(2019内蒙古呼和浩特开来中学高二期中)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)

A.28 B.49 

C.56 D.85

解析由题意知,丙没有入选,所以只需把丙去掉,把总的元素个数变为9个,因为甲、乙至少有1人入选,所以条件可分为两类:一类是甲、乙两人只选一个的选法,共有=42种选法;另一类是甲、乙两人都入选,共有=7种选法,由分类加法计数原理可得,不同的选法共有42+7=49种选法,故选B.

答案B

2.(多选)上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有(　　)

A.3 600种 

B.种

C.9 375种 

D.×54种

解析因为有且只有两个年级选择甲博物馆,所以参观甲博物馆的年级有种情况,其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,根据乘法原理可得×54=9 375种情况.

答案CD

3.甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(　　)

A.150种 B.180种 

C.300种 D.345种

解析若这名女同学是甲组的,选法有种;若这名女同学是乙组的,则选法有种.故符合条件的选法共有=345(种).

答案D

4.两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)

A.10种 B.15种 

C.20种 D.30种

解析分三种情况:恰好打3局,有2种情形;恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局,第4局赢),共有2=6种情形;恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局,第5局赢),共有2=12种情形.所有可能出现的情形共有2+6+12=20(种).

答案C

5.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数有(　　)

A.1 260种 

B.2 025种 

C.2 520种 

D.5 040种

解析先从10人中选2人承担甲任务有种方法,再从剩余8人中选1人承担乙项任务有种方法,然后从剩余7人中选1人承担丙任务有种方法.按分步乘法计数原理,共有=2 520种选法.

答案C

6.从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两同学中至多有一个人参加,则不同选法的种数为(　　)

A.9 B.14 

C.12 D.15

解析(直接法)分两类:第一类张、王两同学都不参加,有种选法;第二类张、王两同学中只有1人参加,有种选法.故共有=9种选法.

答案A

7.直角坐标系xOy平面上,平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条,则由这12条直线组成的图形中,矩形共有　　　　　个. 

解析从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条,每一种取法对应一个矩形,因此矩形共有=225(个).

答案225

8.(2019上海浦东复旦附中模拟)甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口疏导交通,每个路口有1名或2名志愿者,则甲、乙在同一路口的分配方案共有　　　　种.(用数字作答) 

解析甲、乙两人在同一路口分配方案有=18种.

答案18

9.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们一一进行测试,直至找出所有4件次品为止.

(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才测试到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?

(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?

解(1)先排前4次测试,只能取正品,有种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试有种测法,再排余下4件,有种测法.所以共有不同的测试方法有=103 680(种).

(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件次品在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现.所以共有不同测试方法·(=576(种).

10.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中甲、乙排在相邻的两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有多少种?

解依题意,满足甲、乙两人安排在相邻两天的方法共有=1 440(种),其中满足甲、乙两人安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有=240(种);满足甲、乙两人安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有=240(种);满足甲、乙两人安排在相邻两天且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方法共有=48(种).因此满足题意的方法共有1 440-2×240+48=1 008(种).

能力提升练

1.(2020山东济南模拟)篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成,2017年的NBA篮球赛中,某队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含两名中锋,两名控球后卫,若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋,至少包含一名控球后卫,则该队的主教练出场阵容的选择的种数为(　　)

A.16 B.28 

C.84 D.96

解析有两种出场方案:①中锋1人,后卫1人,有=16种出场阵容,②中锋1人,后卫2人,有=12种出场阵容,共计28种,选故B.

答案B

2.(2020辽宁高二期末)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开,会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A,B两市代表团)安排至a,b,c三家宾馆入住,规定同一个代表团人员住同一家宾馆,且每家宾馆至少有一个代表团入住,若A,B两市代表团必须安排在a宾馆入住,则不同的安排种数为(　　)

A.6 B.12 

C.16 D.18

解析如果仅有A,B入住a宾馆,则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆,此时安排种数有=6,如果有A,B及其余一个代表团入住a宾馆,则余下两个代表团分别入住b,c,此时安排种数有=6,综上,共有不同的安排种数为12,故选B.

答案B

3.数学竞赛前,某学校由3名教师对5名参赛学生进行“特训”,要求每名教师的“特训”学生不超过2人,则不同的“特训”方案的种数为(　　)

A.60 B.90 

C.150 D.120

解析5名参赛学生分为(2,2,1),故其分组的方法有=15种,再分配给3名教师,共有15=90种.

答案B

4.(多选)(2019北京高二期末)某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中1人负责“征集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有(　　)

A.2种 

B.60种

C.120种 

D.种

解析从6人中选1人负责“征集留言”,从剩下的人中选2人负责“共绘展板”,再从剩下的人中选3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有=60种.故选BD.

答案BD

5.(2020上海高三月考)从3名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛,已知三人中至少有一个人是男生的选派方案是46,那么n=　　　　　. 

解析三人中没有男生的选派方案为,故有-46,

所以-46,

整理得到n2+n-30=0,故n=5或n=-6(舍).

故n=5.

答案5

6.(2019天津高三月考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有　　　种,学生甲被单独安排去金华的概率是　　　　. 

解析根据题意,按五名同学分组的不同分2种情况讨论:

①五人分为2,2,1的三组,有=15种分组方法,对应三项志愿者活动,有15×=90种安排方案;

②五人分为3,1,1的三组,有=10种分组方法,对应三项志愿者活动,有10×=60种安排方案,

则共有90+60=150种不同的安排方案.

学生甲被单独安排去金华时,共有=14种不同的安排方案,则学生甲被单独安排去金华的概率是.

答案150　

7.从5双不同的鞋子中任取4只,

(1)取出的4只鞋子中至少能配成1双,有多少种不同的取法?

(2)取出的4只鞋子,任何两只都不能配成1双,有多少种不同的取法?

解(1)分两类:①取出的4只鞋子恰好配成2双,有种取法.②取出的4只鞋子有且只有2只能配成1双,分两步完成:第一步,从5双鞋子中任取1双,有种取法.第二步,再分为三类,第一类,从余下的穿在左脚的4只鞋子中任取2只,有种取法;第二类,从余下的穿在右脚的4只鞋子中任取2只,有种取法;第三类,从余下的左(或右)脚的4只中任取1只,再在余下的右(或左)脚的和已取的1只不相配的3只鞋子中任取1只,有种取法.故共有)种取法.由①②知,共有不同的取法)=130(种).

(2)分两步:第一步,从5双不同的鞋子中任取4双,有种;第二步,从取出的4双的每1双中任取1只,有()4种,故共有不同的取法·()4=80(种).

素养培优练

　(2019江西景德镇一中高二期中)一次游戏有10个人参加,现将这10人分为5组,每组两人.

(1)若任意两人可分为一组,求这样的分组方式有多少种?

(2)若这10人中有5名男生和5名女生,要求各组人员不能为同性,求这样的分组方式有多少种?

(3)若这10人恰为5对夫妻,任意两人均可分为一组,问分组后恰有一对夫妻在同组的分组方式有多少种?

解(1)将10人平均分为5组共有=945种.

(2)将5名男生视为5个不同的小盒,5名女生视为5个不同的小球,问题转化为将5个小球装入5个不同的盒子,每盒一个球,共有=120种.

(3)先任选一对夫妻有种,再将剩余4对夫妻分组,再将4个丈夫视为A,B,C,D四个小球,4个妻子分别视为a,b,c,d四个盒子,则4个小球装入4个不同的盒子,每盒一个球,且与自己的字母不同,有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA,共有9种方法,故不同的分组方法有×9=45种.