高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.3 二项分布与超几何分布第1课时教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.3 二项分布与超几何分布第1课时教学设计及反思

4.2.3　二项分布与超几何分布第1课时　n次独立重复试验与二项分布情境导学在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率是0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制．问题：如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？1．n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．思考：独立重复试验必须具备哪些条件？[提示]　(1)每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变；(2)各次试验结果互不影响；(3)每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的．2．二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pkqn－k，k＝0,1，…，n，因此X的分布列如下表所示．注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Ceq \o\al(0,n)p0qn＋Ceq \o\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq \o\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq \o\al(n,n)pnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种． (　　)(2)两点分布是特殊的二项分布． (　　)(3)二项分布可以看作是有放回抽样． (　　)(4)n次独立重复试验中，每次试验的条件可以略有不同． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于(　　)A．Ceq \o\al(8,10)×0.88×0.22　　 B．Ceq \o\al(8,10)×0.82×0.28C．0.88×0.22 D．0.82×0.28A　[∵X～B(10,0.8)，∴P(X＝8)＝Ceq \o\al(8,10)×0.88×0.22，故选A.]3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．eq \f(3,8)　[抛掷一枚硬币出现正面的概率为eq \f(1,2)，由于每次试验的结果不受影响，故由n次独立重复试验可知，所求概率为P＝Ceq \o\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,8).]4．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,2))).①②　[①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．]合作探究【例1】　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．[解]　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验．故P(A1)＝1－P(eq \x\to(A)1)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(19,27).(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝Ceq \o\al(2,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,9)，P(B2)＝Ceq \o\al(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq \f(3,8).由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝eq \f(4,9)×eq \f(3,8)＝eq \f(1,6).1．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．[解]　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝Ceq \o\al(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,9)，P(B3)＝eq \f(3,8)，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝eq \f(4,9)×eq \f(3,8)＝eq \f(1,6).2．(变结论)在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率．[解]　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝Ceq \o\al(0,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,9)，P(B4)＝Ceq \o\al(2,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,16)，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4)＝eq \f(1,9)×eq \f(9,16)＝eq \f(1,16).独立重复试验概率求法的三个步骤【例2】　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq \f(1,3).(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．[思路点拨]　(1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值，再求η取各值的概率．[解]　(1)ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq \o\al(k,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(5－k)，k＝0,1,2,3,4,5.故ξ的分布列为(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(k)·eq \f(1,3)，k＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(5).故η的分布列为1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．eq \o([跟进训练])1．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为eq \f(1,2)，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．[解]　(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A∩B＋eq \x\to(A)∩eq \x\to(B)”，且事件A，B相互独立．∴P(A∩B＋eq \x\to(A)∩eq \x\to(B))＝P(A)P(B)＋P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq \f(1,2).(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2))).∴P(ξ＝k)＝Ceq \o\al(k,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(4－k)＝Ceq \o\al(k,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)(k＝0,1,2,3,4)．∴随机变量ξ的分布列为[探究问题]1．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示]　服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．2．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示]　不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是不是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．【例3】　甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为eq \f(2,3)，乙队中3人答对的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．[思路点拨]　(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝eq \f(2,3).(2)AB表示事件A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．[解]　(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且p(ξ＝0)＝Ceq \o\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq \o\al(1,3)eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq \o\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq \f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq \o\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(8,27).所以ξ的分布列为(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，又P(C)＝Ceq \o\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(1,3)×\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(2,3)×))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(1,3)×\f(1,2)))＝eq \f(10,34)，P(D)＝Ceq \o\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,3)×\f(1,2)))＝eq \f(4,35)，由互斥事件的概率公式得P(AB)＝P(C)＋P(D)＝eq \f(10,34)＋eq \f(4,35)＝eq \f(34,35)＝eq \f(34,243).对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.eq \o([跟进训练])2．9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．[解]　因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8)，所以单个坑不需要补种的概率为1－eq \f(1,8)＝eq \f(7,8).设需要补种的坑数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，这是3次独立重复试验，P(X＝0)＝Ceq \o\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq \s\up12(3)＝eq \f(343,512)，P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq \s\up12(1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq \s\up12(2)＝eq \f(147,512)，P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq \s\up12(1)＝eq \f(21,512)，P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq \s\up12(0)＝eq \f(1,512)，所以需要补种坑数的分布列为课堂小结1．独立重复试验的基本特征(1)每次试验都在同样条件下进行．(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生．(3)各次试验之间相互独立．(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的．2．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义1．某学生通过英语听力测试的概率为eq \f(1,3)，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)A.eq \f(4,9)　　　　　　　　 B.eq \f(2,9)C.eq \f(4,27) D.eq \f(2,27)A　[记“恰有1次获得通过”为事件A，则P(A)＝Ceq \o\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,9).故选A.]2．某电子管正品率为eq \f(3,4)，次品率为eq \f(1,4)，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　　)A．Ceq \o\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,4) B．Ceq \o\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,4) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)C　[ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,4).]3．有4位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是eq \f(1,2)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________．eq \f(15,16)　[所有同学都不通过的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(4)，故至少有一位同学通过的概率为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(15,16).]4．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝eq \f(8,27)，那么一次试验成功的概率p等于________．eq \f(1,3)或eq \f(2,3)　[P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,4)p2(1－p)2＝eq \f(8,27)，即p2(1－p)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)，解得p＝eq \f(1,3)或p＝eq \f(2,3).]5．(教材P79练习BT1改编)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留两位小数)：(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．[解]　(1)记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验．“恰有2次准确”的概率为P＝Ceq \o\al(2,5)×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝Ceq \o\al(0,5)×0.25＋Ceq \o\al(1,5)×0.8×0.24＝0.006 72.所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.学 习 目 标核 心 素 养1．理解n次独立重复试验的模型．(重点)2．理解二项分布．(难点)3．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.1．通过学习n次独立重复试验及二项分布，体会数学抽象的素养．2．借助二项分布解题，提高数学运算的素养.X01…k…nPCeq \o\al(0,n)p0qnCeq \o\al(1,n)p1qn－1…Ceq \o\al(k,n)pkqn－k…Ceq \o\al(n,n)pnq0独立重复试验的概率二项分布ξ012345Peq \f(32,243)eq \f(80,243)eq \f(80,243)eq \f(40,243)eq \f(10,243)eq \f(1,243)η012345Peq \f(1,3)eq \f(2,9)eq \f(4,27)eq \f(8,81)eq \f(16,243)eq \f(32,243)ξ01234Peq \f(1,16)eq \f(1,4)eq \f(3,8)eq \f(1,4)eq \f(1,16)独立重复试验与二项分布的综合应用ξ0123Peq \f(1,27)eq \f(2,9)eq \f(4,9)eq \f(8,27)X0123Peq \f(343,512)eq \f(147,512)eq \f(21,512)eq \f(1,512)