最新高考数学易错题精编 易错点21 参数与极坐标方程

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首先，冲刺阶段的易错题能够帮助我们快速的查缺补漏，总结经验教训，知识梳理，提高知识的应用能力。
其次，通过对错题分析，其中涉及到的知识点以及考点的分析与总结，它能够减少我们复习过程当中同类型的题或者是同一知识点的犯错频率。
第三，对于错题集的复习，最简单的方法就是盖住答案，然后重新来做一遍，从分析的角度条件的分析以及技巧的使用三个方面进行逐一的排除。
第四，在这些错题当中，并非所有的错题都是每个同学易错的，那么在第一遍的错题复习当中，我们就要进行排除，筛选出符合自己特点错题及其针对性也才更强。
如果自己已经完全掌握的，那么就当是对于知识点的再一次复习。这样的错题对于提升自己的能力来说也才是起到了最大的作用。
易错点21 极坐标与参数方程
易错点1：混淆圆和直线的参数方程；
易错点2：忽视直线参数方程是否具有几何意义；
易错点3：因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误；
易错点4：用极坐标求交点时，忽视极径为零的情况；
易错点5：混淆参数方程中的角与极坐标中的角的不同几何意义；
易错点6：参数方程与极坐标方程互化时，忽视参数的范围.
题组一:点到直线的距离
1.（2019全国I理22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为.
的直角坐标方程为.
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.
C上的点到的距离为.
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.
2．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，直线的参数方程为 QUOTE ?=?+4?,?=1−?, (为参数)．
(1)若，求与的交点坐标；
(2)若上的点到距离的最大值为，求．
【解析】（1）曲线的普通方程为．
当时，直线的普通方程为．
由解得或．
从而与的交点坐标为，．
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
．
当时，的最大值为．由题设得，所以；
当时，的最大值为．由题设得，所以．
综上，或．
3．【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．
【解析】直线的普通方程为．
因为点在曲线上，设，
从而点到直线的的距离，
当时，．
因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值．
4．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为．
(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
【解析】（1）设的极坐标为，的极坐标为．
由椭圆知，．
由得的极坐标方程．
因此的直角坐标方程为．
（2）设点的极坐标为．由题设知，，于是面积
．
当时，取得最大值．
所以面积的最大值为．
题组二：直线与曲线相切
5. 在直角坐标系中，圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【解析】（1）由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，
解得，所以切线方程为或，
将，代入化简得
或
6．（2014新课标Ⅱ）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，．
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．
【解析】（I）C的普通方程为．
可得C的参数方程为
（t为参数，）
（Ⅱ）设D.由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，．
故D的直角坐标为，即．
题组三：直线与一曲线相交
7.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
【解析】（1）令，则，解得或（舍），则，即.
令，则，解得或（舍），则，即.
；
（2）由（1）可知，
则直线的方程为，即.
由可得，直线的极坐标方程为.
8．（2016年全国II）在直角坐标系中，圆C的方程为．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．
【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得，
由可知圆的极坐标方程为．
(Ⅱ)记直线的斜率为，则直线的方程为，
由垂径定理及点到直线距离公式知：，
即，整理得，则．
9．(2018全国卷Ⅱ)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【解析】(1)曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
10．（2015新课标Ⅰ）在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为,设与的交点为,,求的面积．
【解析】（Ⅰ）因为，
∴的极坐标方程为，的极坐标方程为．
（Ⅱ）将代入，得，
解得=，=，|MN|=－=，
因为的半径为1，则的面积=．
题组四：直线与两曲线相交
11．（2016年全国I）在直角坐标系中，曲线的参数方程为 QUOTE ?=?cs?，?=1+?sin?， （t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．
（I）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（II）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在 上，求a．
【解析】(1)（均为参数）∴①
∴为以为圆心，为半径的圆．方程为
∵∴即为的极坐标方程
(2)
两边同乘得
即②
：化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为
①—②得：，即为
∴，∴
12．（2015新课标Ⅱ）在直角坐标系中，曲线：（为参数，≠0）其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：．
（Ⅰ）求与交点的直角坐标；
（Ⅱ）若与相交于点A，与相交于点B，求的最大值．
【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或
所以与交点的直角坐标为和．
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．
因此得到极坐标为，的极坐标为．
所以，
当时，取得最大值，最大值为．
题组五：两曲线相交
13.（2020·新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，是什么曲线？
（2）当时，求与的公共点的直角坐标．
【解析】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），
两式平方相加得，
所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当时，曲线的参数方程为为参数），
所以，曲线的参数方程化为为参数），
两式相加得曲线方程为，
得，平方得，
曲线的极坐标方程为，
曲线直角坐标方程为，
联立方程，
整理得，解得或（舍去），
，公共点的直角坐标为.
14.（2019全国III理22）如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出，，的极坐标方程；
（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标.
【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，.
所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.
（2）设，由题设及（1）知
若，则，解得；
若，则，解得或；
若，则，解得.
综上，P的极坐标为或或或.
15．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：
，为与的交点，求的极径．
【解析】（1）消去参数得的普通方程；
消去参数得的普通方程．
设，由题设得，消去得．
所以的普通方程为
（2）的极坐标方程为
联立得．
故，从而
代入得，所以交点的极径为．
16．（2013新课标Ⅰ）已知曲线的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求与交点的极坐标（，）．
【解析】将消去参数，化为普通方程，
即：，将代入得，，
∴的极坐标方程为；
（Ⅱ）的普通方程为，
由解得或，
∴与的交点的极坐标分别为()，．
题组六：求轨迹方程
17.【2021年甲卷】 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【解析】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点.
18.（2020·新课标Ⅱ）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【解析】（1）由得的普通方程为：；
由得：，两式作差可得的普通方程为：.
（2）由得：，即；
设所求圆圆心的直角坐标为，其中，
则，解得：，所求圆的半径，
所求圆的直角坐标方程为：，即，
所求圆的极坐标方程为.
19.（2019全国II理22）在极坐标系中，O为极点，点在曲线 上，直线l过点且与垂直，垂足为P.
（1）当时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
【解析】（1）因为在C上，当时，.
由已知得.
设为l上除P的任意一点.在中，
经检验，点在曲线上.
所以，l的极坐标方程为.
（2）设，在中， 即.
因为P在线段OM上，且，故的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为 .
20．(2018全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．
(1)求的取值范围；
(2)求中点的轨迹的参数方程．
【解析】(1)的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是．
(2)的参数方程为为参数，．
设，，对应的参数分别为，，，则，
且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是为参数，．
1．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标．
【解析】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，
所以 的最小值，即为到的距离的最小值，
．
当且仅当时，取得最小值，最小值为，
此时的直角坐标为．
2．已知曲线：，直线：（为参数）．
(Ⅰ) 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值．
【解析】
……5分
（Ⅱ）

3．已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．正方形的顶点都在上，且、、、依逆时针次序排列，点的极坐标为．
（Ⅰ）求点、、、的直角坐标；
（Ⅱ）设为上任意一点，求的取值范围．
【解析】（1）点的极坐标为
点的直角坐标为
（2）设；则

4．在直角坐标系 中，曲线的参数方程为（为参数），M是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线
(Ⅰ)求的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求．
【解析】（I）设，则由条件知M().由于M点在上，所以
，即．
从而的参数方程为（为参数），
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为．
所以．
5．已知动点，都在曲线： 上，对应参数分别为与（）为的中点。
（Ⅰ）求的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。
【解析】（Ⅰ）由题意有因此
的轨迹的参数方程为（）
（Ⅱ）点到坐标原点的距离
（）
当时，，故的轨迹过坐标原点．
6．在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求的直角坐标方程；
(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程．
【解析】(1)由，得的直角坐标方程为．
(2)由(1)知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
7．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
(1)分别写出的普通方程与的直角坐标方程；
(2)将曲线绕点按逆时针方向旋转90°得到曲线，若曲线与曲线交于A，B两点，求的值．
【解析】（1）由题得，进而代入消去参数得曲线的普通方程为；
对方程两边同乘以得，
所以根据极坐标方程与直角坐标方程的互化关系得的直角坐标方程为
(2)由（1）知曲线表示直线，倾斜角为，
所以曲线为直线，倾斜角为，过点
所以曲线的参数方程为（为参数），
代入曲线得，
设A，B两点的参数分别为，则
所以得.
所以.
8．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为，A，B分别是曲线C，E上的动点．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)求的最小值．
【解析】（1）曲线C的参数方程为(为参数)，
消去参数，可得的普通方程为，即，
由可得曲线的极坐标方程:．
(2)曲线E的极坐标方程为，
根据可得到的直角坐标方程为：，
由(1)知曲线C是以点为圆心，半径的圆，
从而可知是直线上一点到圆上一点的距离，
因为圆心到直线的距离，
从而，故的最小值为.
9．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)过点的直线依次与两曲线交于，，，四点，且，求直线的普通方程.
【解析】(1)由曲线的参数方程为（为参数），
消去参数，可得曲线的普通方程，
由的极坐标方程，两边同乘得，
将，，代入上式，得曲线的直角坐标方程.
(2)由已知可设直线的参数方程为（为参数，），
将的参数方程代入曲线，整理得，
设，所对参数分别为，，则，
同理将的参数方程代入曲线，整理得，
设，所对参数分别为，，
因为，则，
，，即.
当时，此时直线方程为.
时，，不存在.
所求直线方程为.
10．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）.
(1)将C的参数方程化为普通方程；
(2)过点作C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.
【解析】(1)由，则，
所以曲线C的普通方程为：.
(2)依题意，设过点且与C相切的直线方程为：，
由消去x并整理得：
于是得，解得，因此，切线的直角坐标方程为，
将代入切线的直角坐标方程得：，
所以切线的极坐标方程，.