最新高考数学易错题精编 易错点10 不等式

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首先，冲刺阶段的易错题能够帮助我们快速的查缺补漏，总结经验教训，知识梳理，提高知识的应用能力。
其次，通过对错题分析，其中涉及到的知识点以及考点的分析与总结，它能够减少我们复习过程当中同类型的题或者是同一知识点的犯错频率。
第三，对于错题集的复习，最简单的方法就是盖住答案，然后重新来做一遍，从分析的角度条件的分析以及技巧的使用三个方面进行逐一的排除。
第四，在这些错题当中，并非所有的错题都是每个同学易错的，那么在第一遍的错题复习当中，我们就要进行排除，筛选出符合自己特点错题及其针对性也才更强。
如果自己已经完全掌握的，那么就当是对于知识点的再一次复习。这样的错题对于提升自己的能力来说也才是起到了最大的作用。
易错点10 不等式
易错点1：线性规划
求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
易错点2：基本不等式
均值不等式（当仅当a=b时取等号）注意：①一正二定三相等；
②变形：（当仅当a=b时取等号）
易错点3：绝对值不等式
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
易错点4：柯西不等式
(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为
(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n))(eq \f(1,a\\al(2,1))＋eq \f(1,a\\al(2,2))＋…＋eq \f(1,a\\al(2,n)))≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．
题组1 线性规划
1．（2021浙江卷） 若实数 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）.
A．B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，画出可行域，显然过点时，取到最小值，即， 故选B．
2．（2021年全国乙卷文）若，满足约束条件则的最小值为
A．18 B．10 C．6 D． 4
【答案】C
【解析】由约束条件可得可行域如图所示，当直线过点时，取最小值为6，故选C．
3．（2021上海卷）已知，，则的最大值为___________．
【答案】4
【解析】画出可行域易得最优解为 ，所以的最大值为
4.（2020•全国1卷）若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为______
【答案】1.
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1．
题组2 基本不等式
5．（2021年全国乙卷文）下列函数最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知A的最小值为3，B的等号成立条件不成立，D无最小值．
6．（2020年新全国1山东）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
7.（2020年天津卷）已知，且，则的最小值为_____．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当＝4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
8.（2020年江苏卷）已知，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】∵,∴且
∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.
题组3 含绝对值不等式
9.（2021年全国甲卷）已知函数，.
画出和的图像.
若，求的取值范围.
【答案】见解析
【解析】易知
则和的图像为
由（1）中的图可知，是左右平移个单位得到的结果，向右平移不合题意，向左平移至的右支过点曲线，上的点为临界状态，此时右支的解析式为，由点在可知，解得，若要满足题意，则要再向左平移，则,则的取值范围为
10.（2021年全国乙卷）已知函数.
（1）当时，求不等式≥的解集；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，≥≥，
当≤时，不等式≥，解得≤；
当时，不等式≥，解得；
当≥时，不等式≥，解得≥.
综上，原不等式的解集为.
（2）若，即，
因为≥（当且仅当≤时，等号成立），所以，所以，即或，解得.
11．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
【解析】（1）∵，作出图像，如图所示：
（2）将函数的图像向左平移个单位，可得函数的图像，如图所示：
由，解得，∴不等式的解集为．
12．（2020江苏23）设，解不等式．
【答案】
【解析】或或，
或或，∴解集为．
题组4 格西不等式
13．（2021年浙江卷）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】设，
，
（当且仅当时，即时，取得等号）．
14．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，又，
故有，∴．
（2）因为为正数且，故有
=24．
∴．
1.下列不等式恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【解析】B
2．若，，则一定有
A． B． C． D．
【解析】由，又
，由不等式性质知：，所以
3．已知，，，则的最小值为（ ）
A．20B．24C．25D．28
【解析】由题意，当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
4．若实数、满足不等式组，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】
如图，绘出不等式组表示的平面区域，
然后通过平移直线即可得出过点时取得最小值，无最大值，
则的取值范围为，
故选：C.
5．设，满足约束条件，则的取值范围是
A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]
【解析】不等式组的可行域如图，目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值 . 在点 处取得最大值，选B．
6.（多选题）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
7.若满足约束条件，则的最小值为____________.
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
将化为，则数形结合可得，当直线过点时，取得最小值为.
故答案为：
8.设，，，则的最小值为__________.
【解析】，，，
而.
由基本不等式有，所以（当且仅当时，即，时，等号成立）.
所以，，所以的最小值为.
9．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．
【解析】（1），
当时，无解；
当时，由得，，解得；
当时，由解得．
∴的解集为．
（2）由得，而
，
且当时，，故m的取值范围为．
10．设均为正数，且，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）得，
由题设得，即，
∴，即．
（Ⅱ）∵，∴，
即，∴．