安徽省滁州市南谯区滁州市第六中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份安徽省滁州市南谯区滁州市第六中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（ ）
A．B．C．D．
2．当时，下列二次根式没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知在中，、、所对的边的长分别是a、b、c，根据下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．，，D．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，木门的对角线长度（ ）
A．在之间B．在之间
C．在之间D．在之间
7．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
8．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在，则的长为（ ）
A．B．C．2D．
10．勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…这类勾股数的特点为勾为奇数，弦与股相差1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为（m为正整数），则股是（结果用含m的式子表示）（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．
11．方程转化为一元二次方程的一般形式是 ．
12．化简：＝ ．
13．若a是方程的根，则的值为 ．
14．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）若班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，，则这块试验基地的面积为
（2）八（2）班的劳动试验基地的三边长分别为，，（如图），则的面积为 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：．
16．知识链接：我们利用平方差公式可以计算形如的运算．
例：．
请仿照例子计算：．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且于点F，若米，米，米，求男子向右移动的距离．
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取最大的整数时，求原方程的两个根．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．中国空间站的建造和运营，是我国载人航天工程的重要里程碑，也是我国太空探索的新起点．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价4元，平均每天可以售出______个模型；
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使销售“中国空简站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
20．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，，，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．
(1)求公路，的长度．
(2)若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用．
六、解答题（本题满分12分）
21．图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ．

(1)若，，求图1中两个正方形的面积之和；
(2)若，，求图2中的长；
(3)已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积．
七、解答题（本题满分12分）
22．观察下列等式：
①；②；③；…
解决下列问题：
(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子．
(2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律．
(3)利用上述结果计算：．
八、解答题（本题满分14分）
23．定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．
(1)如图1，在中，，，D为垂足，为的“妙分线”．若，则长为______；
(2)如图2，在中，，，D是延长线上一点，E为上一点，，连接并延长交于点F，平分，分别交，于点G，H，连接．求证：是的“妙分线”；
(3)如图3，在中，，．若为的“妙分线”，直接写出的长．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案：
【解答】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、，是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确利用二次根式有意义的条是解题关键．
根据二次根式有意义：二次根式中的被开方数必须是非负数，进而得出答案．
【解答】解：当时，
，在实数范围内有意义，不符合题意；
，在实数范围内有意义，不符合题意；
，在实数范围内有意义，不符合题意；
，无意义，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【解答】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度可判断A、B；如果一个三角形中，两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断C、D．
【解答】解：A、∵，，
∴，，
∴不是直角三角形，故A符合题意；
B、∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，，，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故D不符合题意；
故选：A．
5．C
【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．
【解答】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出木门的对角线长度是解题的关键．
由勾股定理求出木门的对角线长度，即可解决问题．
【解答】由题意可知，木门为矩形，高为，宽为，
∴木门的对角线长度．
∵，
∴．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可．
【解答】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为，
故选D．
8．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
【解答】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
9．A
【分析】将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则，，在直角中，根据勾股定理，即可得到一个关于CD的方程，即可求得．
【解答】解：设，则，
在中，
，
，
在中，

即：
解得：，
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】∵m为正整数，
∴为偶数．
设此类勾股数的股是a，则弦为．
根据勾股定理得，
解得．
故选：B．
11．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
首先利用多项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为0，再化简即可．
【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】先利用二次根式的性质进行化简，然后计算求值即可得到答案.
【解答】解：
故答案为：
【点拨】本题主要考查了利用二次根式的性质化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的性质.
13．2027
【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入思想是解决此问题的关键．
把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】∵a是方程的根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2027．
14．
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用；
（1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可；
（2）过作交于点．设，则，利用勾股定理分别求得、、即可求解．
【解答】（1）解：∵，
∴该三角形为直角三角形，其中为斜边，
∴这块试验基地的面积为，
故答案为：；
（2）解：过作交于点．
设，则．
在和中，
由勾股定理得
，
解得，
在中，由勾股定理得,
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查解一元二次方程，运用因式分解法求解即可．
【解答】解：，
左边因式分解得：，
移项得：，
因式分解得：，即，
∴或，
解得：．
16．
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．先将和分别提取公因式和，，再根据平方差公式和二次根式的乘法运算法则计算，即得答案．
【解答】原式
．
17．男子向右移动的距离为7米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：，米，米，
在中，米.
（米），
在中，米，
（米）.
即男子向右移动的距离为7米.
18．(1)；
(2)；．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：
（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可；
（2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可．
【解答】（1）解：∵方程有两个不相等实数根
∴
即，
∴，
解得：；
（2）解：∵，且取最大的整数，
∴，
∴原方程为：，
∴，
即，
解得：；．
19．(1)28
(2)每个模型应降价10元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个，列式计算即可；
（2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】（1）解：根据题意得：
（个），
若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型
故答案为：28．
（2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
每个模型盈利不少于25元，
．
答：每个模型应降价10元．
20．(1)7千米，千米
(2)修建公路的费用为万元
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理即可求解；
（2）利用三角形的等面积方法即可求解．
【解答】（1）解：∵，千米，千米，
∴（千米）．
∵千米，
∴千米，
∴（千米）．
（2）∵，
∴，
解得千米，
∴修建公路DH的费用为（万元）
21．(1)
(2)4
(3)1
【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）由题意知，图1中两个正方形的面积之和为，计算求解即可；
（2）由题意知，，，则，由勾股定理求，，，根据，计算求解即可；
（3）由题意知，，，，，整理可求，则，计算求解即可．
【解答】（1）解：由题意知，，
∴图1中两个正方形的面积之和为；
（2）解：由题意知，，，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
∴的长为4；
（3）解：由题意知，，，
∵，，
∴，，
整理得，，
解得，，
∴，
解得，，
∴的面积为1．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键．
（1）利用题中等式的规律即可得到；
（2）根据题目中式子的特点，找到规律得出第n个等式；
（3）利用（2）的结论得出的规律，再裂项计算即可．
【解答】（1）解：∵①；②；③；…
∴第⑥个式子为．
（2）根据题干规律可得：第n个式子为．
（3）根据（2）中规律可得：
原式
．
23．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据“妙分线”的定义可得，结合勾股定理求出，即可解答；
（2）先证明，可得，即为等腰三角形，再证明，得，根据，
，可得，可得是直角三角形，即可解答．
（3）根据是的“妙分线，可得，是直角三角形，再结合勾股定理计算即可．
【解答】（1），，
在中，由勾股定理有
是的“妙分线”
是等腰直角三角形
（2），，平分
，
在和中
（SAS）
，即为等腰三角形
在和中
（SAS）
，
，即是直角三角形
是的“妙分线”
（3）
是等腰三角形
是的“妙分线”
经分析，点在的延长线上，，见下图
在中，由勾股定理有
①
在中，由勾股定理有
②
②①得，解得
将代入①，解得
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，读懂题意，理解“妙分线”熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形是解题关键．