安徽省滁州市凤阳县2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析）

这是一份安徽省滁州市凤阳县2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（ ）
A．2B．C．1D．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．B．C．5D．7
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
8．用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则的值为（ ）
A．－1B．C．D．1
9．已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（ ）
A．，3B．，3C．，2D．，2
10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（ ）
A．2或3B．3或C．5或4D．4或
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若二次根式有意义，则实数的取值范围是 ．
12．计算： ．
13．化简：＝
14．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为．
（1）若，则 ．
（2）若，则 ．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：．
16．解方程：．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．已知两个最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
18．已知是一元二次方程的一个根，求的值．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．观察下列各式．
第个等式：；
第个等式；
第个等式；

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)第个等式：______．
(2)请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第个等式，并给出证明．
20．我们已经知道，根据平方差公式可得，因为无理数与无理数的乘积为有理数，所以我们称无理数与无理数互为有理化因式．例如：，所以无理数与无理数互为有理化因式．
(1)无理数的有理化因式是______．
(2)计算．
六、(本题满分12分)
21．山西剪纸是一门古老的传统民间艺术，具有明显的地域特色和极高的艺术价值．为传承这一艺术，我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上．如图，这是小悦同学的参赛作品（单位：）．
(1)通过计算，判断小悦的作品是否符合参赛标准．
(2)小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为多少？（彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）
七、(本题满分12分)
22．阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常为设．那么，于是原方程可变为，解这个方程得，；
当时，，∴；
当时，，∴．
即原方程有四个根，分别为，，，．
任务：
(1)若，则______．
(2)解方程：．
八、(本题满分14分)
23．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，
因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，
所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)求式子的最大值．
(2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程)
(3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程对各选项进行逐一分析即可．
【解答】A选项：，是一元一次方程，故A不合题意．
B选项：，是二元二次方程，故B不合题意．
C选项：，是一元二次方程，故C符合题意．
D选项：，是分式方程，故D不合题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了二次根式的概念，正确熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．
依据形如的式子叫做二次根式解题即可；
【解答】解：A、为说明，本选项不符合题意；
B、中由于，∴，本选项符合题意；
C、中被开方数为负数，本选项不符合题意；
D、形式不符合，本选项不符合题意．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了同类二次根式的定义．把各选项中的二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义“化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”判断即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、与是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可．熟知一元二次方程的一般形式各项的系数是关键．
【解答】解：
∵一元二次方程化成一般式为，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算，即可得到答案．
【解答】解：A、和不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
6．A
【分析】本题主要查了一元一次方程的解．把代入得到关于m的方程，即可求解．
【解答】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
解得：．
故选：A
7．C
【分析】本题考查最简二次根式的额概念，紧扣概念判断即可．
根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
依次判断每一个选项即可．
【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、中被开方数含有分母，故本选项不符合题意；
C、本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
8．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键．
【解答】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B.
9．C
【分析】根据方程的两个根分别为，3，得到，或，即可求解，
本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解．
【解答】解：∵的两个根分别为，3，
∴中，，或，
解得：或，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式，列出关于的方程，利用换元法解一元二次方程即可．
【解答】解：∵，，
∴，
∴．
设，则，
整理，得，解得．
当时，，∴（负值舍去）；
当时，，∴（负值舍去）．
故选D．
11．##
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
【解答】解：二次根式有意义，
，
解得．
故答案为：．
12．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．
13．
【分析】根据二次根式的性质，即可求解，
本题考查了，二次根式的化简，解题的关键是：熟练掌握二次根式的性质．
【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
14． ##
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，分母有理化，完全平方公式的变形求值：
（1）利用公式法解方程得到，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系得到，再由完全平方公式的变形得到，即，解之即可得到答案．
【解答】解：（1）当时，原方程为，
解得，
∴，
故答案为：；
（2）∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题关键．
【解答】解：原式．
16．，
【分析】根据提公因式因式分解解一元二次方程即可得到答案．
【解答】原方程变形为，
∴或，
∴，．
【点拨】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解决问题的关键．
17．a的值为－1
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．注意检验被开方数为非负数．
根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可．
【解答】解：根据题意，得，
∴，
解得：．
当时，，但不是最简二次根式，故不符合题意；
当时，，，符合题意．
∴a的值为－1．
18．2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，把整体代入求解即可．
【解答】解：由题意，将代入方程，
得，
∴，，
∴
，
∴的值为2．
19．(1)
(2)第个等式为：．证明见解析
【分析】（1）观察等式，找到规律列出第个等式；
（2）按照上面三个等式反映的规律，猜想第个等式，根据分式的减法以及二次根式的性质进行计算，即可求解．
【解答】（1）第个等式为：，
故答案为：；
（2）第个等式为：．
理由：



，
．
第个等式为：．
【点拨】本题考查了二次根式的性质化简，分式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的乘法计算：
（1）根据题意计算求解即可；
（2）分别对两个式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可得到答案．
【解答】（1）解：∵，
∴无理数的有理化因式是，
故答案为：；
（2）解：原式
．
21．(1)过程见解析，小悦的作品符合参赛标准．
(2)
【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和顺序是解题的关键．
（1）根据长方形的面积公式列式计算即可；
（2）根据长方形的周长公式列式计算即可．
【解答】（1）解：由题意可知，
∵，
∴小悦的作品符合参赛标准．
（2）由题意可得，
∴需要彩条的长度约为
22．(1)5
(2)，
【分析】（1）将看成一个整体，解一元二次方程即可；
（2）令，用换元法求解．
【解答】（1）解：令，
则，
整理得，
因式分解得，
解得，，
，
不成立，舍去，
．
故答案为：5．
（2）解：，
令，则，
原方程变形为，
去分母，得，即，
解得，
经检验，是分式方程的根，
，
去分母，得，
解得，，
经检验，，是分式方程的根，
原分式方程的根为，．
【点拨】本题考查解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是掌握换元法，解分式方程时注意验根．
23．(1)有最大值
(2)，见解析
(3)这个三角形的周长为17
【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，掌灵活运用完全平方式的非负性求最值是解题关键．
（1）利用完全平方式的非负性求解即可；
（2）先化简，再结合（1）求解即可；
（3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的三边分别为3、7、7，即可求出周长．
【解答】（1）解：．
∵，
∴，
∴当时，有最大值．
（2）∵，
∴．
由（1）可得，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
∵a，b是等腰三角形的两边，且，
∴等腰三角形的三边分别为3、7、7，
∴这个等腰三角形的周长为．