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【二轮复习】高考数学 专题2.3 幂函数与指、对数函数（题型专练）（新高考专用）.zip
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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3124" 【题型1 指数幂与对数式的化简求值】 PAGEREF _Tc3124 \h 2
\l "_Tc15609" 【题型2 指对幂函数的定义与解析式】 PAGEREF _Tc15609 \h 4
\l "_Tc1520" 【题型3 指对幂函数的定义域与值域】 PAGEREF _Tc1520 \h 5
\l "_Tc14629" 【题型4 指对幂函数的图象的识别与应用】 PAGEREF _Tc14629 \h 6
\l "_Tc21865" 【题型5 指对幂函数的单调性问题】 PAGEREF _Tc21865 \h 8
\l "_Tc32362" 【题型6 指对幂比较大小】 PAGEREF _Tc32362 \h 10
\l "_Tc27568" 【题型7 利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】 PAGEREF _Tc27568 \h 12
\l "_Tc1519" 【题型8 反函数及其应用】 PAGEREF _Tc1519 \h 14
\l "_Tc44" 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 PAGEREF _Tc44 \h 16
1、幂函数与指、对数函数
幂函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.
【知识点1 幂函数的解题技巧】
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3.比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【知识点2 指数、对数运算的解题策略】
1.指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
2.对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】
1．指数函数的常见问题及解题思路
(1)比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
(2)指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
(3)指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
2．对数函数的常见问题及解题思路
(1)对数函数图象的识别及应用
①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 指数幂与对数式的化简求值】
【例1】（2023·山东·校联考模拟预测）若a−1−a1=4， 则a−2+a2的值为（ ）
A．8B．16C．2D．18
【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.
【解答过程】解：因为a−1−a1=4，
所以a−2+a2=(a−1−a1)2+2=42+2=18.
故选：D．
【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知3a=4b=m, 1a+12b=2，则m的值为（ ）
A．36B．6C．6D．46
【解题思路】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.
【解答过程】∵3a=4b=m>0，
∴a=lg3m,b=lg4m，
∴1a+12b=lgm3+12lgm4=lgm6=2，
∴m2=6，即m=6或m=−6（舍去）
故选：C.
【变式1-2】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）计算：
(1)2790.5+0.1−2+21027−23−3π0+3748；
(2)lg23⋅lg34+lg52+lg5⋅lg20+12lg16−2lg23.
【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；
（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.
【解答过程】（1）2790.5+0.1−2+21027−23−3π0+3748=25912+102+276423−3+3748 =53+100+916−3+3748=3+97=100.
（2）lg23⋅lg34+lg52+lg5⋅lg20+12lg16−2lg23 =lg3lg2⋅lg4lg3+lg5⋅lg5+lg20+2lg2−3 =2+lg5⋅lg100+2lg2−3=2+2lg5+lg2−3=2+2−3=1.
【变式1-3】（2023·吉林长春·长春校考模拟预测）（1）求值：(32×3)6+(22)43−4×1649−12−42×80.25−(−2023)0；
（2）已知lgx+lgy=2lg(x−2y)，求lg2xy的值.
【解题思路】（1）化简即可求出该式子的值；
（2）解对数方程求出xy，即可得出lg2xy的值.
【解答过程】（1）由题意，
(32×3)6+(22)43−4×1649−12−42×80.25−(−2023)0
=22×33+(232)43−4×74−214×23×14−1
=108+2−7−2−1
=100
（2）由题意，
在lgx+lgy=2lg(x−2y)中，
x>0y>0x−2y>0xy=x−2y2，xy=x−2y2化简得x2−5xy+4y2=0，
两边同除y2得xy2−5xy+4=0，解得：xy=4或1（舍），
∴lg2xy=lg24=4.
【题型2 指对幂函数的定义与解析式】
【例2】（2022上·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y=lnxB．y=lg2x2C．y=lgax9D．y=lg2x−2022
【解题思路】根据对数函数定义直接判断即可.
【解答过程】形如y=lgaxa＞0,a≠1的函数叫作对数函数，它的定义域是0,+∞，
对于A，y=lnx=lgex满足，故A正确；
对于B，C，D，形式均不正确，均错误.
故选：A.
【变式2-1】（2023·四川成都·校联考一模）已知幂函数fx=xα的图象过点P3,9，则α=（ ）
A．12B．1C．2D．3
【解题思路】根据题意可得3α=9，求解即可.
【解答过程】因为幂函数fx=xα的图象过点P3,9，所以3α=9，解得α=2.
故选：C.
【变式2-2】（2023上·吉林长春·高一校考期中）函数y=a2−5a+7ax+6−2a是指数函数，则有（ ）
A．a=2或a=3B．a=3
C．a=2D．a>2，且a≠3
【解题思路】根据指数函数的知识求得正确答案.
【解答过程】由指数函数的概念，得a2−5a+7=1且6−2a=0，解得a=3．
故选：B.
【变式2-3】（2023上·高一课时练习）若函数f(x)=a2−3a+3lgax是对数函数，则a的值是（ ）
A．1或2B．1
C．2D．a>0且a≠1
【解题思路】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.
【解答过程】∵函数f(x)=a2−3a+3lgax是对数函数，
∴a2−3a+3=1，a>0且a≠1，
解得a=1或a=2，∴a=2，
故选：C．
【题型3 指对幂函数的定义域与值域】
【例3】（2023上·四川成都·高一校考期中）函数fx=2x−4x−5的定义域为（ ）
A．−∞,2B．−∞,5∪5,+∞
C．2,+∞D．2,5∪5,+∞
【解题思路】函数fx=2x−4x−5的定义域满足2x−4≥0x−5≠0，解得答案.
【解答过程】函数fx=2x−4x−5的定义域满足2x−4≥0x−5≠0，解得x≥2且x≠5.
故选：D.
【变式3-1】（2022上·安徽·高一校联考阶段练习）已知幂函数f(x)的图像过点2,14，则（ ）
A．f(x)为减函数B．f(x)的值域为(0,+∞)
C．f(x)为奇函数D．f(x)的定义域为R
【解题思路】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断即可.
【解答过程】解：设f(x)=xα，将2,14代入，得2α=14，解得α=−2，
故f(x)=x−2，易知f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，且值域为(0,+∞)，故A选项错误，B选项正确；
f(x)=x−2的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(−x)=(−x)−2=x−2=f(x)，为偶函数，
C，D选项错误；
故选：B．
【变式3-2】（2022·北京东城·统考一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A．y=lnxB．y=exC．y=x3D．y=1x
【解题思路】利用指数函数，对数函数，幂函数和反比例函数的性质判断.
【解答过程】A. 函数y=lnx的定义域为0,+∞，值域为R；
B. 函数y=ex的定义域为R，值域为0,+∞；
C. 函数y=x3的定义域为R，值域为R；
D. 函数y=1x的定义域为x|x≠0，值域为y|y≠0，
故选：C.
【变式3-3】（2023上·江西吉安·高一校考阶段练习）已知函数fx=3x−2,x⩽1,x12,1
C．1,4D．−∞,4
【解题思路】结合分段函数的单调性来求得fx的值域.
【解答过程】当x⩽1时，y=3x−2单调递增，值域为−2,1；当1
【题型4 指对幂函数的图象的识别与应用】
【例4】（2023上·全国·高三专题练习）已知函数y=lga(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A．a>1,c>1 B．a>1,0
【解答过程】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0
【变式4-1】（2022上·全国·高一专题练习）如图所示是函数y=xmn（m、n∈N*且互质）的图象，则（ ）
A．m，n是奇数且mn<1B．m是偶数，n是奇数，且mn<1
C．m是偶数，n是奇数，且mn>1D．m，n是偶数，且mn>1
【解题思路】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞上单调递增，结合m、n∈N*且互质，从而得到答案.
【解答过程】由图象可看出y=xmn为偶函数，且在0,+∞上单调递增，
故mn∈0,1且m为偶数，又m、n∈N*且互质，故n是奇数.
故选：B.
【变式4-2】（2023·四川成都·校联考一模）已知函数fx=2xex−e−x，则函数fx的图象的可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】分析函数fx的定义域、奇偶性及其在x>0时，fx的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【解答过程】对于函数fx=2xex−e−x，有ex−e−x≠0，解得x≠0，
所以，函数fx的定义域为xx≠0，
因为f−x=2−xe−x−ex=−2xex−e−x=−fx，即函数fx为奇函数，排除BD选项，
当x>0时，ex>e−x，则fx=2xex−e−x>0，排除C选项.
故选：A.
【变式4-3】（2022·高一课时练习）函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．54，3，13，12B．3，54，13，12
C．12，13，3，54，D．13，12，54，3，
【解题思路】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
【解答过程】由题图，直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而3>54>12>13.
故选：C．
【题型5 指对幂函数的单调性问题】
【例5】（2022上·北京朝阳·高三统考期中）下列函数中，在区间0,+∞上单调递减的是（ ）
A．y=lg2xB．y=2−xC．y=x+1D．y=x3
【解题思路】根据函数解析式直接判断单调性.
【解答过程】A选项：函数y=lg2x的定义域为0,+∞，且在0,+∞上单调递增，A选项错误；
B选项：函数y=2−x=12x的定义域为R，且在R上单调递减，B选项正确；
C选项：函数y=x+1的定义域为−1,+∞，且在−1,+∞上单调递增，C选项错误；
D选项：函数y=x3的定义域为R，且在R上单调递增，D选项错误；
故选：B.
【变式5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若幂函数f(x)=2m2−3m−1xm在(0,+∞)上单调递减，则m=（ ）
A．2B．12C．−12D．-2
【解题思路】由幂函数的定义和性质求解即可.
【解答过程】由幂函数的定义可知，2m2−3m−1=1，即2m2−3m−2=0，解得m=2或m=−12.
当m=2时，f(x)=x2，在(0,+∞)上单调递增，不合题意;
当m=−12时，f(x)=x−12，在(0,+∞)上单调递减，符合题意，故m=−12.
故选：C.
【变式5-2】（2023·广东韶关·统考一模）函数fx=lg2x2−4在−∞,a上单调递减，则实数a取值范围是（ ）
A．−∞,−2B．2,+∞C．−∞,0D．0,+∞
【解题思路】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.
【解答过程】fx的定义域是(−∞,−2)∪(2,+∞)，
令y=lg2t，其在定义域上单调递增，
t=x2−4，在−∞,−2上单调递减，在2,+∞上单调递增，
由复合函数的单调性可知，a∈(−∞,−2].
故选：A.
【变式5-3】（2023·北京东城·统考二模）设函数f(x)=2x,x≤ax2,x>a，若f(x)为增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．(0,4]B．[2,4]
C．[2,+∞)D．[4,+∞)
【解题思路】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得a>0且a2≥2a，结合y=x2与y=2x的函数图象及增长趋势求出参数的取值范围.
【解答过程】因为f(x)=2x,x≤ax2,x>a，当x≤a时f(x)=2x函数单调递增，
又y=x2在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递减，
要使函数f(x)为增函数，则a>0且a2≥2a，
又函数y=x2与y=2x在0,+∞上有两个交点2,4和4,16，
且y=2x的增长趋势比y=x2快得多，
y=x2与y=2x的函数图象如下所示：
所以当x>4时2x>x2，当2
所以2≤a≤4，即实数a的取值范围是[2,4].
故选：B.
【题型6 指对幂比较大小】
【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知a=6lg23.4，b=6lg43.6，c=16lg30.3，则（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．c>a>b
【解题思路】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.
【解答过程】因为lg23.4>lg22=1=lg44>lg43.6，lg30.3−1=lg3103>lg33=1，
又因为lg23.4>lg222=32=lg3332=lg333>lg3103=−lg30.3，
所以，lg23.4>−lg30.3>lg43.6，
所以，6lg23.4>6−lg30.3=16lg30.3>6lg43.6，即a>c>b.
故选：C.
【变式6-1】（2023·江西·统考模拟预测）设a=e−43，b=ln3，c=3−1+lg32，则（ ）
A．c
【解答过程】a=e−43
所以a
【变式6-2】（2023·四川南充·模拟预测）已知a=2525,b=3525,c=lg252，则（ ）
A．a
【解答过程】因为y=x25在0,+∞上递增，且25<35，
所以2525<3525，即0
所以c=lg252
【变式6-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知a=lnπ,b=lg3π,c=πln2，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．b
【解答过程】∵e<3<π，∴a=lgeπ>lg3π=b>lg33=1，即a>b>1，
∵a=lnπ=lnπ2, c=πln2=ln2π，
下面比较π2与 2π的大小，构造函数y=x2与y=2x，
由指数函数y=2x与幂函数y=x2的图像与单调性可知，
当x∈(0,2)时，x2<2x；当x∈(2,4)时，x2>2x
由x=π∈(0,2)，故π2 <2π，故lnπ
【题型7 利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数fx=2m2+m−2x2m+1在0,+∞上是增函数.
(1)求fx的解析式；
(2)若f2−a
（2）分析函数fx的定义域与单调性，根据f2−a
即2m2+m−3=0，即2m+3m−1=0，解得m=1或m=−32，
又因为函数fx=2m2+m−2x2m+1在0,+∞上是增函数，则2m+1>0，解得m>−12，
所以，m=1，故fx=x3.
（2）由（1）可知，fx=x3，该函数的定义域为R，
对任意的x∈R，f−x=−x3=−x3=−fx，则函数fx为R上的奇函数，
因为函数fx=x3在0,+∞上为增函数，则该函数在−∞,0上也为增函数，
所以，函数fx在R上为增函数，
由f2−a
【变式7-1】（2023上·陕西西安·高三校考阶段练习）解不等式：
(1)lg12x2−x−2>lg12(x−1)−1．
(2)1≤4x−3⋅2x+3≤7．
【解题思路】（1）利用对数函数的单调性解不等式即可，注意对数函数的定义域；
（2）分1≤4x−3⋅2x+3和4x−3⋅2x+3≤7两部分进行求解，然后取交集即可.
【解答过程】（1）lg12x2−x−2>lg12x−1−1=lg122x−1，
由对数函数的性质可得：x2−x−2>0x−1>0，解得x>2，
由于y=lg12x为递减函数，所以x2−x−2<2x−1，解得0
（2）首先求解1≤4x−3⋅2x+3的解，转化可得2x−12x−2≥0，
所以2x≤1或2x≥2，解得x≤0或x≥1；
再解4x−3⋅2x+3≤7，转化可得2x−42x+1≤0，
所以2x≤4，解得x≤2，
综上：1≤4x−3⋅2x+3≤7的解集为−∞,0∪1,2.
【变式7-2】（2023上·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数fx=x−22x−a,a∈R.
(1)当a=1时，解关于x的方程fx=0；
(2)当x≥3时，恒有fx≥1，求实数a的取值范围；
(3)解关于x的不等式fx≥0.
【解题思路】（1）将a=1代入即可解出方程fx=0的根为x=2或x=0；
（2）将不等式fx≥1恒成立问题转化为a≤2x−1x−2min,x∈3,+∞，再利用函数单调性即可得a≤7满足题意；
（3）对参数a的取值进行分类讨论，结合不等式即可求得其解集.
【解答过程】（1）当a=1时，方程fx=0即为fx=x−22x−1=0，
解得x=2或x=0；
（2）当x≥3时，不等式fx≥1可化为a≤2x−1x−2，
依题意可知，需满足a≤2x−1x−2min,x∈3,+∞，
由于函数y=2x在3,+∞上单调递增，函数y=−1x−2在3,+∞上单调递增；
所以函数y=2x−1x−2在3,+∞上单调递增，因此a≤2x−1x−2min=23−13−2=7，
即实数a的取值范围是−∞,7；
（3）由fx≥0可得x−22x−a≥0，
①当a≤0时，可得2x−a>0，不等式等价为x−2≥0，此时不等式解集为2,+∞；
②当0
此时不等式解集为2,+∞∪−∞,lg2a；
③当a=4时，方程x−22x−a=0仅有一根，即x=2，此时不等式解集为R；
④当a>4时，方程x−22x−a=0有两根，即x1=2,x2=lg2a，且2
【变式7-3】（2023上·贵州六盘水·高一统考阶段练习）已知函数fx=lga(x2+bx−1)，其中a>0且a≠1.
(1)若a>1，b=0，求不等式fx+1≤fx+4的解集；
(2)若∀m∈[1,+∞)，f2m+1≥f2m+2，求b的取值范围.
【解题思路】（1）根据复合函数单调性得到f(x)的单调性，再分类讨论即可；
（2）首先得到2m+1≥2m+2≥4，再转化为单调性问题，最后对a分类讨论即可.
【解答过程】（1）当b=0时，f(x)=lgax2−1.
由x2−1>0，解得x>1或x<−1，所以f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞).
因为f(−x)=lgax2−1=f(x)，所以f(x)为偶函数.
因为函数y=x2−1在(−∞,−1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.
当x+1>1，即x>0时，此时函数单调递增，且x+4>x+1，原不等式成立.
当x+1<−1,x+4>1，即−3
而x+4>x+1恒成立，即当x+4<−1时，不等式无解，
综上，原不等式的解集是−52,−2∪(0,+∞).
（2）因为m≥1，且2m+1−2m−2=2m−2≥21−2=0，所以2m+1≥2m+2≥4，
又因为f2m+1≥f2m+2，所以f(x)在[4,+∞)上单调递增.
当0
当a>1时，要使f(x)在[4,+∞)上单调递增，
则t(x)=x2+bx−1在[4,+∞)上单调递增，且t(x)>0在[4,+∞)上恒成立，
所以−b2≤44b+15>0，解得b>−154.
综上，b的取值范围是−154,+∞.
【题型8 反函数及其应用】
【例8】（2023上·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）设函数y=fx存在反函数y=f−1x，且函数y=x2−fx的图象过点2,3，则函数y=x−f−1x的图象一定过点（ ）
A．1,−1B．3,2C．1,0D．2,1
【解题思路】根据函数y=x2−fx的图象过点2,3，得到f2=1，即y=fx的图象过点2,1，然后再根据原函数和反函数图象上的点的对称性求解.
【解答过程】解：因为函数y=x2−fx的图象过点2,3，
所以22−f2=3，解得f2=1，即y=fx的图象过点2,1，
所以y=f−1x的图象过点1,2，y=−f−1x的图象过点1,−2，
所以y=x−f−1x的图象过点1,−1，
故选：A.
【变式8-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数y=fx的图象与y=lg2x+a的图象关于直线y=x对称，且满足f1+f2=2，则a=（ ）
A．4B．2C．1D．−1
【解题思路】根据图象的对称性得点f1,1，f2,2在函数y=lg2x+a的图象上，列方程组求解即可得解.
【解答过程】函数y=fx的图象与y=lg2x+a的图象关于直线y=x对称，
所以点f1,1，f2,2在函数y=lg2x+a的图象上，
所以lg2f(1)+a=1lg2f(2)+a=2，所以f(1)+a=2f(2)+a=4，所以f(1)+f(2)+2a=6，
又f1+f2=2，所以2+2a=6，所以a=2.
故选：B.
【变式8-2】（2022上·广东惠州·高一惠州一中校考期中）已知函数fx=12x，函数y=gx的图象与y=fx的图象关于直线y=x对称，则函数y=g−x2+2x的单调递减区间为（ ）
A．0,1B．1,+∞C．−∞,1D．1,2
【解题思路】先由反函数的性质得到gx=lg12x，再由对数函数的定义域求得0
所以gx=lg12x，则y=g−x2+2x=lg12−x2+2x，
令−x2+2x>0，得0
所以t=−x2+2x在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，
又gt在0,+∞上单调递减，
所以y=g−x2+2x的单调递减区间为0,1.
故选：A.
【变式8-3】（2023上·上海浦东新·高三校考阶段练习）若点P(x0,y0) (x0y0≠0)在函数y=f(x)的图像上，y=f−1(x)为函数y=f(x)的反函数，设P1(y0,x0)、P2(−y0,x0)、P3(y0,−x0)、P4(−y0,−x0)，则有（ ）
A．点P1,P2,P3,P4有可能都在函数y=f−1(x)的图像上
B．只有点P2不可能在函数y=f−1(x)的图像上
C．只有点P3不可能在函数y=f−1(x)的图像上
D．点P2,P3都不可能在函数y=f−1(x)的图像上
【解题思路】根据反函数存在的条件是原函数必须是一一对应的，然后根据反函数的性质可判断点P1,P2,P3,P4是否在函数y=f−1(x)图像上.
【解答过程】存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的,
根据点P(x0,y0) (x0y0≠0)在函数y=f(x)的图象上，
则P1(y0,x0)在反函数y=f−1(x)的图象
若点P1(y0,x0)与点P3(y0,−x0)都在反函数y=f−1(x)的图象上，
则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；
若点P2(−y0,x0)在反函数图象上则点(x0,−y0)在函数y=f(x)的图象上，
则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；
故点P2,P3都不可能在函数y=f−1(x)的图象上
故选：D．
【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】
【例9】（2023上·福建厦门·高一校考阶段练习）函数f(x)=lg44x+1−mx是偶函数，g(x)=4x−12x．
(1)求m的值；
(2)设ℎ(x)=f(x)+12x，若g[ℎ(x)]>ℎlg4(2a+1)对任意x≥lg43恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）根据偶函数的定义，结合对数的运算进行求解即可；
（2）根据复合函数的定义，结合函数单调性的性质、对数与指数恒等式、对数的运算性质进行求解即可.
【解答过程】（1）因为函数f(x)=lg44x+1−mx是偶函数，
所以f(x)−f−x=0⇒lg44x+1−mx−lg44−x+1+mx=0，
⇒lg44x+14−x+1=2mx⇒lg44x4x+11+4x=2mx⇒x=2mx，
对于任何实数x都成立，所以有2m=1⇒m=12；
（2）由（1）可知：ℎ(x)=f(x)+12x=lg44x+1，
g(x)=4x−12x=2x−2−x，
g[ℎ(x)]>ℎlg4(2a+1)⇒2lg44x+1−2−lg44x+1>lg44lg4(2a+1)+1 ⇒4x+112−4x+1−12>lg42a+2,
当x≥lg43时，显然函数y=4x+112−4x+1−12是单调递增函数，
所以有4x+112−4x+1−12≥4lg43+112−4lg43+1−12=3+112−3+1−12=32，
所以要想g[ℎ(x)]>ℎlg4(2a+1)对任意x≥lg43恒成立，
所以有2a+1>0⇒a>−12，
因此只需lg42a+2<32=lg423⇒0<2a+2<8⇒−1
即实数a的取值范围为−12,3.
【变式9-1】（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数fx=lg19a−x2+bx，gx=m⋅4x−2x+2+3.
(1)若y=lggx的值域为R，求满足条件的整数m的值；
(2)若非常数函数fx是定义域为−2,2的奇函数，且∀x1∈1,2，∃x2∈−1,1，fx1−gx2>−12，求m的取值范围.
【解题思路】（1）根据函数y=lggx的值域为R，可得函数gx的值域包含0,+∞，再分m=0，m>0和m<0三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；
（2）根据函数的奇偶性求出函数fx的解析式，再根据∀x1∈1,2，∃x2∈−1,1，fx1−gx2>−12，则只要fxmin+12>gxmin即可，求出函数fx的最小值，再从m分情况讨论，结合二次函数的性质求出gx的最小值即可.
【解答过程】（1）因为函数y=lggx的值域为R，
所以函数gx的值域包含0,+∞，
gx=m⋅4x−2x+2+3=m⋅2x2−4⋅2x+3，
当m=0时，gx=−2x+2+3，其值域为−∞,3，不满足条件，
当m≠0时，令t=2x,t∈0,+∞，
则函数y=mt2−4t+3的对称轴为t=2m，
当m>0时，ymin=m⋅2m2−4⋅2m+3=3−4m，
即gx的值域为3−4m,+∞，
所以3−4m≤0m>0，解得0
即函数gx的值域为−∞,3，不满足条件，
综上所述，0
所以f0=0f−1=−f1，
即lg19a2=0lg19a+12−b=−lg19a−12+b，解得a=2b=1或a=2b=−1，
由函数fx不是常数函数，所以a=2b=1，
经检验，符合题意，所以a=2b=1，
即fx=lg192−x2+x，
由∀x1∈1,2，∃x2∈−1,1，fx1−gx2>−12，
得∀x1∈1,2，∃x2∈−1,1，fx1+12>gx2，
只要fxmin+12>gxmin即可，
当x∈1,2时，2−x2+x=4−2+x2+x=42+x−1∈0,13，
所以函数fxmin=lg1913=12，
则fxmin+12=1，
gx=m⋅4x−2x+2+3=m⋅2x2−4⋅2x+3，
令n=2x，因为x∈−1,1，所以n∈12,2，
函数y=m⋅n2−4n+3,n∈12,2，
当m=0时，y=−4n+3,n∈12,2，
则n=2时，ymin=−5<1恒成立，符合题意；
当m≠0时，函数y=m⋅n2−4n+3,n∈12,2的对称轴为n=2m，
当m<0时，则n=2时，ymin=4m−5<0恒成立，符合题意；
当0<2m≤12，即m>4时，
则n=12时，ymin=14m+1，
所以m>414m+1<1，不等式组无解；
当2m≥2，即0
当12<2m<2，即1
所以1
【变式9-2】（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数fx=4x+14x+a为奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数fx的单调性并证明；
(3)设函数gx=lg2x2⋅lg2x4+m，若对任意的x1∈2,8，总存在x2∈0,1，使得gx1=fx2成立，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）考虑a≥0和a<0两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.
（2）确定定义域，设∀x1,x2∈0,+∞，且x1
（3）根据单调性确定x∈0,1时fx的值域A=53,+∞，设t=lg2x,t∈1,3，换元得到二次函数，计算g(x)最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.
【解答过程】（1）由已知函数需满足4x+a≠0，当a≥0时，函数的定义域为R，
函数fx=4x+14x+a为奇函数，所以f−x=−fx，
即4−x+14−x+a=−4x+14x+a在R上恒成立，即a+14x+1=0，a=−1（舍），
当a<0时，x≠lg4−a，函数的定义域为−∞,lg4−a∪lg4−a,+∞，
又函数fx=4x+14x+a为奇函数，所以lg4−a=0,a=−1，
此时fx=4x+14x−1，函数定义域为−∞,0∪0,+∞，
f−x=4−x+14−x−1=4x+1−4x+1=−fx，函数为奇函数，满足，
综上所述：a=−1；
（2）fx在−∞,0和0,+∞上单调递减，证明如下：
fx=4x+14x−1=1+24x−1，定义域为−∞,0∪0,+∞，
设∀x1,x2∈0,+∞，且x1
因为x1,x2∈0,+∞，且x1
所以fx1>fx2，所以fx在0,+∞上单调递减，
同理可证，所以fx在−∞,0上单调递减；
（3）函数fx在−∞,0和0,+∞上单调递减，
且当x∈−∞,0时，fx<0，当x∈0,+∞时，fx>0，
x2∈0,1时，fx≥f1=53，所以当x∈0,1时fx的值域A=53,+∞，
又gx=lg2x2⋅lg2x4+m=lg2x−1lg2x−2+m,x∈2,8，
设t=lg2x,t∈1,3，则y=t−1t−2+m=t2−3t+2+m，
当t=32时，取最小值为−14+m，当x=3时，取最大值为2+m，
即gx在x∈2,8上的值域B=−14+m,2+m，
又对任意的x1∈2,8，总存在x2∈0,1，使得gx1=fx2成立，
即B⊆A，所以−14+m≥53，解得m≥2312，即m∈2312,+∞.
【变式9-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）已知函数fx=lg3ax2−x+a2−3，g(x)=xα+x−α
(1)直接写出x>0时，g(x)的最小值.
(2)a=2时，Fx=fx−lg43在x∈1,32是否存在零点？给出结论并证明.
(3)若g(2)=52，f(g(x))存在两个零点，求a的取值范围.
【解题思路】（1）根据基本不等式可以判断g(x)的最小值，直接写出答案即可；
（2）判断Fx的单调性，结合零点存在性定理判断；
（3）由题意，求出α的值，将f(g(x))存在两个个零点转化为f(t)在t∈（−∞，−2)∪(2,+∞）上存在一个零点或两个零点为−2和2，结合二次函数分情况讨论即可.
【解答过程】（1）因为x>0，所以xα>0，
所以g(x)=xα+x−α=xα+1xα≥2xα×1xα=2，
当且仅当xα=1xα，即α=0时，等号成立，
所以当x>0时，g(x)=xα+x−α的最小值为2；
（2）a=2时，Fx=fx−lg43在x∈1,32上存在零点，证明如下：
当a=2时，fx=lg32x2−x+1，
令t=2x2−x+1=2x−142+78>0，
所以函数t在 1,32上单调递增，又因为y=lg3t在0,+∞上单调递增，
所以Fx=lg32x2−x+1−lg43在区间1,32上单调递增，
所以F1=lg32−lg43，而lg32lg43=ln2ln3ln3ln4=ln2ln4ln32
又F32=lg34−lg43，lg34>1，lg43<1，
则F32=lg34−lg43>0，
所以F1F32<0，
Fx=lg32x2−x+1−lg43在区间1,32上单调递增，
所以F(x)在x∈1,32上存在零点.
（3）由g(2)=2α+12α=52，解得α=±1，
则g(x)=x+1x∈（−∞，−2]∪[2,+∞）.
f(g(x))存在两个零点等价于f(t)在t∈（−∞，−2)∪(2,+∞）上存在一个零点或两个零点为−2和2，
令G(x)=ax2−x+a2−4，
则G(x)=ax2−x+a2−4在x∈（−∞，−2)∪(2,+∞）上存在一个零点或两个零点为−2和2，
（i）零点为−2和2，代入解得a∈∅，
（ii）当a>0，对称轴x=12a>0，
则只需G(2)=4a+a2−6<0G(−2)=4a+a2−2>0，
解得a∈(6−2,10−2)，
（iii）a=0，G(x)=−x−4，满足题意，
（iv）a<0，对称轴x=12a<0，
则只需G(2)=4a+a2−6<0G(−2)=4a+a2−2>0，
解得a∈(−2−10,−2−6)，
综上所述，a∈(−2−10,−2−6)∪(6−2,10−2)∪0.
1．（2023·全国·统考高考真题）已知f(x)=xexeax−1是偶函数，则a=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】根据偶函数的定义运算求解.
【解答过程】因为fx=xexeax−1为偶函数，则fx−f−x=xexeax−1−−xe−xe−ax−1=xex−ea−1xeax−1=0，
又因为x不恒为0，可得ex−ea−1x=0，即ex=ea−1x，
则x=a−1x，即1=a−1，解得a=2.
故选：D.
2．（2023·全国·统考高考真题）设函数fx=2xx−a在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−2B．−2,0
C．0,2D．2,+∞
【解题思路】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【解答过程】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx=2xx−a在区间0,1上单调递减，
则有函数y=x(x−a)=(x−a2)2−a24在区间0,1上单调递减，因此a2≥1，解得a≥2，
所以a的取值范围是2,+∞.
故选：D.
3．（2022·天津·统考高考真题）化简(2lg43+lg83)(lg32+lg92)的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值.
【解答过程】原式=(2×12lg23+13lg23)(lg32+12lg32)
=43lg23×32lg32=2，
故选：B.
4．（2023·天津·统考高考真题）若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>a>bB．c>b>a
C．a>b>cD．b>a>c
【解题思路】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【解答过程】由y=1.01x在R上递增，则a=1.010.5
所以b>a>c.
故选：D.
5．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A．f(x)=−lnxB．f(x)=12x
C．f(x)=−1xD．f(x)=3|x−1|
【解题思路】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【解答过程】对于A，因为y=lnx在0,+∞上单调递增，y=−x在0,+∞上单调递减，
所以fx=−lnx在0,+∞上单调递减，故A错误；
对于B，因为y=2x在0,+∞上单调递增，y=1x在0,+∞上单调递减，
所以fx=12x在0,+∞上单调递减，故B错误；
对于C，因为y=1x在0,+∞上单调递减，y=−x在0,+∞上单调递减，
所以fx=−1x在0,+∞上单调递增，故C正确；
对于D，因为f12=312−1=312=3，f1=31−1=30=1,f2=32−1=3，
显然fx=3x−1在0,+∞上不单调，D错误.
故选：C.
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=e−(x−1)2．记a=f22,b=f32,c=f62，则（ ）
A．b>c>aB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【解题思路】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【解答过程】令g(x)=−(x−1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，
因为62−1−1−32=6+32−42，而(6+3)2−42=9+62−16=62−7>0，
所以62−1−1−32=6+32−42>0，即62−1>1−32
由二次函数性质知g(62)
即62−1<1−22，所以g(62)>g(22)，
综上，g(22)
故选：A.
7．（2022·浙江·统考高考真题）已知2a=5,lg83=b，则4a−3b=（ ）
A．25B．5C．259D．53
【解题思路】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【解答过程】因为2a=5，b=lg83=13lg23，即23b=3，所以4a−3b=4a43b=2a223b2=5232=259．
故选：C.
8．（2022·全国·统考高考真题）已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>bB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a
【解题思路】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=lg910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>lg11，lg89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．
【解答过程】［方法一］：（指对数函数性质）
由9m=10可得m=lg910=lg10lg9>1，而lg9lg11
又lg8lg10
所以b=8m−9<8lg89−9=0.综上，a>0>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9m=10，可得m=lg910∈(1,1.5)．
根据a,b的形式构造函数f(x)=xm−x−1(x>1) ，则f'(x)=mxm−1−1，
令f'(x)=0，解得x0=m11−m ，由m=lg910∈(1,1.5) 知x0∈(0,1) .
f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a>b ，
又因为f(9)=9lg910−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
9．（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lgpp0，其中常数p0p0>0是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则（ ）．
A．p1≥p2B．p2>10p3
C．p3=100p0D．p1≤100p2
【解题思路】根据题意可知Lp1∈60,90,Lp2∈50,60,Lp3=40，结合对数运算逐项分析判断.
【解答过程】由题意可知：Lp1∈60,90,Lp2∈50,60,Lp3=40，
对于选项A：可得Lp1−Lp2=20×lgp1p0−20×lgp2p0=20×lgp1p2，
因为Lp1≥Lp2，则Lp1−Lp2=20×lgp1p2≥0，即lgp1p2≥0，
所以p1p2≥1且p1,p2>0，可得p1≥p2，故A正确；
对于选项B：可得Lp2−Lp3=20×lgp2p0−20×lgp3p0=20×lgp2p3，
因为Lp2−Lp3=Lp2−40≥10，则20×lgp2p3≥10，即lgp2p3≥12，
所以p2p3≥10且p2,p3>0，可得p2≥10p3，
当且仅当Lp2=50时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为Lp3=20×lgp3p0=40，即lgp3p0=2，
可得p3p0=100，即p3=100p0，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：Lp1−Lp2=20×lgp1p2，
且Lp1−Lp2≤90−50=40，则20×lgp1p2≤40，
即lgp1p2≤2，可得p1p2≤100，且p1,p2>0，所以p1≤100p2，故D正确；
故选：ACD.
10．（2023·北京·统考高考真题）已知函数f(x)=4x+lg2x，则f12= 1 ．
【解题思路】根据给定条件，把x=12代入，利用指数、对数运算计算作答.
【解答过程】函数f(x)=4x+lg2x，
所以f(12)=412+lg212=2−1=1.
故答案为：1.声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60∼90
混合动力汽车
10
50∼60
电动汽车
10
40
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【二轮复习】高考数学 专题2.1 函数的解析式与定义域、值域（题型专练）（新高考专用）.zip：
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【二轮复习】高考数学 专题10.1 概率与统计的综合运用（题型专练）（新高考专用）.zip：
这是一份【二轮复习】高考数学 专题10.1 概率与统计的综合运用（题型专练）（新高考专用）.zip，文件包含二轮复习高考数学专题101概率与统计的综合运用题型专练新高考专用原卷版docx、二轮复习高考数学专题101概率与统计的综合运用题型专练新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共94页， 欢迎下载使用。
