【二轮复习】高考数学 专题7.2 空间中的位置关系（题型专练）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc7511" 【题型1 空间中点、线、面位置关系的判断】 PAGEREF _Tc7511 \h 3
\l "_Tc13760" 【题型2 共面、共线、共点的证明】 PAGEREF _Tc13760 \h 5
\l "_Tc26339" 【题型3 线面平行的判定】 PAGEREF _Tc26339 \h 9
\l "_Tc17619" 【题型4 线面平行的性质定理的应用】 PAGEREF _Tc17619 \h 13
\l "_Tc30124" 【题型5 面面平行的判定】 PAGEREF _Tc30124 \h 17
\l "_Tc26392" 【题型6 面面平行的性质定理的应用】 PAGEREF _Tc26392 \h 21
\l "_Tc6942" 【题型7 线面垂直的判定】 PAGEREF _Tc6942 \h 25
\l "_Tc27037" 【题型8 线面垂直的性质定理的应用】 PAGEREF _Tc27037 \h 29
\l "_Tc29723" 【题型9 面面垂直的判定与性质】 PAGEREF _Tc29723 \h 33
\l "_Tc4512" 【题型10 平行、垂直关系的综合应用】 PAGEREF _Tc4512 \h 38
1、空间中的位置关系
空间中的位置关系是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，空间中的位置关系主要分两方面进行考查，一是空间中线面关系的命题的真假判断，常以选择题、填空题的形式考查，难度较易；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题的第一小问的形式考查，难度中等.
【知识点1 共面、共线、共点问题的证明方法】
1.共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
【知识点2 空间中两直线位置关系的判定方法】
1.空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定.
(1)异面直线的判定可采用直接法或反证法；
(2)平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；(3)垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
【知识点3 空间中的平行关系的判定方法】
1.线线平行的证明方法
(1)定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
(2)利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
(3)利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行；
(4)利用线面平行与面面平行的性质定理来判定线线平行.
2.线面平行的判定方法
(1)利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点；
(2)利用线面平行的判定定理：如果平面外有一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行一线面平行”)；
(3)利用面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面。(简记为“面面平行一线面平行”).
3.面面平行的判定方法
(1)面面平行的定义：两个平面没有公共点，常与反证法结合(不常用)；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(选择、填空题可用)；
(4)平行于同一个平面的两个平面平行(选择、填空题可用).
【知识点4 空间中的垂直关系的判定方法】
1.直线与平面垂直的判定方法
(1)定义法：利用定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；
(2)利用线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直(常用方法);
(3)可作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面(选择、填空题常用)；
(4)面面垂直的性质定理：如果两个平阿敏垂直，那么在一个平面内垂直于它门交线的直线垂直于另一个平面(常用方法)；
(5)面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平面；
(6)面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.
2.面面垂直判定的两种方法与一个转化
(1)两种方法：
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理.
(2)一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
3.平面与平面垂直的其他性质与结论
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
(2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
(3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
【知识点5 空间中位置关系的相互转化】
1.线、面垂直位置关系的相互转化
2.平行关系与垂直关系的相互转化
【题型1 空间中点、线、面位置关系的判断】
【例1】（2023·陕西咸阳·咸阳市实验中学校考一模）设m,n为两条直线，α,β为两个平面，若α⊥β，则（ ）
A．若m//α,n//β，则m⊥nB．若m⊥α,n//β，则m⊥n
C．若m⊥α,n⊥β，则m⊥nD．若m⊂α,n⊂β，则m⊥n
【解题思路】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，若α⊥β且m//α,n//β，则m与n平行、相交或异面，所以A不正确；
对于B中，若α⊥β且m⊥α,n//β，则m与n平行、相交或异面，所以B不正确；
对于C中，若α⊥β且m⊥α,n⊥β，
如图所示，取点A，过点A，作AB⊥α,AC⊥β，则AB//m,AC//n，
设α∩β=l，可得AB⊥l,AC⊥l，因为AB∩AC=A，且AB,AC⊂平面ABDC，
所以l⊥平面ABDC，又因为BD,CD⊂平面ABDC，所以l⊥BD,l⊥CD，
所以∠BDC为α与β所成角的平面角，由α⊥β，可得∠BDC=90∘，即BD⊥CD，
所以四边形ABDC为矩形，所以AB⊥AC，所以m⊥n，所以C正确；
对于D中，若α⊥β且m⊂α,n⊂β，则m与n平行、相交或异面，所以D不正确.
故选：C.
【变式1-1】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知直线m,n和平面α，满足n⊂α，则“m//n”是“m//α”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据线面关系，结合必要条件以及充分条件的定义，可得答案.
【解答过程】充分性：当且仅当m⊄α时，由m//n，则m//α，故“m//n”是“m//α”的不充分条件；
必要性：由题意可知：m与n无公共点，则m//n或者m与n异面，故“m//n”是“m//α”的不必要条件.
故选：D.
【变式1-2】（2023·上海·统考模拟预测）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，下列与BP始终异面的是（ ）

A．DD1B．ACC．AD1D．B1C
【解题思路】根据异面直线的定义一一判定即可.
【解答过程】由正方体的性质易知当P为A1C1的中点时，此时P∈B1D1，
而DD1//BB1，所以B,D,D1,B1共面，
则BP、DD1在平面BDD1B1上，故A不符题意；
同上，AA1//CC1，即A,C,C1,A1共面，
易知P∈平面ACC1A1，而B∉平面ACC1A1，故B符合题意；
当P、C1重合时，易知AB//D1C1,AB=D1C1，则四边形ABC1D1是平行四边形，
则此时AD1//BP，故C不符合题意；
同上当P、C1重合时，显然B1C，BP相交，故D不符合题意.
故选：B.
【变式1-3】（2023·四川达州·统考一模）已知m,n是两条不同直线，α,β,γ是三个不同平面，则下列说法正确的是（ ）
A．m//α,m⊥n,则n⊥αB．m⊥α,m⊥n,则n//α
C．α//β,m⊂β,则m//αD．m⊥β,β⊥γ,则m//γ
【解题思路】根据空间中直线、平面的位置关系逐项判断.
【解答过程】对于A：因为m//α,m⊥n,所以n⊂α或n//α或n与α相交，故A错误；
对于B：因为m⊥α,m⊥n,所以n⊂α或n//α，故B错误；
对于C：两个平面平行，一个平面中的任意一条直线平行于另外一个平面，故C正确；
对于D：因为m⊥β,β⊥γ,所以m//γ或m⊂γ，故D错误；
故选：C.
【题型2 共面、共线、共点的证明】
【例2】（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M,O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．A,M,O三点共线B．M,O,A1,B四点异不共面
C．B,B1,O,M四点共面D．B,D1,C,M四点共面
【解题思路】由长方体性质易知A,A1,C1,C四点共面且OM,BB1是异面直线, 再根据 M 与 A1C 、面 ACC1A1 、 面 AB1D1 的位置关系知 M 在面 ACC1A1 与面 AB1D1 的交线上, 同理判断 O、 A, 即可判断各选项的正误.
【解答过程】
因为 AA1//CC1,
则A,A1,C1,C四点共面.
因为 M∈A1C,
则 M∈ 平面 ACC1A1,
又 M∈ 平面 AB1D1,
则点 M 在平面 ACC1A1 与平面AB1D1的交线上,
同理, O、A也在平面 ACC1A1与平面 AB1D1 的交线上,
所以A,M,O三点共线;
从而 M,O,A1, A 四点共面,都在平面 ACC1A1 内，
而点B不在平面 ACC1A1 内，
所以M,O,A1,B四点不共面，故选项B正确；
B,B1,O,三点均在平面BB1D1D内，
而点A不在平面BB1D1D内，
所以直线AO与平面BB1D1D相交且点O是交点，
所以点M不在平面BB1D1D内，
即 B,B1,O,M 四点不共面，
故选项C错误；
BC∥D1A1，且BC=D1A1，
所以BCD1A1为平行四边形，
所以CA1,BD1共面，
所以B,D1,C,M四点共面，
故选项D正确.
故选: C.
【变式2-1】（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G,H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.则下面几个说法中正确的个数是（ ）

①E，F，G，H四点共面；②EG//FH;③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线．
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】推导出EF//BD，GH//BD，从而EF//GH，由此能证明E，F，G，H四点共面；EF≠GH，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线AC上．
【解答过程】如图所示，

E，F分别为AB，AD的中点，∴EF//BD，EF=12BD，
G,H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2，∴GH//BD，GH=23BD，
∴EF//GH，则E，F，G，H四点共面，说法①正确；
∵GH>EF，四边形FEGH是梯形，EG//FH不成立，说法②错误；
若直线EG与直线FH交于点P，则由P∈EG，EG⊂平面ABC，得P∈平面ABC，
同理P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD=AC，P∈ AC
∴则P，A，C三点共线，说法③正确；
说法中正确的有2 个.
故选：C.
【变式2-2】（2023下·河南开封·高一校联考期末）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点.设AE与平面BB1D1D的交点为O，则（ ）

A．三点D1,O,B共线，且OB=2OD1
B．三点D1,O,B共线，且OB=3OD1
C．三点D1,O,B不共线，且OB=2OD1
D．三点D1,O,B不共线，且OB=3OD1
【解题思路】连接AD1，BC1利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果.
【解答过程】连接连接AD1，BC1，

∵O∈直线AE,AE⊂平面ABC1D1,∴O∈平面ABC1D1.
又∵O∈平面BB1D1D，平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1,∴O∈直线BD1
∴三点D1,O,B共线.
∵△ABO∼△ED1O,∴OB:OD1=AB:ED1=3:1,∴OB=3OD1.
故选：B.
【变式2-3】（2023下·河南洛阳·高一校考阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，平面D1PQ∩平面ABCD=l，则下列结论错误的是（ ）
A．l过点B
B．l不一定过点B
C．D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上
D．D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上
【解题思路】作出辅助线，得到D1，P，B，Q四点共面，即B∈平面D1PBQ，又B∈平面ABCD，所以B∈l；作出辅助线，得到F∈平面D1PBQ，F∈平面ABCD，故F∈l，同理D正确.
【解答过程】连接PB，QB，如图，
因为P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，
由勾股定理得D1P=D1Q=QB=BP，
所以四边形D1PBQ是菱形，
所以D1，P，B，Q四点共面，即B∈平面D1PBQ.
又B∈平面ABCD，所以B∈l，故A结论正确，B结论错误.
如图，延长D1P与DA的延长线交于点F，延长D1Q与DC的延长线交于点E.
因为D1F⊂平面D1PBQ，所以F∈平面D1PBQ，
因为DF⊂平面ABCD，所以F∈平面ABCD，所以F∈l，
同理E∈l，故C，D正确.
故选：B.
【题型3 线面平行的判定】
【例3】（2023·全国·模拟预测）已知三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，A1C1的中点，有以下四个结论：
①直线BC1∥平面A1DC； ②直线DE∥平面BCC1B1；
③直线A1D∥平面B1EC； ④直线BC1∥平面CDE.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据题意，由线面平行的判定定理，对选项逐一判断，即可得到结果.
【解答过程】
对于①：如图1，连接AC1，交AC1于点F，连接DF，则点F是AC1的中点，又D是AB的中点，所以DF∥BC1，因为DF⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，所以直线BC1∥平面A1DC，所以①正确.
对于②：如图2，取BC的中点F，连接DF，C1F，因为D是AB的中点，所以DF∥AC，且DF=12AC，又EC1=12A1C1=12AC，EC1∥AC，所以DE∥C1F，DF=EC1，所以四边形DFC1E是平行四边形，所以DE∥C1F，又C1F⊂平面BCC1B1，DE⊄平面BCC1B1，所以直线DE∥平面BCC1B1，故②正确.
对于③：如图3，取BC的中点F，连接DF，因为D是AB的中点，所以DF∥AC，且DF=12AC，又A1E=12A1C1=12AC，A1E∥AC，所以DF∥A1E，DF=A1E，连接EF，所以四边形DFEA1是平行四边形，所以A1D∥EF，显然EF与平面B1EC相交，则A1D与平面B1EC相交，故③错误.
对于④：如图4，连接AC1，交EC于点F，连接DF，则平面ABC1∩平面CDE=DF，若直线BC1∥平面CDE，则DF∥BC1，由于D是AB的中点，所以点F是AC1的中点，而显然点F不是AC1的中点，矛盾，故④错误.
故选：B.
【变式3-1】（2023·广西·校联考模拟预测）在三棱锥D-ABC中，M,N分别是△ACD、△BCD的重心，以下与直线MN平行的是（ ）
A．直线CDB．平面ABDC．平面ACDD．平面BCD
【解题思路】取CD中点为E，由M，N分别是△ACD 和△BCD的重心，证得MN//AB，结合CD不平行AB，可判定A错误；利用线面平行的判定定理，证得MN//平面ABD，可判定B正确；结合M∈平面ACD，M∉平面BCD和N∈平面BCD，N∉平面ACD，可判定C、D错误．
【解答过程】如图所示，取CD中点为E，连结AE、BE，
由M，N分别是△ACD 和△BCD的重心，可得AMME=21，BNNE=21，
则EMEA=13，ENEB=13，即EMEA=ENEB=13，所以MN//AB，
又由CD不平行AB，故A错误；
由MN//AB，且MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以MN//平面ABD，
所以B正确；
因为M∈平面ACD，N∉平面ACD，所以MN与平面ACD不平行，所以C错误；
因为N∈平面BCD，M∉平面BCD，所以MN与平面BCD不平行，所以D错误．
故选：B．
【变式3-2】（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）如图，四棱锥D1-ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，E为侧棱D1D的中点．
(1)证明：BD1//平面ACE；
(2)若D1D⊥底面ABCD，且D1D=4，求四棱锥D1-ABCD的表面积．
【解题思路】（1）利用直线与平面平行的判定定理容易证出；
（2）容易推导出四个侧面都是直角三角形，进而D1-ABCD表面积可求.
【解答过程】（1）如下图，连接BD,设BD与AC相交与点M,连接EM.
因为底面ABCD是边长为3的正方形，所以M为BD中点，
又因为E为侧棱D1D的中点，所以BD1// EM，
又BD1⊄平面ACE，EM⊂平面ACE，
所以BD1//平面ACE.
（2）因为D1D⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以D1D⊥AB，又AB⊥AD，
DD1∩AD=D,DD1,AD⊂平面D1AD，所以AB⊥平面D1AD，
而AD1⊂平面D1AD，所以AB⊥AD1，同理可证BC⊥CD1，
所以△D1AD,△D1AB,△D1BC,△D1CD均为直角三角形，
则四棱锥D1-ABCD的表面积为S=12D1D×AD+D1D×CD+D1A×AB+D1C×BC+AB×CB
=122×3×4+2×3×5+32=36，
所以四棱锥D1-ABCD的表面积为36.
【变式3-3】（2023·河南新乡·统考三模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，△ABF是等边三角形，EF//AD，BC=2EF=4，M是AD的中点.
(1)证明：MF//平面ECD；
(2)当平面ABF⊥平面ABCD时，求多面体ABCDEF的体积.
【解题思路】（1）利用已知条件证明MF//DE，则可得MF//平面ECD.
（2）多面体ABCDEF分成四棱锥E-ABCD和三棱锥E-ABF，分别求体积即可.
【解答过程】（1）证明：因为EF//AD，EF=12BC=12AD，M是AD的中点，
所以EF//DM，且EF=DM，
所以四边形DEFM是平行四边形，从而MF//DE.
因为MF⊂平面ECD，DE⊂平面ECD，所以MF//平面ECD.
（2）解：连接BE，AE，则VABCDEF=VE-ABCD+VE-ABF
因为平面ABF⊥平面ABCD，平面ABF∩平面ABCD=AB，
AD⊂平面ABCD，ABCD是正方形,AD⊥AB，所以AD⊥平面ABF，
又EF//AD，所以EF⊥平面ABF.
VE-ABF=13×12×4×23×2=833，
设AB的中点为H，连接FH，
则FH⊥平面ABCD，因为EF//AD，EF⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EF//平面ABCD，
所以E到平面ABCD的距离等于FH的长度，且FH=23，
所以VE-ABCD=13×(4×4)×23=3233，
所以VABCDEF=833+3233=4033.
【题型4 线面平行的性质定理的应用】
【例4】（2023下·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面α，使SB∥α，设α与SM交于点N，则SMSN的值为（ ）

A．43B．32C．23D．34
【解题思路】连接MB交AC于点D，连接ND,NA,NC，根据线面平行得性质证明SB∥DN，再根据MC∥AB可得DMDB=MCAB，进而可得出答案.
【解答过程】连接MB交AC于点D，连接ND,NA,NC，则平面NAC即为平面α，

因为SB∥α，平面SMB∩α=DN，SB⊂平面SMB，所以SB∥DN，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以∠ABM=∠BMC=∠MBC=∠BAC=30°，MC=BC=12AB，
所以MC∥AB且MC=12AB，所以DMDB=MCAB=12，
又SB∥DN，所以MNSN=DMDB=12，所以SMSN=32.
故选：B.
【变式4-1】（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）在四棱锥P-ABCD中，DC=3AB，过直线AB的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱PC交于点E，则PEPC=（ ）
A．12B．22C．32D．23
【解题思路】设平面与PD交于F，由题设易证DC//EF，若PEPC=λ (0