2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】- （新高考专用）

这是一份2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列 专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】- （新高考专用），文件包含专题23幂函数与指对数函数九大题型举一反三新高考专用原卷版docx、专题23幂函数与指对数函数九大题型举一反三新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】
【新高考专用】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3124" 【题型1 指数幂与对数式的化简求值】 PAGEREF _Tc3124 \h 2
\l "_Tc15609" 【题型2 指对幂函数的定义与解析式】 PAGEREF _Tc15609 \h 3
\l "_Tc1520" 【题型3 指对幂函数的定义域与值域】 PAGEREF _Tc1520 \h 4
\l "_Tc14629" 【题型4 指对幂函数的图象的识别与应用】 PAGEREF _Tc14629 \h 4
\l "_Tc21865" 【题型5 指对幂函数的单调性问题】 PAGEREF _Tc21865 \h 5
\l "_Tc32362" 【题型6 指对幂比较大小】 PAGEREF _Tc32362 \h 6
\l "_Tc27568" 【题型7 利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】 PAGEREF _Tc27568 \h 6
\l "_Tc1519" 【题型8 反函数及其应用】 PAGEREF _Tc1519 \h 7
\l "_Tc44" 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 PAGEREF _Tc44 \h 8
1、幂函数与指、对数函数
幂函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.
【知识点1 幂函数的解题技巧】
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3.比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【知识点2 指数、对数运算的解题策略】
1.指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
2.对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】
1．指数函数的常见问题及解题思路
(1)比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
(2)指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
(3)指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
2．对数函数的常见问题及解题思路
(1)对数函数图象的识别及应用
①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 指数幂与对数式的化简求值】
【例1】（2023·山东·校联考模拟预测）若a−1−a1=4， 则a−2+a2的值为（ ）
A．8B．16C．2D．18
【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知3a=4b=m, 1a+12b=2，则m的值为（ ）
A．36B．6C．6D．46
【变式1-2】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）计算：
(1)2790.5+0.1−2+21027−23−3π0+3748；
(2)lg23⋅lg34+lg52+lg5⋅lg20+12lg16−2lg23.
【变式1-3】（2023·吉林长春·长春校考模拟预测）（1）求值：(32×3)6+(22)43−4×1649−12−42×80.25−(−2023)0；
（2）已知lgx+lgy=2lg(x−2y)，求lg2xy的值.
【题型2 指对幂函数的定义与解析式】
【例2】（2022上·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y=lnxB．y=lg2x2C．y=lgax9D．y=lg2x−2022
【变式2-1】（2023·四川成都·校联考一模）已知幂函数fx=xα的图象过点P3,9，则α=（ ）
A．12B．1C．2D．3
【变式2-2】（2023上·吉林长春·高一校考期中）函数y=a2−5a+7ax+6−2a是指数函数，则有（ ）
A．a=2或a=3B．a=3
C．a=2D．a>2，且a≠3
【变式2-3】（2023上·高一课时练习）若函数f(x)=a2−3a+3lgax是对数函数，则a的值是（ ）
A．1或2B．1
C．2D．a>0且a≠1
【题型3 指对幂函数的定义域与值域】
【例3】（2023上·四川成都·高一校考期中）函数fx=2x−4x−5的定义域为（ ）
A．−∞,2B．−∞,5∪5,+∞
C．2,+∞D．2,5∪5,+∞
【变式3-1】（2022上·安徽·高一校联考阶段练习）已知幂函数f(x)的图像过点2,14，则（ ）
A．f(x)为减函数B．f(x)的值域为(0,+∞)
C．f(x)为奇函数D．f(x)的定义域为R
【变式3-2】（2022·北京东城·统考一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A．y=lnxB．y=exC．y=x3D．y=1x
【变式3-3】（2023上·江西吉安·高一校考阶段练习）已知函数fx=3x−2,x⩽1,x12,10,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A．a>1,c>1 B．a>1,0bD．c>a>b
【变式6-1】（2023·江西·统考模拟预测）设a=e−43，b=ln3，c=3−1+lg32，则（ ）
A．cb>0C．b>a>0D．b>0>a
9．（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lgpp0，其中常数p0p0>0是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3，则（ ）．
A．p1≥p2B．p2>10p3
C．p3=100p0D．p1≤100p2
10．（2023·北京·统考高考真题）已知函数f(x)=4x+lg2x，则f12= ．
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60∼90
混合动力汽车
10
50∼60
电动汽车
10
40