【二轮复习】高考数学 专题3.2 函数的单调性、极值与最值（题型专练）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc16041" 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 PAGEREF _Tc16041 \h 2
\l "_Tc32682" 【题型2 由函数的单调性求参数】 PAGEREF _Tc32682 \h 4
\l "_Tc26575" 【题型3 利用导数求函数的极值（点）】 PAGEREF _Tc26575 \h 6
\l "_Tc27987" 【题型4 根据极值（点）求参数】 PAGEREF _Tc27987 \h 8
\l "_Tc9371" 【题型5 利用导数求函数的最值】 PAGEREF _Tc9371 \h 10
\l "_Tc25150" 【题型6 已知函数最值求参数】 PAGEREF _Tc25150 \h 12
\l "_Tc3606" 【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 PAGEREF _Tc3606 \h 14
1、函数的单调性、极值与最值
导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大.
【知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略】
1.确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)0求解.
【解答过程】解：因为y=-x2+lnx，
所以y'=-2x+1xx>0，
由y'>0，即-2x+1x>0，
解得00，所以fx=ex+e-x在0,+∞上单调递增，
故C选项符合题意；
对于D，因为fx=ex-e-x的定义域为R关于原点对称，但f-x=e-x-ex=-ex-e-x=-fx，
所以fx=ex-e-x是奇函数不是偶函数，
故D选项不符合题意.
故选：C.
【变式1-2】（2023·上海静安·统考二模）函数y=xlnx（ ）
A．严格增函数
B．在0,1e上是严格增函数，在1e,+∞上是严格减函数
C．严格减函数
D．在0,1e上是严格减函数，在1e,+∞上是严格增函数
【解题思路】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.
【解答过程】解：已知y=xlnx，x>0，则y'=lnx+x⋅1x=lnx+1，
令y'=0，即lnx+1=0，解得x=1e，
当00，所以在1e,+∞上是严格增函数，
故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=lnx-2+ln4-x，则fx的单调递增区间为（ ）
A．2,3B．3,4C．-∞,3D．3,+∞
【解题思路】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.
【解答过程】由x-2>04-x>0得：20；当x∈3,4时，f'x0可得答案．
【解答过程】由题意，得f'(x)=2-sinxcsx'=2-1cs2x=2cs2x-1cs2x，
当x∈-π2,-π4∪π4,π2时，2cs2x-10．
所以f(x)在-π2,-π4上单调递减，在-π4,π4上单调递增，在π4,π2上单调递减．
当x=-π4时，f(x)取得极小值，为f-π4=-3π2+1；
当x=π4时，f(x)取得极大值，为fπ4=-π2-1．
故选：D．
【变式3-1】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数fx及其导函数f'x的定义域均为R，且f'x-fx=x2e2x,f0=0，则fx（ ）
A．有一个极小值点，一个极大值点B．有两个极小值点，一个极大值点
C．最多有一个极小值点，无极大值点D．最多有一个极大值点，无极小值点
【解题思路】设gx=fxex，求导后，构造hx=gx+x2ex，求导，得到其单调性和极值情况，结合极小值为0，故当x∈-∞,-1时，hx至多有1个变号零点，且在-1,+∞上无变号零点；分hx在区间-∞,-1上没有变号零点和1个变号零点两种情况，得到极值情况.
【解答过程】令gx=fxex，则g'x=f'x-fxex=x2e2xex=x2ex，
故f'x=fx+x2e2x=exgx+x2e2x=exgx+x2ex．
令hx=gx+x2ex，
所以h'x=g'x+x2+2xex=x2ex+x2+2xex=2xx+1ex，
当x∈-∞,-1时，h'x>0,hx单调递增，
当x∈-1,0时，h'x1+csx≥0,即f'(x)>0,所以f(x)在(π,+∞)上单调递增.
令h(x)=f'(x)=csx-1+2πx,则h'(x)=-sinx+ 2π,
又h'π2=2π-10，f(x)递增，
所以f(x)在x=1e处得到极小值f(1e)=1eln1e= -12e.
故选：C.
【题型4 根据极值（点）求参数】
【例4】（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数fx=ax+lnxb+1在x=1处取得极值0，则a+b=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【解题思路】根据极值点的意义，列式求解.
【解答过程】f'x=a+1bx，
有f1=a+1=0f'1=a+1b=0，得a=-1,b=1，
所以a+b=0.
故选：B.
【变式4-1】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x无极值，则a的取值范围为（ ）
A．[-3,6]B．(-3,6)
C．(-∞,-3]∪[6,+∞)D．(-∞,-3)∪(6,+∞)
【解题思路】直接对函数求导，再利用极值的定义即可求出结果.
【解答过程】因为f(x)=x3+ax2+(a+6)x，所以f'(x)=3x2+2ax+a+6，因为f(x)无极值，所以(2a)2-4×3×(a+6)≤0，解得-3≤a≤6，所以a的取值范围为[-3,6]．
故选：A.
【变式4-2】（2023·四川绵阳·统考一模）若函数y=csωx+π6（ω>0）在区间-π2,0上恰有唯一极值点，则ω的取值范围为（ ）
A．13,76B．13,76C．13,73D．23,73
【解题思路】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解.
【解答过程】当x∈-π2,0，ωx+π6∈-ωπ2+π6,π6，
由于y=csωx+π6（ω>0）在区间-π2,0上恰有唯一极值点，故满足-π≤-ωπ2+π60，得x2；令f'(x)0，
所以函数ft在0,+∞上单调递增，由xex=lnxyelnxy得fx=flnxy，
所以x=lnxy，所以lny=lnx-x，
所以lnx+1x+lny=lnx+1x+lnx-x，记gx=lnx+1x+lnx-x，
则g'x=-lnx+x-x2x2，所以g'1=0，记hx=-lnx+x-x2，
则h'x=-2x+1-1x≤-22+10，g'x>0，gx单调递增，
在1,+∞上，hx3时，f'(x)0,f(x)单调递增，当x→+∞时，f(x)→0且f(x)>0，当x→-∞时，f(x)→-∞，
所以fx在x=3时有极大值即最大值f3=33e3=27e3，无最小值.
故选：C.
【题型6 已知函数最值求参数】
【例6】（2023·广西·统考模拟预测）已知函数fx=lnx+ax存在最大值0，则a的值为（ ）
A．-2B．-1eC．1D．e
【解题思路】讨论a与0的大小关系确定f(x)的单调性，求出f(x)的最大值.
【解答过程】因为f'x=1x+a，x>0，
所以当a≥0时，f'x>0恒成立，故函数fx单调递增，不存在最大值；
当a0，函数单调递增，
当x∈-1a,+∞时，f'x0,gx单调递增，
∴当a≥0时，gx在0,π内有唯一的极小值点x0=3π4，不存在极大值，不符合题意．
（ⅱ）当ax3时，1ex+a0，可得x>1，
所以ux在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
故uxmin=u1=e-m，
①m≤e时，uxmin≥0，则ux≥0，令f'x0时，h'x>0，则hx在0,+∞上单调递增，
当x1，
φ'x=ex-2>0，φx在1,+∞上单调递增，即φx>φ1=e-2>0，
即有v'x>0，即vx在1,+∞上单调递增，
即vx>v1=e-2>0，所以ex>x2，
当x>m>e时，ux>x2x-m=x-m>0，此时∃x2∈1,+∞，使得ux2=0，
因此x∈0,x1，f'xe时，∃x1∈0,1，使得ux1=0，∃x2∈1,+∞，使得ux2=0，
所以fx在0,x1上单调递减，在x1,1上单调递增，在1,x2上单调递减，在x2,+∞上单调递增，
其中exixi-m=0i=1,2，即xi=lnm+lnxi，所以fxmin=minfx1,fx2=1+lnm，
而fxi=mxiexi+xi-lnxi=1+lnm符合要求，所以m>e，
综上可得，实数m的取值范围为mm≥e.
【变式7-3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数fx=xlnx-12ax2，其中a∈R.
(1)若a=1，求fx的单调区间；
(2)若fx恰有2个不同的极值点，求a的取值范围；
(3)若fx恰有2个不同的零点，求a的取值范围.
【解题思路】（1）求得f'x=1+lnx-x，设gx=1+lnx-x，利用导数求得函数gx的单调性，结合gx≤g1=0，得到f'x≤0，即可求解；
（2）求得f'x=1+lnx-ax，转化为f'x=0有两个不等的正根，设hx=1+lnx-ax，分a≤0和a>0，两种情况，利用导数求得函数的单调性，结合hx≤h1a=-lna，列出不等式，即可求解；
（3）根据题意，转化为12a=lnxx,x>0，设mx=lnxx，求得m'x=1-lnxx2，得出函数mx单调性和最值，列出不等式，即可求解.
【解答过程】（1）解：若a=1，则fx=xlnx-12x2，可得f'x=1+lnx-x，
设gx=1+lnx-x，则g'x=1x-1，
当00，解得00，
设mx=lnxx，则m'x=1-lnxx2，
当x>e时，m'x0，得x>e-12；
故f(x)在0,e-12上单调递减，在e-12,+∞上单调递增，
因为f(x)为偶函数，所以f(x)在-e-12,0上单调递增，在-∞,e-12上单调递减，

显然，此时x=0是f(x)的极大值，故D错误.
故选：ABC.
4．（2023·全国·统考高考真题）若函数fx=alnx+bx+cx2a≠0既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．bc>0B．ab>0C．b2+8ac>0D．ac0x1+x2=ba>0x1x2=-2ca>0，即有b2+8ac>0，ab>0，ac-1，
满足题意时f'x≥0在区间0,+∞上恒成立.
令-1x2lnx+1+1x+a1x+1≥0，则-x+1lnx+1+x+ax2≥0，
令gx=ax2+x-x+1lnx+1，原问题等价于gx≥0在区间0,+∞上恒成立，
则g'x=2ax-lnx+1，
当a≤0时，由于2ax≤0,lnx+1>0，故g'xg0=0，满足题意.
当00，解得x0，则fx单调递增，
所以fx在x2,+∞上无极值点；
综上：fx在-∞,0和x1,x2上各有一个极小值点，在0,x1上有一个极大值点，共有3个极值点.
8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=ax-sinxcs2x,x∈0,π2．
(1)当a=1时，讨论fx的单调性；
(2)若fx+sinxg0=0，
所以gx在区间0,+∞上无零点，不符合题意；
当00,hx单调递增，
当x∈1,+∞时，h'x2a2a-1-2a-12+2a-1=0，且注意到g'0=0，
根据零点存在性定理可知:g'x在区间0,+∞上存在唯一零点x0.
当x∈0,x0时，g'x4a2+116a2-4a2-14a+4a2+1=4a2+112a2-14a+4a2+1>0，
所以函数gx在区间0,+∞上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数a得取值范围是0,12.
10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=aex+a-x．
(1)讨论fx的单调性；
(2)证明：当a>0时，fx>2lna+32．
【解题思路】（1）先求导，再分类讨论a≤0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为a2-12-lna>0的恒成立问题，构造函数ga=a2-12-lnaa>0，利用导数证得ga>0即可.
方法二：构造函数hx=ex-x-1，证得ex≥x+1，从而得到f(x)≥x+lna+1+a2-x，进而将问题转化为a2-12-lna>0的恒成立问题，由此得证.
【解答过程】（1）因为f(x)=aex+a-x，定义域为R，所以f'x=aex-1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f'x=aex-10时，令f'x=aex-1=0，解得x=-lna，
当x0，则fx在-lna,+∞上单调递增；
综上：当a≤0时，fx在R上单调递减；
当a>0时，fx在-∞,-lna上单调递减，fx在-lna,+∞上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，fxmin=f-lna=ae-lna+a+lna=1+a2+lna，
要证f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2-12-lna>0恒成立，
令ga=a2-12-lnaa>0，则g'a=2a-1a=2a2-1a，
令g'a0；
所以hx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
故hx≥h0=0，则ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立，
因为f(x)=aex+a-x=aex+a2-x=ex+lna+a2-x≥x+lna+1+a2-x，
当且仅当x+lna=0，即x=-lna时，等号成立，
所以要证f(x)>2lna+32，即证x+lna+1+a2-x>2lna+32，即证a2-12-lna>0，
令ga=a2-12-lnaa>0，则g'a=2a-1a=2a2-1a，
令g'a