【二轮复习】高考数学 专题10.1 概率与统计的综合运用（题型专练）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc25992" 【题型1 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式】 PAGEREF _Tc25992 \h 3
\l "_Tc20086" 【题型2 求概率及随机变量的分布列与期望】 PAGEREF _Tc20086 \h 4
\l "_Tc18156" 【题型3 超几何分布与二项分布】 PAGEREF _Tc18156 \h 6
\l "_Tc11323" 【题型4 正态分布及其应用】 PAGEREF _Tc11323 \h 7
\l "_Tc5864" 【题型5 概率与其它知识的交汇问题】 PAGEREF _Tc5864 \h 8
\l "_Tc13058" 【题型6 期望与方差的实际应用】 PAGEREF _Tc13058 \h 11
\l "_Tc1664" 【题型7 统计图表问题】 PAGEREF _Tc1664 \h 13
\l "_Tc8209" 【题型8 回归分析】 PAGEREF _Tc8209 \h 15
\l "_Tc13548" 【题型9 独立性检验】 PAGEREF _Tc13548 \h 18
\l "_Tc14500" 【题型10 决策型问题】 PAGEREF _Tc14500 \h 21
\l "_Tc29137" 【题型11 独立性检验与统计图表的综合运用】 PAGEREF _Tc29137 \h 23
1、概率统计综合
概率与统计是高考的热点内容，概率统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，在高考考查中一般情况会对多个知识点进行综合考查.从近几年的高考情况来看，题量通常为“两小一大”，选择题、填空题考查比较全面；解答题重点考查概率统计主干知识，主要涉及古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、回归分析、独立性检验等内容；试题难度中等，二轮复习时需要熟练掌握这些内容，加强练习.
【知识点1 古典概型中基本事件的求解方法】
1.求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.
【知识点2 条件概率与全概率公式的解题策略】
1.求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n( A)，再在事件A发生的条件下求事件B包
含的基本事件数，即n( AB)，得.
2.利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算.
【知识点3 离散型随机变量及其分布的解题策略】
1.离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列；
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
2.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
【知识点4 二项分布与超几何分布、正态分布的解题策略】
1.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点：
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
2.超几何分布的关键点：
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
2.解决正态分布问题的三个关键点：
(1)对称轴x=μ；
(2)标准差；
(3)分布区间：利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,，分布区间的特征进行转化，使分布区间
转化为3特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
【知识点5 频率分布直方图中的数字特征】
1.众数、中位数、平均数的应用要点
中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我
们需根据实际需要选择使用.
2.频率分布直方图的数字特征
(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图
中，最高小长方形的底边中点的横坐标；
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.
【知识点6 回归分析的常用结论】
1.回归分析的三大常用结论
(1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心.
(2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
(3)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大.
【知识点7 独立性检验的解题策略】
1.变量相关性的判断
在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad-bc≈0.|ad-bc|越小，说明两个变量之间关系越
弱；|ad-bc|越大，说明两个变量之间关系越强.
2.独立性检验的应用问题的解题策略
解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式计算；
(3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断.
【题型1 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式】
【例1】（2024·河南信阳·二模）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A．1237B．1537C．35D．47
【变式1-1】（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：PAB=PBAPAPB站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A．0.1%B．0.4%C．2.4%D．4%
【变式1-2】（2024·山东临沂·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有15的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率约为12，其余学生的近视率约为38，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A．15B．716C．25D．78
【变式1-3】（2024·四川德阳·模拟预测）质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A，这两个数都是素数；事件B：这两个数不是孪生素数，则PBA=（ ）
A．1115B．3745C．1315D．4145
【题型2 求概率及随机变量的分布列与期望】
【例2】（2024·山东烟台·一模）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别45,13，乙答对两道题的概率分别为23,12，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立.
(1)在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率；
(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；
(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.
【变式2-1】（2024·广东·模拟预测）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为34和12，假设每次操作能否成功相互独立.
(1)随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率；
(2)操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：
方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作；
方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作.
假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值.
【变式2-2】（2024·山东泰安·一模）某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记-1分，得分在5分以上（含5分）则获奖．
(1)求在1次游戏中，获奖的概率；
(2)求在1次游戏中，得分X的分布列及均值．
【变式2-3】（2024·贵州贵阳·一模）猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为23，乙同学猜对每个灯谜的概率为12.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：
(1)甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；
(2)活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在A箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是23；没有都猜对则在B箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是14，求甲同学抽中新春大礼包的概率；
(3)甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为X，求X的分布列与数学期望.
【题型3 超几何分布与二项分布】
【例3】（2024·吉林·模拟预测）已知某种疾病的某种疗法的治愈率为90%．若有1000位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，P(X=k)>P(X=1000-k)，则（ ）
A．k≤499B．k≤500
C．k≥500D．k≥501
【变式3-1】（2023·山东泰安·模拟预测）某人在n次射击中击中目标的次数为X，X∼Bn,p，其中n∈N*,0