【二轮复习】高考数学 专题3.1 导数的概念及其几何意义与运算（题型专练）（新高考专用）.zip

这是一份【二轮复习】高考数学 专题3.1 导数的概念及其几何意义与运算（题型专练）（新高考专用）.zip，文件包含二轮复习高考数学专题31导数的概念及其几何意义与运算题型专练新高考专用原卷版docx、二轮复习高考数学专题31导数的概念及其几何意义与运算题型专练新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24472" 【题型1 导数的定义及其应用】 PAGEREF _Tc24472 \h 2
\l "_Tc19161" 【题型2 求（复合）函数的导数的方法】 PAGEREF _Tc19161 \h 3
\l "_Tc3673" 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 PAGEREF _Tc3673 \h 5
\l "_Tc27454" 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 PAGEREF _Tc27454 \h 6
\l "_Tc30930" 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 PAGEREF _Tc30930 \h 8
\l "_Tc21498" 【题型6 切线的条数问题】 PAGEREF _Tc21498 \h 9
\l "_Tc9419" 【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 PAGEREF _Tc9419 \h 11
\l "_Tc431" 【题型8 与切线有关的最值问题】 PAGEREF _Tc431 \h 13
1、导数的几何意义与运算
导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.
【知识点1 切线方程的求法】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2 复合函数的导数】
1.复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
3.求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
【题型1 导数的定义及其应用】
【例1】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）若limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2-Δx)Δx=-2，则f'-2=（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【解题思路】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.
【解答过程】limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2-Δx)Δx=limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2)+[f(-2)-f(-2-Δx)]Δx
=limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2)Δx+limΔx→0f(-2)-f(-2-Δx)Δx=2f'(-2)=-2，
所以f'-2=-1.
故选：B.
【变式1-1】（2022·高二课时练习）设f(x)是可导函数，且limΔx→0f(x0-2Δx)-f(x0)Δx=2，则f'(x0)=（ ）
A．12B．-1C．0D．-2
【解题思路】根据导数定义，即可求出．
【解答过程】因为limΔx→0f(x0-2Δx)-f(x0)Δx=-2limΔx→0f(x0-2Δx)-f(x0)-2Δx=-2f'x0=2，
所以f'x0=-1，
故选：B.
【变式1-2】（2022·安徽合肥·合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B到水面的距离h以每秒1cm的速度匀速上升，设该容器内水的体积Vcm3与时间t(s)的函数关系是Vt，则函数y=Vt的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数变化的快慢以及切线斜率的几何意义即可得结果.
【解答过程】通过几何体的特征可得，
容器下半部分，“先小后大”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越快；
容器上半部分，“先大后小”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越慢；
即函数图象的切线斜率先增大后减小，
故选：A.
【变式1-3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）设函数fx在点x0处附近有定义，且fx0+Δx-fx0=aΔx+bΔx2,a,b为常数，则（ ）
A．f'x=aB．f'x=bC．f'x0=aD．f'x0=b
【解题思路】由导函数的定义可得选项.
【解答过程】解：因为fx0+Δx-fx0=aΔx+bΔx2,a,b为常数，所以f'x0=limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx=limΔx→0a+bΔx=a，
故选：C.
【题型2 求（复合）函数的导数的方法】
【例2】（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数f(x)=lg21x的导函数为（ ）
A．f'(x)=ln2xB．f'(x)=1xln2C．f'(x)=-ln2xD．f'(x)=-1xln2
【解题思路】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.
【解答过程】依题知，1x>0，即x>0，
由求导公式：lga'x=1xlna，
复合函数的求导法则：设u=gx，则f'gx=f'u⋅g'x
得：f'x=11xln2×1x'=xln2×-1x2=-1xln2，
故选：D.
【变式2-1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（ ）
A．(3x)'=3xln3B．x2lnx'=2xlnx+x
C．csxx'=xsinx-csxx2D．2ln(x2+1)'=2xln2x2+1⋅2ln(x2+1)
【解题思路】根据求导运算法则得到答案.
【解答过程】A选项，(3x)'=3xln3，A正确；
B选项，x2lnx'=2xlnx+x2⋅1x=2xlnx+x，B正确；
C选项，csxx'=-xsinx-csxx2，C错误；
D选项，2ln(x2+1)'=2ln(x2+1)ln2⋅1x2+1⋅x2+1'=2xln2x2+1⋅2ln(x2+1)，D正确.
故选：C.
【变式2-2】（2023上·湖北·高二期末）已知函数f(x)=f'(π4)cs2x+sinx，则fx在x=π4处的导数为（ ）
A．26B．24C．22D．-22
【解题思路】对fx求导，将x=π4代入求f'π4即可.
【解答过程】由已知可得f'x=-2f'π4sin2x+csx，
所以f'π4=-2f'π4sin2×π4+csπ4，所以f'π4=26
故选：A.
【变式2-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知函数fx=x+12+sinxx2+1，其导函数记为f'x，则f389+f'389+f-389-f'-389=（ ）
A．2B．-2C．3D．-3
【解题思路】函数fx=1+2x+sinxx2+1，分析其性质可求f389+f-389的值 ，再求f'x并讨论其性质即可作答.
【解答过程】由已知得fx=1+2x+sinxx2+1，
则f'x=2+csxx2+1-2x+sinx⋅2xx2+12，显然f'x为偶函数.
令gx=fx-1=2x+sinxx2+1，显然gx为奇函数.
又f'x为偶函数，所以f'389-f'-389=0，f389+f-389=g389+1+g-389+1=2，
所以f389+f'389+f-389-f'-389=2.
故选：A.
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线fx=2xcsx在x=0处的切线为l，则l的斜率为（ ）
A．ln2B．-ln2C．1D．-1
【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可求解.
【解答过程】对fx=2xcsx求导得，f'x=ln2×2x⋅csx-2x⋅sinx，由题意曲线fx=2xcsx在x=0处的切线l的斜率为kl=f'0=ln2×20⋅cs0-20⋅sin0=ln2.
故选：A.
【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线y=kx+n与曲线y=lnx+1x相切，则k的取值范围是（ ）
A．-∞,14B．4,+∞C．-4,+∞D．14,+∞
【解题思路】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.
【解答过程】y'=1x-1x2=-1x-122+14≤14，
由导数的几何意义可知，k≤14.
故选：A.
【变式3-2】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数y=fx在P1,f1处的切线如图所示，则f1+f'1=（ ）
A．0B．12C．32D．-12
【解题思路】根据切线过(2,0)和(0,-1)，利用斜率公式求得f'(1)，写出切线方程，再令x=1，求得f(1)即可.
【解答过程】因为切线过(2,0)和(0,-1)，所以f'(1)=0+12-0=12，
所以切线方程为y=12x-1，
令x=1，则y=-12，
所以f(1)=-12，
所以f(1)+f'(1)=-12+12=0.
故选：A.
【变式3-3】（2023·贵州·校联考模拟预测）设点P是函数fx=x3-12f'1x+f'2图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．0,3π4B．0,π2∪3π4,πC．π2,3π4D．0,π2∪3π4,π
【解题思路】求出f'x，令x=1后可求f'x，再根据导数的取值范围可得tanα的范围，从而可得α的取值范围.
【解答过程】∵fx=x3-12f'1x+f'2，∴f'x=3x2-12f'1，
∴f'1=3-12f'1，∴f'1=2，∴f'x=3x2-1≥-1，
∴tanα≥-1，∴0≤α0，则a的取值范围是-∞,-3∪1,+∞，
故选：D.
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）若过点P(m,0)与曲线f(x)=x+1ex相切的直线只有2条，则m的取值范围是（ ）
A．(-∞,+∞)B．(-∞,-3)∪(1,+∞)
C．(-1,3)D．(-∞,-1)∪(3,+∞)
【解题思路】求得f'(x)=-xex，求得切线PQ方程,结合题意，转化为方程t2+(1-m)t+1=0有2个不等实根，根据二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】设过点P(m,0)的直线与曲线f(x)=x+1ex相切于点Qt,t+1et，
由f(x)=x+1ex，可得f'(x)=-xex，所以切线PQ的斜率k=-tet=t+1et-0t-m，
整理得t2+(1-m)t+1=0，
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程t2+(1-m)t+1=0有2个不等实根，
则Δ=(1-m)2-4>0，解得m>3或m0，故不存在k1k2=-1；
当a>0时，满足：1-a01-a1-a60时，导函数单调递增，g'x∈m-2,+∞，
由题意得∀x1,∃x2,f'(x1)g'x2=-1∴g'x2=-1f'(x1)∴A⊆B
故m-20，则x0,y0在l：4x-y+3=0上，即y0=4x0+3①，
因为fx=lnx-xn+lnm+3m>1，则f'x=1x-1n，
又因为直线l的斜率为4，则f'x0=1x0-1n=4，所以1n=1-4x0x0③，
因为x0,y0在fx=lnx-xn+lnm+3m>1上，
所以y0=lnx0-x0n+lnm+3②，
由①②可得4x0+3=lnx0-x0n+lnm+3④，
将③代入④中可得，4x0+3=lnx0-x0x01-4x0+lnm+3，
化简可得lnm+lnx0-1=0，即m=ex0⑤，
由③⑤可得，mn=ex0x01-4x0=e1x02-4x0，
令1x0=t,t>0，则y=t2-4t=t-22-4,t>0，
当t=2时，即x0=12时，ymin=22-4×2=-4，
所以当x0=12时，mnmin=e⋅-4=-4e，
故答案为:-4e.
【变式8-3】（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知函数fx=12sin2x+π3的图像在x1,fx1处的切线与在x2fx2处的切线相互垂直，那么x1-x2的最小值是 π2 .
【解题思路】求出f'(x)，根据导数的几何意义得到cs(2x1+π3)⋅cs(2x2+π3)=-1，根据余弦函数的最值可得cs(2x1+π3)=1且cs(2x2+π3)=-1，或cs(2x1+π3)=-1且cs(2x2+π3)=1，分两种情况求出x1-x2，然后求出其最小值即可.
【解答过程】因为f(x)=12sin2x+π3，
所以f'(x)=12cs(2x+π3)×2=cs(2x+π3)，
依题意可得f'(x1)⋅f'(x2)=-1，
所以cs(2x1+π3)⋅cs(2x2+π3)=-1,
所以cs(2x1+π3)=1且cs(2x2+π3)=-1，
或cs(2x1+π3)=-1且cs(2x2+π3)=1，
当cs(2x1+π3)=1且cs(2x2+π3)=-1时，
2x1+π3=2k1π，k1∈Z，2x2+π3=2k2π+π，k2∈Z，
所以x1-x2=(k1-k2)π-π2，k1∈Z，k2∈Z，
所以|x1-x2|=|(k1-k2)π-π2|，k1∈Z，k2∈Z，
所以当k1-k2=0或k1-k2=1时，|x1-x2|取得最小值π2.
当cs(2x1+π3)=-1且cs(2x2+π3)=1时，
2x1+π3=2k1π+π，k1∈Z，2x2+π3=2k2π，k2∈Z，
所以x1-x2=(k1-k2)π+π2，k1∈Z，k2∈Z，
所以|x1-x2|=|(k1-k2)π+π2|，k1∈Z，k2∈Z，
所以当k1-k2=0或k1-k2=-1时，|x1-x2|取得最小值π2.
综上所述：x1-x2的最小值是π2.
故答案为：π2.
1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为（ ）
A．y=e4xB．y=e2xC．y=e4x+e4D．y=e2x+3e4
【解题思路】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【解答过程】设曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y-e2=kx-1，
因为y=exx+1，
所以y'=exx+1-exx+12=xexx+12，
所以k=y'|x=1=e4
所以y-e2=e4x-1
所以曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y=e4x+e4.
故选：C.
2．（2021·全国·统考高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A．eb